初一数学期中复习练习(含答案)

一．选择题

1．若2a＝5b＝10，则a+b与ab的大小关系是（ ） A．a+b＞ab

B．a+b＝ab

C．a+b＜ab

D．无法确定

2．4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（ ）

A．2a＝5b

B．2a＝3b

C．a＝3b

D．a＝2b

3．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ） A．3

B．2

C．1

D．0

5．3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ） A．4

二．填空题

6．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为 ．

7．已知m，n，p均为实数，若x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，则2m﹣2n﹣p+86＝ ． 8．已知a＝

，b＝

，c＝

，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab

B．6

C．2

D．8

﹣bc﹣ac）的值是 ． 9．已知a＝

+2012，b＝

+2013，c＝

+2014，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣

bc﹣ac）的值是 ．

1

10．已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，则（x﹣2017）2的值是 ． 11．已知6x＝192，32y＝192，则（﹣2019）x12．已知

，

，

（﹣1）（y﹣1）﹣1

＝ ．

，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc

﹣ac的值为 ．

13．若（x﹣2）x＝1，则x＝ ．

14．若（x﹣1）0＝1，则x需要满足的条件 ． 15．若（a+2）a3＝1，则a＝ ．

﹣

16．若xaxbx8有两个因式x1和x2，则ab=___________.

17．若多项式xmxn（m,n为常数）分解因式后，有一个因式是x3，则3mn的值为_______.

三．解答题

18．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．用A种纸片﹣﹣张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）； 方法1 ；方法2 ．

（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系； （3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请你将该示意图画在答题卡上；

（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；

②已知（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，求（x﹣2019）2的值．

232

19．先阅读下面的内容，再解决问题．

2

如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式． 如：①因为36＝4×9，所以4和9是36的因数；

因为x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），所以x+1和x+2是x2﹣x﹣2的因式． ②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下： 解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式

∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n） ∴当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0 ∴当x＝﹣1时，x2+ax﹣2＝0 ∴1﹣a﹣2＝0 ∴a＝﹣1

（1）x+2是x2+x﹣6的因式吗？ （填“是”或者“不是”）； （2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求常数a，b的值．

20．已知a，b，c是△ABC的三边，试说明：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的值一定是负数．

21．若(2x5)

22．若(2x5)

3

x1x21，则求x的值.

(x4)x1，则求x的值.

答案与解析

一．选择题

1．若2a＝5b＝10，则a+b与ab的大小关系是（ ） A．a+b＞ab B．a+b＝ab C．a+b＜ab D．无法确定 【分析】根据题意得到2ab＝10b①，5ab＝10a②，两式相乘即可得到答案． 【解答】解：∵2a＝10， ∴2ab＝10b①， 又∵5b＝10， ∴5ab＝10a②，

①×②得到，2ab×5ab＝10a×10b 即（2×5）ab＝10a+b， 故a+b＝ab． 故选：B．

2．4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（ ）

A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b 【分析】先用a、b的代数式分别表示S1＝a2+2b2，S2＝2ab﹣b2，再根据S1＝2S2，得a2+2b2＝2（2ab﹣b2），整理，得（a﹣2b）2＝0，所以a＝2b． 【解答】解：S1＝b（a+b）×2+

+（a﹣b）2＝a2+2b2，

S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2， ∵S1＝2S2，

∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2）， 整理，得（a﹣2b）2＝0， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b． 故选：D．

3．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】把已知的式子化成[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]的形式，然后代入求解． 【解答】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．， ∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1， 则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）

＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]

4

＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2] ＝×[1+4+1]

＝3，

故选：C．

4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ） A．3 B．2 C．1 D．0

【分析】根据a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，可以求得a﹣b、b﹣c、a﹣c的值，然后将所求式子变形再因式分解即可解答本题．

【解答】解：∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019， ∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca ＝＝＝＝＝

＝3，

故选：A． 5． 3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ） A．4 B．6 C．2 D．8

【分析】先将3转化为22﹣1，然后重复使用平方差公式计算，得出最简结果，再判断结果的个位数． 【解答】解：原式＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1 ＝264﹣1+1 ＝264；

∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，个位数按照2，4，8，6依次循环， 而64＝16×4，

∴原式的个位数为6． 故选：B． 二．填空题

6．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为 9 ．

【分析】设另一个因式为x+a，（x+a）（x﹣3）＝x2+（﹣3+a）x﹣3a，根据题意得出﹣m＝﹣3+a，n＝﹣3a，求出m、n后代入即可． 【解答】解：设另一个因式为x+a，

5

则（x+a）（x﹣3）＝x2+（﹣3+a）x﹣3a， ∴﹣m＝﹣3+a，n＝﹣3a， ∴m＝3﹣a

∴3m﹣n＝3（3﹣a）﹣（﹣3a）＝9﹣3a+3a＝9， 故答案为：9．

【点评】本题考查了因式分解的意义，能得出﹣m＝﹣3+a和n＝﹣3a是解此题的关键． 7．已知m，n，p均为实数，若x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，则2m﹣2n﹣p+86＝ 100 ． 【分析】根据三次项系数为1可设另一个因式为（x+k），将原式变形为x3+mx2+nx+p＝（x﹣1）（x+4）（x+k）＝x3+（k+3）x2+（3k﹣4）x﹣4k，可得

，代入2m﹣2n﹣p+86

可得答案．

【解答】解：∵x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，且三次项系数为1， ∴设另一个因式为（x+k）， 则x3+mx2+nx+p＝（x﹣1）（x+4）（x+k）＝x3+（k+3）x2+（3k﹣4）x﹣4k， ∴

，

∴2m﹣2n﹣p+86＝2（k+3）﹣2（3k﹣4）+4k+86 ＝2k+6﹣6k+8+4k+86 ＝100，

故答案为：100． 8．已知a＝

，b＝

，c＝

，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab

﹣bc﹣ac）的值是 6 ．

【分析】根据完全平方公式分解因式后整体代入即可求解． 【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1， 2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac） ＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac ＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2 ＝（﹣1）2+（﹣4）2+（﹣1）2 ＝1+4+1 ＝6

故答案为6． 9．已知a＝

+2012，b＝

+2013，c＝

+2014，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣

bc﹣ac）的值是 6 ．

【分析】根据a、b、c的值，分别求出a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，c﹣b＝1进而把代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）分组分解，即可得出答案． 【解答】∵a＝

+2012，b＝

+2013，c＝

+2014，

∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，c﹣b＝1， ∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），

6

＝2[a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）]， ＝2（﹣a﹣b+2c），

＝2[（c﹣a）+（c﹣b）]， ＝2×3， ＝6．

故答案为：6．

10．已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，则（x﹣2017）2的值是 16 ．

【分析】先把（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34变形为（x﹣2017+1）2+（x﹣2017﹣1）2＝34，把（x﹣2017）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（x﹣2017）2的方程，解方程即可求解．

【解答】解：∵（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34， ∴（x﹣2017+1）2+（x﹣2017﹣1）2＝34，

∴（x﹣2017）2+2（x﹣2017）+1+（x﹣2017）2﹣2（x﹣2017）+1＝34， 2（x﹣2017）2+2＝34， 2（x﹣2017）2＝32， （x﹣2017）2＝16 故答案为16． 11．已知6x＝192，32y＝192，则（﹣2019）x1y11＝ 1 ．

﹣

【分析】由6x＝192，32y＝192，得到6x＝192＝32×6，32y＝192＝32×6，得到6x1＝

﹣﹣﹣

32，32y1＝6，可得（6x1）y1＝6，推出（x﹣1）（y﹣1）＝1，根据零指数幂的概念计算，得到答案．

【解答】解：∵6x＝192，32y＝192， ∴6x＝192＝32×6，32y＝192＝32×6，

﹣﹣

∴6x1＝32，32y1＝6，

﹣﹣

∴（6x1）y1＝6， ∴（x﹣1）（y﹣1）＝1，

（﹣）（﹣）﹣

∴（﹣2019）x1故答案为：1． 12．已知

（﹣）（y﹣1）﹣1

＝（﹣2019）0＝1，

，

，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc

，

﹣ac的值为 3 ．

【分析】把已知的式子化成[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]的形式，然后代入求解． 【解答】解：∵

，

，

，

∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1， 则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）

＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）] ＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2] ＝×[1+4+1]

7

＝3，

故答案为：3．

13．若（x﹣2）x＝1，则x＝ 0或3 ．

【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则求出答案． 【解答】解：∵（x﹣2）x＝1， ∴x＝0时，（0﹣2）0＝1， 当x＝3时，（3﹣2）3＝1， 则x＝0或3．

故答案为：0或3．

14．若（x﹣1）0＝1，则x需要满足的条件 x≠1 ． 【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案． 【解答】解：若（x﹣1）0＝1，则x需要满足的条件是：x≠1． 故答案为：x≠1．

15．若（a+2）a3＝1，则a＝ 3或﹣1或﹣3 ．

【分析】分别运用负整数指数幂、零指数幂运算法则计算即可．

﹣

【解答】解：∵（a+2）a3＝1，

∴a+2≠0，且a﹣3＝0或a+2＝1或a+2＝﹣1，且a﹣3是偶数， ∴a＝3或﹣1或﹣3，

故答案为：3或﹣1或﹣3． 16．

﹣

17.

8

三．解答题

18．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．用A种纸片﹣﹣张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）； 方法1 （a+b）2 ；方法2 a2+b2+2ab ． （2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系； （3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请你将该示意图画在答题卡上；

（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；

②已知（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，求（x﹣2019）2的值．

9

【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；

（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系； （3）画出长为a+2b，宽为a+b的长方形，即可验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2； （4）①依据a+b＝5，可得（a+b）2＝25，进而得出a2+b2+2ab＝25，再根据a2+b2＝11，即可得到ab＝7；

②设x﹣2019＝a，则x﹣2018＝a+1，x﹣2020＝a﹣1，依据（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，即可得到（x﹣2019）2的值．． 【解答】解：（1）方法一：图2大正方形的面积＝（a+b）2 方法二：图2大正方形的面积＝a2+b2+2ab 故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；

（2）由题可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2＝a2+2ab+b2 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （3）如图所示，

（4）①∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25， 又∵a2+b2＝11，∴ab＝7；

②设x﹣2019＝a，则x﹣2018＝a+1，x﹣2020＝a﹣1， ∵（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34， （a+1）2+（a﹣1）2＝34， 2a2+2＝34，a2＝16， ∴（x﹣2019）2＝16．

【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

19．先阅读下面的内容，再解决问题．

如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式． 如：①因为36＝4×9，所以4和9是36的因数； 因为x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），所以x+1和x+2是x2﹣x﹣2的因式． ②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下： 解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式 ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n） ∴当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0 ∴当x＝﹣1时，x2+ax﹣2＝0 ∴1﹣a﹣2＝0 ∴a＝﹣1

（1）x+2是x2+x﹣6的因式吗？ 不是 （填“是”或者“不是”）； （2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求常数a，b的值． 【分析】（1）根据因式分解﹣十字相乘法分解因式即可作出判断； （2）根据多项式乘法将等式展开有：3x4﹣ax2+bx+1＝（x2﹣1）（3x2+mx﹣1），根据当x

10

＝1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，则3﹣a+b+1＝0①，当x＝﹣1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，则3﹣a﹣b+1＝0②，联立可求常数a，b的值． 【解答】解：（1）x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）． 故x+2不是x2+x﹣6的因式；

（2）∵x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式， ∴存在一个整式（3x2+mx﹣1），使得3x4﹣ax2+bx+1＝（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）， ∴当x＝1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，则3﹣a+b+1＝0①， 当x＝﹣1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，则3﹣a﹣b+1＝0②， 联立①②解得a＝4，b＝0． 故常数a的值是4，b的值是0． 故答案为：不是．

【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等和因式分解﹣分组分解法的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目比较好，但有一定的难度． 20．已知a，b，c是△ABC的三边，试说明：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的值一定是负数． 【分析】原式利用平方差公式分解，再利用完全平方公式变形，继续利用平方差公式分解，利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可确定出正负． 【解答】解：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2 ＝（a2+b2﹣c2+2ab）（a2+b2﹣c2﹣2ab） ＝[（a+b）2﹣c2][（a﹣b）2﹣c2] ＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）， ∵a，b，c是三角形ABC三边，

∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0， ∴（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）＜0，即值为负数．

【点评】此题考查了因式分解的应用，以及三角形的三边关系，将已知式子进行适当的变形是解本题的关键． 21．若(2x5)x21，则求x的值.

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22．若(2x5)x1(x4)x1，则求x的值.

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