8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
[目标] 1.会求圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积；2.会求圆柱、圆锥、圆台的侧面积； 3.了解球的体积和表面积公式．
[重点] 求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积． [难点] 圆台的侧面积和体积．
要点整合夯基础
知识点一 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
[填一填]
1．圆柱的表面积
(1)侧面展开图：圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的 底面周长．
(2)面积：若圆柱的底面半径为 r，母线长为 l，则圆柱的侧面积 S 侧＝2πrl，表面积 S 表＝ 2πr(l＋r)．
2．圆锥的表面积
(1)侧面展开图：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于 圆锥的底面周长．
(2)面积：若圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则圆锥的侧面积 S 侧＝πrl，表面积 S 表＝ πr(l＋r)． 3．圆台的表面积
(1)侧面展开图：圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面 积而得到．
(2)面积：圆台的上、下底面半径分别为 r′、r，母线长为 l，则侧面积 S 侧＝π(r＋r′)l， 表面积 S 表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)． 4．球的表面积
若球的半径为 R，则它的表面积 S＝4πR2.
[答一答]
1．圆锥的侧面展开图为一扇形，怎样根据扇形圆心角度数 α°推导出母线 l 与底面半径 r 的关系？
Earlybird
晨鸟教育
提示：圆锥侧面展开图中扇形弧长为圆锥底面周长，而扇形弧长又是以 l 为半径圆周长 的 360° α° ，于是有
360°
α°
·2πl＝2πr，即 r＝
360°
α° l.
知识点二 圆柱、圆锥、圆台、球的体积
[填一填]
1．圆柱的体积
(1)圆柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个 点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)若圆柱的底面半径为 r，高为 h，其体积 V＝πr2h. 2．圆锥的体积
(1)圆锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． 1 (2)若圆锥的底面半径为 r，高为 h，其体积 V＝ πr2h.
3 3．圆台的体积
1 若圆台的上、下底面半径分别为 r′、r，高为 h，其体积 V＝ πh(r′2＋r′r＋r2)．
4．球的体积
4 若球的半径为 R，那么它的体积 V＝ πR3.
3 [答一答]
2．用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在球的轴截面图形中，展示截面图 与球体之间的内在联系．
提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球 的轴截面的关系如下图所示．若球的半径为 R，截面圆的半径为 r，OO′＝d.在 Rt△OO′C 中，OC2＝OO′2＋O′C2，即 R2＝r2＋d2.
3 Earlybird
晨鸟教育
典例讲练破题型
类型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算
[例 1] (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16 2π，则圆锥的体积是( ) 64π 128π A. B. C．64π D．128 2π 3 3
(2)圆台的上、下底面半径分别为 10 cm、20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为 180°， 则圆台的表面积为________
cm2.(结果中保留 π)
[分析] (1)利用圆锥的轴截面得到圆锥的底面半径和高，进而求其体积；(2)利用圆弧与 圆心角及半径的关系得到圆台的母线长，再利用表面积公式进行求解．
[解析] (1)设圆锥的底面半径为 r，母线为 l， ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ∴2r＝ l2＋l2，即 l＝ 2r，
由题意得，侧面积 S 侧＝πrl＝ 2πr2＝16 2π， 解得 r＝4，∴l＝4 2， 圆锥的高 h＝ l2－r2＝4，
1
1
64π
.故选 A.
∴圆锥的体积 V＝ Sh＝ ×π×42×4＝
3 3 3 (2)如图所示，设圆台的上底面周长为 c cm，
因为扇环的圆心角是 180°，故 c＝π·SA＝2π×10 cm，所以 SA＝20 cm.同理可得 SB＝40
Earlybird
晨鸟教育
cm，所以 AB＝SB－SA＝20 cm，所以 S 表面积＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋ π×202＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为 1 100π cm2. [答案] (1)A (2)1 100π
解决旋转体的有关问题常需要画出其轴截面图，将空间问题转化为平面问题来解决.对于 与旋转体有关的组合体问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分 清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积.
[变式训练 1] 把长、宽分别为 4、2 的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体 积．
解：设圆柱的底面半径为 r，母线长为 l.
如图所示，当 2πr＝4，l＝2 时 2
，r＝ ，h＝l＝2，
π 8 ∴V 圆柱＝πr2h＝ ， π
1
当 2πr＝2，l＝4 时，r＝ ，h＝l＝4，
π
4 ∴V 圆柱＝πr2h＝ . π 8 4 综上所述，这个圆柱的体积为 或 . π π 类型二 球的表面积和体积的计算
[例 2] (1)两个球的体积之比为 827，那么这两个球的表面积之比为( ) A．23 C. 2 3
B．49 D. 8 27
(2)两个半径为 1 的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．
(3)圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面 半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
Earlybird
晨鸟教育
[分析] 利用球的表面积和体积公式以及圆柱的体积公式进行求解．
[解析] (1)两个球的体积之比为 827，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于 相似比的平方，可知两球的半径比为 23，从而这两个球的表面积之比为 49，故选 B.
4 3
8π 3
3 4
(2)两个小铁球的体积为 2× π×13＝ ，设大铁球的半径为 R，则大铁球的体积 π×R3＝ 8π
，所以大铁球的半径为3 2. 3
(3)设球的半径为 r，放入 3 个球后，圆柱液面高度变为 6r.
4
则有 πr·6r＝8πr＋3· πr3，
3
2
2
即 2r＝8，所以 r＝4 cm. [答案] (1)B (2)3 2 (3)4
求球的表面积与体积的一个关键和两个结论
4
1关键：把握住球的表面积公式 S 球＝4πR2，球的体积公式 V 球＝ 是计算球的表面
πR3 3
积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题 目也就迎刃而解了.
2两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之
比等于这两个球的半径比的立方.
[变式训练 2] 一个球内有相距 9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为 49π cm2和 400π cm2，求球的表面积．
解：当截面在球心同侧时，如图①所示为球的轴截面，由球的截面性质知 AO1∥BO2， 且 O1，O2 为两截面圆的圆心，则 OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.
Earlybird
晨鸟教育
设球的半径为 R，
∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7 cm， 同理，得 O1A＝20 cm.
设 OO1＝x cm，则 OO2＝(x＋9) cm， 在 Rt△O1OA 中，R2＝x2＋202， ① 在 Rt△OO2B 中，R2＝72＋(x＋9)2, ② 联立①②可得 x＝15，R＝25.
∴S 球＝4πR2＝2 500π cm2，故球的表面积为 2 500π cm2.
当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B， 且 O1，O2 分别为两截面圆的圆心，则 OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.
设球的半径为 R，
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm， ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm， 设 O1O＝x cm，则 OO2＝(9－x) cm. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋400， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(9－x)2＋49.
∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得 x＝－15，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为 2 500π cm2.
类型三 几何体的“切”“接”问题
[例 3] (1)若球的外切圆台的上、下底面半径分别为 r，R，则球的表面积为( ) A．4π(r＋R)2 C．4πrR
AC，AA1＝12，则球 O 的半径为( ) 3 17 13
A. B．2 10 C. D．3 2 2
[分析] (1)作出球与圆台相切的轴截面． 径．
[解析] (1)如图为球与圆台的轴截面，过 D 作 DE⊥BC，设球的半径为 r1，则在 Rt△CDE
Earlybird
B．4πr2R2 D．π(R＋r)2
(2)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上．若 AB＝4，AC＝3，AB⊥
10
(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形即可求得球 O 的半
晨鸟教育
中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r，由勾股定理得 4r21＝(R＋r)2－(R－r)2，解得 r1＝ Rr(舍 负)．故球的表面积为 S 球＝4πr21＝4πRr.
1 5 1
(2)如图，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AM＝ BC＝ ，OM＝ AA1
2 2 2 ＝6，所以球 O 的半径 R＝OA＝
13
＋6＝ . 2 2
2
2
5
[答案] (1)C (2)C
解决几何体与球相切或相接的策略
1要注意球心的位置，一般情况下，由于球的对称性，球心在几何体的特殊位置，比如
几何体的中心或长方体对角线的中点等.
2解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切
点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.
[变式训练 3] 如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3的圆柱，求 圆柱的表面积．
解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.
Earlybird
晨鸟教育
则 R＝OC＝2，AC＝4， AO＝ 42－22＝2 3.
如图所示，易知△AEB∽△AOC， AE EB 3 r ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴r＝1. AO OC 2 3 2
S 底＝2πr2＝2π，S 侧＝2πr·h＝2 3π. ∴S＝S 底＋S 侧＝2π＋2 3π＝(2＋2 3)π.
课堂达标练经典
1．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于( D ) A. 1
B．1 D．3
2 C．2
4
解析：设球的半径为 r，则由题意得 πr3＝4πr2，解得 r＝3.
3
2．圆台上、下底面面积分别是 π，4π，侧面积是 6π，这个圆台的体积是( D ) 2 3 A. π
3
B．2 3π
7 3 7 3 C. π D. π 6 3 解 析：设圆台的高为 h，上底面的半径为 r，下底面的半径为 R，母线长为 l.由题可知 πr2 ＝π，πR2＝4π，则 r＝1，R＝2.又因为圆台的侧面积为 6π，所以 πl(r＋R)＝6π，所以 l＝2.因为
r
1
7 3 π.
h2＋(R－r)2＝l2，所以 h＝ 3.故圆台的体积 V＝ ×(π＋4π＋ 4π2)× 3＝
3 3
3．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体
9
3
积和此球体积的比值为 或 .
32 32
解析：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，设球的半径为 r，则球心到该圆锥底面的距
r
3r
是 ，于是圆锥的底面半径为
2
r2－2
3r
1
2
3r
()
＝
3 2
，高为 .∴圆锥的体积为 ×π× 2 2
3
( ) 离
2
×
πr3
3r 3 4 8 9
33
＝ πr，球体积为 πr.∴该圆锥的体积和此球体积的比值为 ＝ . 2 8 3 4 32
πr3 3
3
②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为 .
32
4．如图所示的几何体是一棱长为 4 的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个 直径为 2、深为 1 的圆柱形的洞 ，则挖洞后几何体的表面积是 96＋2π.
Earlybird
晨鸟教育
解析：原正方体的表面积为 4×4×6＝96，
圆柱的侧面积为 2π×1＝2π， 则挖洞后几何体的表面积约为 96＋2π.
5．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为 2，求球的体积． 解：如图所示，作出轴截面，
1
因为△ABC 是正三角形，所以 CD＝ AC＝2，
2
所以 AC＝4，AD＝
3
×4＝2 3， 2
因为 Rt△AOE∽Rt△ACD，
OE CD ＝
.
所以
AO AC
设 OE＝R，则 AO＝2 3－R， 所以
R 2 3－R 2
4
1
2 3
. 32 3π
3
＝ ，所以 R＝
3
4
2 3
所以 V 球＝ πR3＝3π·3
3
所以球的体积等于
( )＝
27
.
.
32 3π
27
——本课须掌握的三大问题
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的 形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关 键．
2．球的表面积和体积仅与球半径有关，因此求球的表面积和体积的问题可转化为求球
Earlybird
晨鸟教育
半径的问题解决．
3．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平 面图形中，再进行相关计算．
Earlybird
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容