法律分析:
非婚母亲抛弃孩子五年不一定有抚养权。关于孩子的抚养权主要是看哪一方更有利于孩子的身心健康成长,如果非婚母亲一方愿意抚养孩子,并且有能力抚养,那么是能争取孩子抚养权的。抚养权的归属要根据双方的抚养能力和抚养条件以更有利于孩子为原则进行判定。
法律依据:
《中华人民共和国民法典》 第一千零七十一条 非婚生子女享有与婚生子女同等的权利,任何组织或者个人不得加以危害和歧视。不直接抚养非婚生子女的生父或者生母,应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。