(一)模糊控制的发展历史

• 问题的提出：多变量大系统中复杂性和精确性的矛盾 • 借鉴：人具有总体粗略、局部精确的认识能力

• 计算机如何模仿：1965年美国California大学L A Zadeh提出模糊集合理论“Fuzzy

Sets”，建立数学新分支

2.模糊控制

• 1972： Zadeh提出“A rationale for Fuzzy Control”

• 1974：英国伦敦大学E H Mamdani设计模糊控制器，用于锅炉和汽轮机的运行控制 • 1985：日本在家电实用化

• 目前：应用到复杂系统、智能系统、人类与社会系统、自然系统，出现专用芯片硬

件

（二） 模糊控制的总体思想

1.基于专家知识和经验，模仿人类对于模糊现象进行不精确决策推理的能力，采用数学方法对系统实施控制 2.主要特点：

1) 不依赖精确模型，适于复杂系统与模糊性现象（精确模型很难得到或无模型） 2) 智能性和自学习性：知识表示、规则、推理是基于专家知识或经验，并通过学习可更

新

3) 形式上利用规则进行推理，同时基于数学方法表示、处理知识→可用VLSI实现硬件芯

片

3.与专家控制的区别： 1) 针对模糊现象/精确量

2) 基于数学方法（模糊数学）/符号方法 处理知识

（三）模糊控制的数学基础－模糊集合理论 1.模糊概念

1)“转速很高”等表示事物量的不确定性 2)量 确定性————经典数学

不确定性、随机性——统计数学：概率、数理统计等

模糊性——模糊数学：Fuzzy Sets 3)随机性与模糊性的区别：

a) 模糊性是人对客观事物认识的不确定性，事物本身确定，如“转速（确定）很高（不

确定）”

b) 随机性是客观事物本身的不确定性或发生的偶然性，个案偶然无意义，大量个案服从

统计规律，掷骰子 4)模糊的必要性：

a) 日常人的智能常常是模糊的

b) 复杂大系统必须，用模糊性降低精确引起的复杂程度 2.模糊概念的数学表示——模糊集合FS • •

概念的表示 内涵法：描述本质属性

外延法：本质属性确定的对象总和，集合法

如小于10的正整数 <10,>0,整数 {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

• 集合的特点：研究的对象x要么属于、要么不属于某集合A，必居其一，集合的边界明

确、突变，xA 或 xA •

模糊集合FS：对象x可以既属于又不属于集合A，亦此亦彼，集合的边界模糊、渐变，x无绝对的A 或A，只有属于A的程度—隶属度函数A(x)，取值[0,1] • FS定义：给定论域X，X到[0,1]闭区间的任一映射A： A：X → [0,1] x → A(x)

都确定X的一个模糊子集A， A称为A的隶属函数，A(x)称为x对于A的隶属度，模糊子集A也称为模糊集合 a)FS的表示方法

• 序偶（成对出现且有次序的客体(x,y)≠(y,x)）表示法： A={(x,A(x))|xX}

例：论域{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中，设A表示模糊集合“几个”，各元素的隶属度依次为A(x)={0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0},则

A={(1,0),(2,0),(3,0.3),(4,0.7),(5,1),(6,1),(7,0.7),(8,0.3),(9,0)}

• Zadeh表示法： •

(x)A=  A X连续

Xx

A(xi) =  X离散

i1nxi上例A＝0/1+0/2+0.3/3+0.7/4+1/5+1/6+0.7/7+0.3/8+0/9 b)FS的基本运算

• 相等A=B A(x)=B(x)对所有xX • 包含AB A(x) B(x) • 空集A=Φ

• 并C＝A∪B C(x)＝∨(A(x),B(x))=max(A(x),B(x)) • 交C＝A∩B C(x)＝∧(A(x),B(x))=min(A(x),B(x)) • 补集B=A’ B(x)=1-A(x)对所有xX • 直积A×B c)FS运算的基本性质

• 分配律，结合律，交换律，吸收律，幂等律，同一律等 • 普通集合中的排中律、矛盾律不成立，即 A∪A’ ≠X，A∩A’ ≠ Φ

3.模糊概念向多维空间推广——模糊关系 1)例如：“Ud与设定值差不多”，“A与B很象”

2)定义：n元模糊关系R是定义在直积P1×P2ׄ×Pn上的模糊集合，可表示为 RP1×P2×…×Pn ={((p1,p2, …,pn),R(p1,p2, …,pn))| (p1,p2, …,pn) P1×P2×…×Pn} =∫P1×P2×…×Pn R(p1,p2, …,pn)/ (p1,p2, …,pn) 模糊集合 → 模糊关系

论域X P1×P2ׄ×Pn的直积空间 元素x 多元序偶(p1,p2, …,pn) 模糊集合A 模糊关系R

隶属度A(x) 隶属度R(p1,p2, …,pn)表示p1,p2, …,pn具 有关系R的程度 序偶(x, A(x)) 复合序偶((p1,p2, …,pn),R(p1,p2, …,pn)) 3)常用的二元模糊关系表示—— 模糊矩阵

当X=｛x1,x2, …,xn), Y={y1,y2, …, yn}为有限集合时，定义在X×Y上的模糊关系RX×Y可表示为矩阵形式：

R(x1,y1) R(x2,y1)R

R(xn,y1)

R(x1,y2)R(x2,y2)R(xn,y2) R(xn,ym)R(x1,ym)R(x2,ym) R即为模糊矩阵，其元素为隶属度函数〔0，1〕 4)模糊关系的合成

设X、Y、Z为论域，R是X到Y的一个模糊关系，S是Y到Z的一个模糊关系，则R对S的合成T是X到Z的一个模糊关系，记为T＝R○S，其隶属度为

其中V为并运算，对所有元素取极大值； *为二项积运算，可用交、代数积等运算。 

最常用的合成形式——最大最小合成

RS(x,z)(R(x,y)*S(y,z))yYV为并运算， *为交运算，即

TRSRS(x,z)(R(x,y)S(y,z))yY4.模糊规则的表示及运算——模糊蕴含关系 1)语言变量

经典数学 模糊数学

转速nd很高A1 →电压ud大幅降低B1

nd=ni → ud=ui 转速nd偏高A2 →电压ud适当降低B2

变量 变量的值 语言变量 语言变量的值FS 值域：FS的集合 2)模糊蕴含关系

对于一条规则：“如果x是A，则y是B”表示了A与B之间的模糊蕴含关系，表示为A →B

A →B的运算方法有：最小，积，最大最小等集合运算

其中模糊蕴含关系最小运算为：

RcABABA(x)B(y)/(x,y)XY例：nd＝A1＝“转速很低”

＝1/200+0.8/400+0.6/600+0.4/800+0.1/1000

ud=B1=大幅升高＝0.2/5V+0.4/6V+0.6/7V+0.8/8V+1/9V

当X=｛x1,x2, …,xn), Y={y1,y2, …, yn}为有限集合时，定义在X×Y上的模糊关系RX×Y可表示为矩阵形式：

10.8RcAB0.60.20.40.210.20.80.20.60.20.40.20.20.210.40.80.40.60.40.40.40.20.40.40.60.8110.60.80.60.60.60.40.60.20.610.80.80.80.60.80.40.80.20.8110.20.810.20.610.20.410.20.210.20.40.40.40.40.20.60.60.60.40.20.80.80.60.40.210.80.60.40.25.模糊推理——关系的合成

1)运用上面蕴含关系，前面例子可表示为

规 R1：如x是A1则y是B1 即 A1 → B1 则 R2：如x是A2则y是B2 A2 → B2 库 ┇ ┇

R Rn：如x是An则y是Bn An → Bn 推理：输入x是A’，则输出y是B’ B’＝A’○R 规则库R=∪Ri

2)模糊推理：由输入（模糊集合A’）和模糊蕴含关系A→ B的合成推出结论（模糊集合B’），

即

B’＝ A’○ （A→ B）＝A’○R 3)推理的2种方法： •

广义肯定式：如x是Ai则y是Bi x是A’则y是B’

• • •

广义否定式：如x是Ai则y是Bi y是B’则x是A’

对于每一种方法， ○与→运算符采用不同的运算，又可组合出多种推理运算方法 广义肯定式推理的最大最小合成、最小蕴含法： ○取最大最小法，→取最小运算法 例：A’=A1，R=Rc，则

B'A'Rc10.80.60.40.20.40.60.810.20.20.20.20.20.20.40.60.40.60.40.60.40.40.20.20.810.80.80.60.60.40.40.20.2