数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列各组数据，是三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A．2，3，4B．4，5，6C．32，42，52D．6，8，10
3．（3分）如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和平均数分别是（ ）
A．30，28B．26，26C．31，30D．26，22 4．（3分）下列计算正确的是（ ） A．3
﹣
＝2B．
＝﹣2C．4
×3
＝12
D．3
÷
＝3
5．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形 6．（3分）下列式子中，y是x的正比例函数的是（ ）
1 / 24
A．y＝﹣xB．y2＝2xC．y＝﹣5|x|D．y＝4
7．（3分）已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（ ）
A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里
9．（3分）已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A．5B．
C．5或
D．3或4
10．（3分）甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②
2 / 24
乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④ 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）要使代数式
有意义，x的取值范围是．
12．（3分）一组数据2，3，2，3，5的方差是．
13．（3分）直线y＝2x﹣1沿y轴向上平移4个单位长度，则平移后直线的解析式为． 14．（3分）如图，A，B两点被池塘隔开，在池塘外选取点O，连接OA，OB，并分别取OA，OB的中点M，N，若测得MN＝50m，则A，B两点间的距离是m．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．
3 / 24
三、解答题（本大题共8小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8分）计算： （1）（2）
；
．
17．（6分）一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？（参考数据：
≈1.41，
≈1.73，
≈2.24）
18．（6分）如图，在▱ABCD中，已知AD＜AB．
（1）作∠ADC的平分线交AB于点E，在DC上截取DF＝AD，连接EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）猜想四边形ADFE的形状，并给予证明．
19．（7分）已知一次函数y＝﹣2x+4．
（1）在如图所示平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（2）若一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两
4 / 24
点的坐标；
（3）求△AOB的面积；
（4）利用图象直接写出：当y≤0时，x的取值范围．
20．（7分）为了迎世博，学校举行“迎世博，感受新科技”的知识竞赛，每班参加比赛人数都为25人，比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中二班成绩在C级以上（包括C级）的人数为； （2）请你将表格补充完整：
一班
平均数（分）
87.6
5 / 24 中位数（分）
90
众数（分）
二班 87.6 100
（3）请从优秀选手（B级以及B级以上级别）的人数的角度来比较一班和二班的成绩，哪个班成绩更好？
21．（7分）新冠肺炎肆虐全球，但病毒无情人有情，最美逆行者不顾个人安危奔赴疫情前线．某公司前往慰问医护人员，欲购进甲，乙两种呼吸机．若购进甲种2台，乙种3台，则共需要成本17000元；若购进甲种3台，乙种1台，则共需要成本15000元． （1）求甲，乙两种呼吸机每台成本分别为多少元？
（2）该公司决定购进甲、乙两种呼吸机共90台，且购进甲种呼吸机台数不低于乙种台数的一半，则如何购买两种机器能使花费最少？最少费用为多少？
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°．
（1）求直线y＝kx+b的解析式； （2）求出△ABC的面积；
（3）若P（1，m）为坐标系中的一个动点，连结PA，PB．当△ABC与△ABP面积相等时，求m的值．
23．（7分）如图①，在正方形ABCD中，P是AC上一点，点E在DC的延长线上，且
6 / 24
PD＝PE，PE交BC于F，连接PB． 问题提出：
（1）求证：PB＝PE； 拓展与探索：
（2）请求出∠BPE的度数； 问题解决：
（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠BAD＝120°时，连接BE，试探究线段PD与线段BE的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A．解：A、B、C、
B．
＝C．
＝
D．
，被开方数含分母，不是最简二次根式；
，是最简二次根式； ＝
＝2
，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
7 / 24
D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
故选：B．
2．（3分）下列各组数据，是三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A．2，3，4B．4，5，6C．32，42，52D．6，8，10
解：∵22+32≠42，故选项A中的三条边不能构成直角三角形； ∵32+52≠62，故选项B中的三条边不能构成直角三角形；
∵（32）2+（42）2≠（52）2，故选项C中的三条边不能构成直角三角形； ∵62+82＝102，故选项D中的三条边能构成直角三角形； 故选：D．
3．（3分）如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和平均数分别是（ ）
A．30，28B．26，26C．31，30D．26，22
解：由图可知，把7个数据从小到大排列为22，22，23，26，28，30，31，中位数是第4位数，第4位是26，所以中位数是26．
2+23+26+28+30+31）÷7＝26，所以平均数是26． 平均数是（22×故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（ ） A．3
﹣
＝2B．
＝﹣2C．4
×3
＝12
D．3
÷
＝3
8 / 24
解：（A）原式＝2，故A错误．
（B）原式＝2，故B错误． 3＝36，故C错误． （C）原式＝12×故选：D．
5．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形
解：A、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项说法是假命题；
C、一组邻边相等且对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，本选项说法是假命题； D、有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形，本选项说法是真命题； 故选：D．
6．（3分）下列式子中，y是x的正比例函数的是（ ） A．y＝﹣xB．y2＝2xC．y＝﹣5|x|D．y＝4
解：A、y＝﹣x表示y是x的正比例函数，故本选项正确； B、y2＝2x不符合正比例函数的含义，故本选项错误； C、y＝﹣5|x|不符合正比例函数的含义，故本选项错误； D、y＝
不符合正比例函数的含义，故本选项错误．
9 / 24
故选：A．
7．（3分）已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小 ∴k＜0 又∵kb＜0 ∴b＞0
∴此一次函数图象过第一，二，四象限． 故选：A．
8．（3分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（ ）
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A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里
解：由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°， 故AB＝2AP＝60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP＝故选：D．
9．（3分）已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A．5B．
C．5或
D．3或4
＝5， ＝30
（海里）
解：当3，4为直角三角形的两条直角边时，则第三条边长为：当4为直角三角形的斜边时，第三边长为：由上可得，第三边长为5或故选：C．
，
＝
，
10．（3分）甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
11 / 24
解：①根据函数图象得：
6＝100（米/天），故正确； 甲队的工作效率为：600÷②根据函数图象，
得乙队开挖两天后的工作效率为：（500﹣300）÷（6﹣2）＝50（米/天），故正确； ③乙队完成任务的时间为：2+（600﹣300）÷50＝8（天）， ∴甲队提前的时间为：8﹣6＝2（天）． ∵2≠3， ∴③错误；
④当x＝2时，甲队完成的工作量为：2×100＝200（米）， 乙队完成的工作量为：300米．
当x＝6时，甲队完成的工作量为600米，乙队完成的工作量为500米． ∵300﹣200＝600﹣500＝100（米），
∴当x＝2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．故正确． 正确的有：①②④． 故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）要使代数式
有意义，x的取值范围是x＞﹣1 ．
解：根据题意得：x+1＞0， 解得：x＞﹣1． 故答案是：x＞﹣1．
12．（3分）一组数据2，3，2，3，5的方差是 1.2 ．
12 / 24
5＝3， 解：＝（2+3+3+3+5）÷
S2＝[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]＝1.2． 故填答案为1.2．
13．（3分）直线y＝2x﹣1沿y轴向上平移4个单位长度，则平移后直线的解析式为y＝2x+3 ．
解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝2x﹣1向上平移4个单位长度后所得直线的解析式为：y＝2x﹣1+4，即y＝2x+3． 故答案为：y＝2x+3．
14．（3分）如图，A，B两点被池塘隔开，在池塘外选取点O，连接OA，OB，并分别取OA，OB的中点M，N，若测得MN＝50m，则A，B两点间的距离是 100 m．
解：∵点M，N分别为OA，OB的中点， ∴MN是△OAB的中位线， ∴AB＝2MN＝2×50＝100（m）， 故答案为：100．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，BE的长为 3或6 ． 使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，
13 / 24
解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝
＝10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图， ∴EB＝EB′，AB＝AB′＝6， ∴CB′＝10﹣6＝4，
设BE＝x，则EB′＝x，CE＝8﹣x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2＝CE2， ∴x2+42＝（8﹣x）2，
14 / 24
解得x＝3， ∴BE＝3；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示． 此时ABEB′为正方形， ∴BE＝AB＝6．
综上所述，BE的长为3或6． 故答案为：3或6．
三、解答题（本大题共8小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8分）计算： （1）（2）
解：（1）原式＝2＝
．
+3）
+3
﹣
﹣3
；
．
（2）原式＝5﹣2﹣（6﹣2＝3﹣9+6＝6
﹣6．
17．（6分）一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？（参考数据：
≈1.41，
≈1.73，
≈2.24）
15 / 24
解：连接AC，则AC与AB、BC构成直角三角形，
根据勾股定理得AC＝故薄木板能从门框内通过．
＝＝≈2.24＞2.2．
18．（6分）如图，在▱ABCD中，已知AD＜AB．
（1）作∠ADC的平分线交AB于点E，在DC上截取DF＝AD，连接EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）猜想四边形ADFE的形状，并给予证明．
解：（1）如图，射线DE，线段DF即为所求．
（2）结论：四边形ADFE是菱形． 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠FDE＝∠AED，
16 / 24
∵DE平分ADC， ∴∠ADE＝∠EDF， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∵AF＝AD， ∴DF＝AE， ∵DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形， ∵AD＝DF，
∴四边形ADFE是菱形．
19．（7分）已知一次函数y＝﹣2x+4．
（1）在如图所示平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（2）若一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点的坐标；
（3）求△AOB的面积；
（4）利用图象直接写出：当y≤0时，x的取值范围．
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解：（1）画出函数图象，如图所示； 0+4＝4， （2）当x＝0时，y＝﹣2×∴点B的坐标为（0，4）；
当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得：x＝2， ∴点A的坐标为（2，0）；
2×4＝4； （3）S△AOB＝OA•OB＝×
（4）观察函数图象，可知：当y≤0时，x≥2．
20．（7分）为了迎世博，学校举行“迎世博，感受新科技”的知识竞赛，每班参加比赛人数都为25人，比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
18 / 24
（1）此次竞赛中二班成绩在C级以上（包括C级）的人数为 21 ； （2）请你将表格补充完整：
一班 二班
平均数（分）
87.6 87.6
中位数（分）
90
众数（分）
100
（3）请从优秀选手（B级以及B级以上级别）的人数的角度来比较一班和二班的成绩，哪个班成绩更好？
16%＝25﹣4＝21人； 解：（1）25﹣25×
（2）因为一班B级人数最多，一班众数为90． 44%＝11， 二班中A级人数为：25×4%＝1， 二班中B级人数为：25×
36%＝9， 二班中C级人数为：25×
16%＝4， 二班中D级人数为：25×
可见处在中间位置的是C级，所以中位数为80；
（3）从B级以上（包括B级）的人数的角度看，一班人数是6+12＝18人， 二班人数是25×（44%+4%）＝12人， 所以一班成绩好．
21．（7分）新冠肺炎肆虐全球，但病毒无情人有情，最美逆行者不顾个人安危奔赴疫情前线．某公司前往慰问医护人员，欲购进甲，乙两种呼吸机．若购进甲种2台，乙种
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3台，则共需要成本17000元；若购进甲种3台，乙种1台，则共需要成本15000元． （1）求甲，乙两种呼吸机每台成本分别为多少元？
（2）该公司决定购进甲、乙两种呼吸机共90台，且购进甲种呼吸机台数不低于乙种台数的一半，则如何购买两种机器能使花费最少？最少费用为多少？ 解：设甲呼吸机每台成本为x元，乙呼吸机每台成本为为y元，根据题意得：
，解得
，
答：甲呼吸机每台成本为4000元，乙呼吸机每台成本为3000元；
（2）设购进甲吸机a台，则购进乙呼吸机（90﹣a）台，总花费为w元，根据题意得：w＝4000a+3000（90﹣a）＝1000a+270000，
，解得a≥30，
∵1000＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝30时，w有最小值，此时w＝300000元．
答：购进甲吸机30台，购进乙呼吸机60台，最小费用为300000元．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°．
（1）求直线y＝kx+b的解析式； （2）求出△ABC的面积；
（3）若P（1，m）为坐标系中的一个动点，连结PA，PB．当△ABC与△ABP面积
20 / 24
相等时，求m的值．
解：（1）设直线AB所在的表达式为：y＝kx+b，则故直线l的表达式为：y＝﹣x+2；
（2）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴S△ABC＝AB2＝
（3）连接BP，PO，PA， ①若点P在第一象限时，如图1：
；
，解得，
∵S△ABO＝3，S△APO＝m，S△BOP＝1，
21 / 24
∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝即1+m﹣3＝
②若点P在第四象限时，如图2：
，解得m＝
；
，
∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣m，S△BOP＝1， ∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP＝即3﹣m﹣1＝
，
，解得m＝﹣3，
或﹣3．
故当△ABC与△ABP面积相等时，m的值为
23．（7分）如图①，在正方形ABCD中，P是AC上一点，点E在DC的延长线上，且PD＝PE，PE交BC于F，连接PB． 问题提出：
（1）求证：PB＝PE； 拓展与探索：
（2）请求出∠BPE的度数； 问题解决：
（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠BAD＝120°时，
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连接BE，试探究线段PD与线段BE的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD， ∠BAP＝∠DAP＝45°， 在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SAS）， ∴PB＝PD， ∵PD＝PE， ∴PB＝PE；
（2）解：由（1）知，△ABP≌△ADP， ∴∠ADP＝∠ABP， ∴∠CDP＝∠CBP， ∵PD＝PE， ∴∠PDC＝∠E， ∴∠CBP＝∠E，
∵∠BFP＝∠EFC（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFB﹣∠PBF＝180°﹣∠EFC﹣∠E，
23 / 24
即∠FPB＝∠BCE＝90°， ∴∠BPE＝90°．
（3）解：DP＝BE；理由如下：
在菱形ABCD中，AB＝AD，∠DAP＝∠BAP＝60°， 在△ADP和△ABP中，
，
∴△ADP≌△ABP（SAS）， ∴PD＝PB，∠ADP＝∠ABP， ∵PD＝PE， ∴∠PDE＝∠PED， ∵∠ADP+∠PDE＝60°， ∴∠ABP+∠PED＝60°， ∵DE∥AB，
∴∠ABE+∠DEB＝180°， ∴∠PBE+∠PEB＝120°， ∴∠EPB＝60°， ∴△EPB是等边三角形， ∴PE＝BE， ∴PD＝BE．
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