第38卷第3期
JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol.38 No. 3 2019
一个新的超大范围混沌系统及其自适应滑模控制
徐昌彪钟德
(1.重
摘
系
统
的系果
要
庆
邮
电
大
学
光
电
工
程
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1
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混
沌
庆
400065; 2.重
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统进自的行适
庆
400065)
力电滑学路模特仿控性真制
：提出数数控系
了谱条制统
一个超岔全有范
大图局效围
范以稳的
围及定
的系
Lyapunov指
统表
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为件信
[0，107]。理论分析了
电路，并用MultBm软
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给定
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关键词：混
;超
中图分类号：TP73
大
;滑
文献标志码：A
应控制
。；自适
模控制
DOI:10. 13465/j. cnki.jvs.2019.03.018
A new chaotic system witli parameter b in a super-l^rge range and
XU Changbiao1ZHONGDe2，XIA Cheng2，LI Zhou1
，its adaptive sliding mode control
(1. School of Optoelectronic Engineering，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065，C
Communication and Information Engineering，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065，China)
Abstract: A new chaotic system witli parameter in a super-large range of [ 0，107 ] was proposed. The system ’ sdynamic characteristics were theoretically analyzed， and its Lyapunov exponent spectrum， bifurcation diagram andPoincare mapping were investigated. The system ’ s hardware circuit was designed and the circuit simulation was done withthe software Multisim. An adaptive controller with global stability was constructed under the condition of unknownparameters，and an adaptive sliding mode controller was built to realize tracking control of a given signal and identificationof unknown parameters. Simulation results showed that t!ie designed controllers are effective.
Key words： chaotic system； super-large range; adaptive control； sliding mode control
混沌是确定性系统的内在随机性，是非线性动力 学系统所特有的一种形式，并且广泛地存在于自然界 诸如物理[1]、化学[2]、地质学[3]以及生物学[4]等领域。 自从1963年L〇rnz[5]在三维自治系统中发现了第一个 混沌吸引子以来，人们不断地发现新的混沌系统，如
的动力学特性，在混沌雷达[15]，激光振荡[16]以及信息 处理[17]等领域中具有重大的应用价值。
但总的来说，关于超大范围混沌系统的研究还处 于起步阶段，Liu等[18]提出了一个具有较大参数范围 的新型三维混沌系统，参数范围为[-100，100]。贾红 艳等[19]在已有的超混沌系统研究的基础上提出了一个 大范围超混沌系统，参数范围为[10,1 000 ]，梅蓉等[20] 构建了一类新的超大范围超混沌系统，参数范围为[0， 105]，但仿真只在[0,2 000]进行。
基于以上研究，本文提出了一个超大范围的混沌 系统，其中参数b的取值为[0，107]，比本文中提到的 其他系统的参数范围都要大。理论分析了系统的动力 学特性，进行了数值仿真和电路仿真。设计了一个自 适应控制器和一个自适应滑模控制器，分别用于具有
基金项目：国家杰出青年科学基金项目（51685168);教育部重点基金项
目（02152)
收稿日期# 2017 -07 -07修改稿收到日期# 2017-10-09第一作者徐昌彪男，博士，教授,1972年4月生 通信作者钟德男，硕士生,1994年10月生
Chen等[6]系统、LU等[7]系统、Chua等[8]系统、Liu等[9]
系统等。但大多数混沌系统的参数变化范围较 小[1014]，它们的混沌特性受到系统任意一个参数很大 影响，参数的变更与误差会改变系统的动力学行为，使 得系统相轨收敛于不动点，或是处于周期、拟周期甚至 混沌振荡状态等。而具有超大范围混沌系统的混沌特 性在某个参数的变动下始终处于混沌状态，其最大
Lyapunov指数始终大于零，这使得该系统具有更丰富
未知参数混沌系统的全局稳定和给定信号的追踪与未 知参数的辨识。仿真结果表明了所设计控制器的可行 性和有效性。
126振动与冲击2019年第38卷
1新混沌系统模型与基本特性
行为会被固定在一个吸引子上，这说明了吸引子的存 性。
! 4
平衡点及稳定性
!1新混沌系统模型
新混沌系统的数学模型为
a(X + y)
\\y = y + xz 广
(1)
令式（1)的左边等于0,即
「0 6-a(x+y.0 6 y + yz
!■0 6-z-b(xy-y2)
(3)
U 6 - z - b(xy - y2 )
式中:x，y，.为系统变量。取a = 3，[ = 10,初值为[1，1，
1]时，系统存在一个典型的吸引子，如图1所示。此时
其中a = 3，b = 10时，系统有3个平衡点，分别为：
&1 = (0,0,0)，
62 6 ( - 0.223 6，0. 223 6，1 )，63 6 (0.223 6, - 0.223 6，1)。
系统的三个Lyapunov指数为0. 122 7, - 0. 001 7,
3.121 0。
0.5
在平衡点&1 = (0，0，0)处线性化系统，得其Lcbi矩 阵为
-a z
- az 1
- ay
y
- 1 ■0
(4)
-0.5
-by -bx + 2 by
0
0.5
1.0
-1.0 -0.5
0
0.5
1.0
-1.0 -0.5
- 3 0 0
(
a)
js
相图 （
b)
js
相图
10 0 -1」
L 〇
特征值方程为
\\( -J\\ 6 0
(5)
计算出特征值为人1=-3，（2=1，A&=-1。由于特征值入1和（3是负实数，（2是正实数，故平衡点&1是不
(
c) 2S相
Fig. 1
图
图
（
d)
jss
相图
稳定的鞍点。
同理，在平衡点&2和&3处分别线性化系统，得到 它们的特征值均为Ai = - 3. 434 8, A2 =0. 217 4 n 1.856 4A，A3 =0.217 4 -1.856 4A。由于特征值Ai 是负实数，（2和A3均有正实部，故平衡点&2和&3都是不 稳定的鞍点。!H
时域波形图、频谱图以及Poincare截面图
取a=3，[ = 10,初值为[1，1，1]，采用四阶龙格- 库塔（ODE45)算法对式（1)进行求解，可得系统状态变
1
系统相图
Phase diagram of the system
! 2对称性和不变性
系统在变换（^，2，.，（-^，-2，.下具有不变 性，即系统关于z轴对称，且这种对称性对所有系统参 数均成立。
! 3
耗散性和吸引子的存在性
根据式（1)，有
6 dx dy + %%0 = -a + 1 -z
15r
1 6-3 (2)
量尤的时域波形图，如图2所示，可以看出系统为非周 期系统。如图3所示，系统的功率谱是连续谱，没有明 显的波峰，并且峰值连成一片，说明了系统是混沌系 统。选取的Poincare截面如图4所示，可以看出
可见系统是耗散的，则系统的轨线最终会被限制 在一个体积为〇的极限点集上，并且它的渐近动力学
txlO2
图
2
状态变量的时域波形
图3系统的功率谱图4系统的
Poincare截
面
#2 =0
Fig. 2 Time domain waveform
of state variable
Fig. 3 Power spectrum of the system
Fig. 4 Poincare section of the
system ： 2=0
第&期
徐昌彪等：一个新的超大范围混沌系统及其自适应滑模控制
的密集点，
性。
127
Poincare截面上有一些成片的具有分形
吸引子的
清
，也表了系统
1.6 Lyapunov 指数和 Lyapunov 维数
采用Jacobi法计 5所示，
,=3，6 = 10时，系统的三个Lyapunov指数分另丨J
为心=0. 122 7，D2 =-0.001 7，D3 = -3. 121 0,故可计
Q = 2. 038 8。由此可见，系统的Lyapunov维数为
数维数，验证了系统为
系统。
系统的Lyapunov指数谱如图
化
，系统的三个化的分岔
数6从0〜107
于
Lyapunov指数 数，为恒Lyapunov指数谱。
2系统的电路仿真
采用线性电阻、电容、LM2924N运算放大器、
图6为系统变量y随参数6从0〜107 图，可以
系统
于
状态。
MULTIPLIER:
设计出系统的
法器（乘法器的输出增益为0. 1 )，电子电路，如图7所示。
系统的Lyapunov维数为#
截
u1
栽
u
栽
cd
_2 3_
$s 1A- o 2u- nxdh-l_3
IgfAoundxq^Aoundx^q2-
图5系统的Lyapunov指数谱
Fig. 5 Lyapunov exponent spectrum of the system
图*系统的分岔图
Fig. 6 Bifurcation diagram of the system
益为0.1，得电路方程为#
V2V5
VVVCi V7
v
V2 V13& v$2 v$4 c$
(7)
R1
V7
R*R+C:y • R+Ri'C\"—V10V13
R5R10
R9R11R12C3 R4R11R16C3 R11R17C3
^l|X. R1 = R* = R% = 10 k,，R& = R+ = R11 = 100 k,， R2 = 3 k, &R4 = R5 = R7 = R10 = R12 = R13 = R14 = R15 = 1 k,，R16 =R17 =0. 1 k,，C = C2 = C3 = 1 )F 时，采用 Multisim软件对电路进行了仿真实验，仿真结果如图8
所示，可以
Fig. 7 Schematic diagram of the circuit
-J
验结果与数值 果是一
致的。
根据系统参数以及电路理论，由乘法器的输出增
■MB
m■
(
a) x-y(b)
(c)
图8电路实验结果
Fig. 8 Experimental results of the circuit
128
振动与冲击
2019年第38卷
3参数未知的混沌系统的自适应控制
受控系统为
定理1具有未知参数的受控系统（8)通过自适
应控制器(9)和参数更新定律（15)在所有初始条件下 全局稳定，其中O，〇，〇是正增益常数。
证明:将式（15)代入式（14)，得到M为
J =-a ( j+j.) + +$ (8)0 =-(⑴-((8 - O J - Oj2 - (〇3 + 1). (16) 显然，式（16)是半负定的，状态变量J，J，Z和参数估计 设计自适应控制器为 u$ = a (8) ( j + j.) - j (u2 6-j - (O2 +1)j (9) ^u3 = [(8)( xy - j2 ) - O3. 式中#〇i，〇2,〇3是正增益常数。1(8, [(8分别用来 估计未知参数a，[。 参数估计误差定义为 (t) 6 a - a ( 8) (10) ((8 :[-[(8) 对式(8)求导，得 r(a(0 (11) L (⑴ 6 - [ (8 将式(9)和式（10)代入式(8)，得闭环系统 J 6-ea ( 8)( y+j.) - 〇1 y { 0 = - 〇2J ( 12 ) ■0 6- (〇3 + 1).-(⑴（jj - j2)构造以下Lyapunov函数 M(J，J，.（，（） —^ 1 2 + —1 2 22 y + 2(〜+ 2( (13) 其中（1，（2均大于零，显然M是一个正定函数。对M 求导 得 M = j0+j0+z0 + 1 （ + 2 （ 6 J(-(⑴（J + J. - O1J) - O2J2 - (1 ( C (8 -1 0[ (8 - . (O + 1). + ((8 (jj - j2))= -(-(a (8) +j2+ - O1J - 02j2 -(O + 1). - (士 [ (8 + jj - j2.((〇 (14) 根据式（14)，设定参数更新定律如下 「a(8 二-入工（J + j.-((8) I c (15) L [ (8 = a2( J. - j j + ((8) 误差（（8,（⑴是全局有界的。 根据式（16)可得 0&-〇1||J|2-〇2||y||2-〇3||.|2-11((〇1卜11((〇1|2 (17) 因此，可得# 〇1llJI2+MJ2+M .2 + lk(0\"2 + ll((8 II2 & - 0 (18)将不等式（18)两端从〇到t积分，得到 $ IIJI2 + 〇 IIJI2 + M .I2 + k⑴ ii2 + ii(⑴ ir&M(〇) -m (8 (19) 根据式（19)可得 J，J，.（，（（[2。根据式（12)可得0，0，0，（，（（Do。 因为M(8是关于时间t的一致连续实函数，根据 Barbalat定理[21]，对所有的初始条件j (0)，j(0)， .0)，（（0)，（（0) (!3，lim8—,〇 y( 8 = 8—I，〇B j( 8 =18—B，〇 . 8 =limt~—〇((〇，证毕。 采用四阶Nunge-Kutta算法进行数值仿真，1 (0)=4, [ (0) =5作为参数的初始条件，j(0) = 1，j(0)= 2，.0) =3作为受控系统(8)的初始条件，取a= -3，[ =10，Ai = A2 = 50，〇 = O2 = O3 = 20，仿真步长为 0. 001。 此外，由图9，10可知，在自适应控制器(9)和参数 更新定律（15)的作用下受控系统（8)很快稳定到平衡 点原点，并且实现了对系统未知参数的识别。 图9受控状态j，j，. Fig. 9 Controlled state J，J，. 4 参数未知的混沌系统的自适应滑模控制 考虑如下受控系统 第&期徐昌彪等：一个新的超大范围混沌系统及其自适应滑模控制129 图10参数，⑴和[(8的收敛曲线 Fig. 10 Convergence curve of parameter a (8) and [ (8 J = -a(j+2) 3 + < 2 = y 3 xz (20) ■z = - - - b( J2 - j2) 定义滑模函数 s =ke 3 e(21) 式中:z为理想位置信号，（j y - z为跟踪误差，O〉0 设计自适应控制器为 + — -/sign(s) - hs 3 a (xz 3 yz )+ (x2 y - j2 ) - ( k 3 1) y - kxz 3 k r 3 r(22) 取a (8为a的估计值，b (8为b的估计值，h >0, 数 计 义为 卜⑴6 a - a (8 (23) 、⑴ 6 [ - b (8 对参数估计误差(2&)求导得到 ”a(8 =- 0(8 (24) ((8 6- b(8 定义Lyapunov函数为 MV = —1 2 ~s 2 3 + -—1 2(1 e2aa 3 1 + -—2(2 e (25) 对M求导，将式(22)和式(23)代入，得 M = S 3 1 ( 3 (2( ( =S k ( 3 y - Z - 1 ^ (2 •s (ky 3 kx. - kZ+y+x.+X. - Z)-A， a (s(y(k 3 1) - a(x. 3 yz ) b(x2y - j2 ) 3 k(x. - r ) - r 3 +.) - AA-ea a -1Aeb [ 6 s - e(x 3 y2) - e( J2 - x2y)- /sign(S _ hs -厂1 C 1A1 ea a -A厂 〜 2 eb b = - /sign(«s) s - hs2 - ea(xs 3 yz s 3 一 a ) - eh( j2s - x2A1 ys A(26) b) 取参数更新定律为 ra ( 8) 6 (1 ( ea - xs - yz s) {(27) ^ 〜b (8) 6 (2(eb - x2ys2 3 j22 s)则 M 6 - /sign (s) • s - hs2 & 0 (28) 根据Lyapunov稳定性定理，可知受控系统式（20) 的平衡状态是全局渐进稳定的。 采用四阶Nunge-Kutta算法进行数值仿真，仿真步 长为0201。采用自适应控制器式（22)和参数更新定 律式（27 )，取 a = 3，b = 10，k=20，Ai =A2=50，/ = 1，h = 20,受控系统(20)的初始值设为x(0) =1，y(0) =2,.0) =3,参数估计的初始值设为0^0) =4, b(0) =5。 图11，13描述了系统变量y分别对信号1n(8, cos(8的追踪，图12,14描述了 a (8, I (8对系统未 知参数a，b的识别。由图可知，所设计的控制器收敛 速度快，控制效果好。 图12参数a (8和b (8的收敛曲线 Fig. 12 Convergence curve of parameter a (8 and b (8 5结论 本文提出了一个超大范围的混沌系统，分析了系 统的动力学特性，设计了系统的模拟电路。最后设计 130 振动与冲击 2019年第38卷 图13跟踪61(8的曲线 Fig. 13 Tracing the curve of cos( 8) 1986，33 (11) :1072-1118. [9] LIU C，LIU T，LIU L，et al. A new chaotic attractor [ J]. Chaos Solitons & Fractals，2004，22(5): 1031-1038.[10] 杨晓丽，孙中奎.关于非自治Duffing-Va Der Pol混沌系 统完全同步的研究[J].振动与冲击，2010, 29(11): 131-134. YANG Xiaoli， SUN Zhongkui. Research on completesynchronization of non-autonomous chaotic Duffing-Van Der Pol systems [ J ]. Journal of Vibration and Shock，2010，29(11): 131-134.[11 ]张建雄，唐万生，徐勇.一个新的三维混沌系统[J ].物理 图14参数1 (8和[(8的收敛曲线 Fig. 14 Convergence curve of parameter a (8 and [ (8 了一个自适应控制器和一个自适应滑模控制器，分别 用于具有未知参数的混沌系统的全局稳定和给定信号 的追踪与未知参数的辨识，数值仿真结果表明所设计 控制器是有效的。 参考文献 * 1]曾强洪，朱石坚，楼京俊，等.基于滑模控制投影混沌同 步在隔振系统中的应用研光[J].振动与冲击，2010，29(12) ：114-117.ZENG Qianghong，ZHU Shijian，LOU Jingjun，et al. The application of projective synchronization to vibration isolation system based on sliding mode control [ J ]. Journal of Vibration and Shock，2010，29(12): 114-117.[2 ] VAIDYANATHAN S. Adaptive control of a chemical chaotic reactor [ J ]. International Journal of Pharmtech Research， 2015, 8(3):377-382.[3] PLOTNICK R E. Fractals and chaos in geology and geophysics* J]. Journal of Geology，1994，102( 1 )：117-118.[4 ] VAIDYANATHAN S. Global chaos synchronization of the lotka-volterra biological systems with four competitive species via active control [ J ]. International Journal of Pharmtech Research，2015, 8(6):206-217.[5 ] LORENZ N. Deterministic nonperiodic flow [ J ]. Journal of the Atmospheric Sciences，1963，20: 130-141.[6] CHENGuanrong，TETSUSHI U. Yet another chaotic attractor [J]. International Journal of Bifurcation & Chaos， 1999，9(7): 1465-1466.[7 ] LU Jinhu， CHEN Guanrong. A new chaotic attractor coined [J]. International Journal of Bifurcation & Chaos，2002，12 (3) :659-661. [8] CHUA L 0，KOMURO M，MATSUMOTO T. The double scroll family [ J ]. IEEE Transactions on Circuits & Systems， 学报，2008, 57(11 ):6799-6807. ZHANG Jianxiong，TANG Wansheng，XU Yong. A new three-dimensionl chaotic system[ J]. Acta Phys. Sin.，2008， 57(11) :6799-6807. [12] 张坦通.一个新型对数混沌系统及其电路仿真[J].电制作，2016(15):99-100.ZHANG Tangtong. A newlogarithmic chaotic system and its circuit simulation [ J ]. Practical Electronics， 2016 ( 15 ): 99-100. [13] WANG X，CHEN G. A chaotic system with only one stable equilibrium [ J ]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation，2012，17(3): 1264-1272.[14] ZHANG X，ZHU H，YAO H. Analysis of a new three dimensional chaotic system [ J ]. Nonlinear Dynamics，2011， 67 (1 ):335-343. [15] PAPPU C S，FLORES B C. Generation of high-range resolution radar signals using the Lorenz chaotic flow [ J ]. Proceedings of SPIE-The International Society for Optical Engineering，2010, 7669:76690T-76690T-12.[16] KUWASHIMA F，TANIGUCHI S，NON AKA K，et al. Generation of a wide-range THz wave with a chaotic oscillation in a laser[C]// 2009:7-12.[17] DMITRIEV B S，ZHARKOV Y D，SKOROKHODOV V N，et al. Generation and control of wide-range microwave chaotic signals TWT-generator [ C ]// International Conference on Actual Problems of Electron Devices Engineering. IEEE， 2014:29-34.[18] LIU J，ZHANG W. A new three-dimensional chaotic system with wide range of parameters [ J ]. Optik-International Journal for Light and Electron Optics，2013，124(22):5528-5532.[19 ]贾红艳，陈增强，袁著祉.一个大范围超混沌系统的生成和 电路实现[J].物理学报，2009, 58(7):4469-4476.JIA Hongyan，CHEN Zengqiang，YUAN Zhuzhi. Generation and circuit implementation of a large range hyper-chaotic system[ J]. Acta Phys. Sin，2009，58(7) : 4469-4476.[20 ]梅蓉，陈谋.一类超大范围超混沌系统的动力学分析和电 路实现[J].四川大学学报（工程科学版），2012, 44(5): 171-175.MEI Rong，CHEN Mou. Dynamic analysis of a class of large range of hyper-chaotic systems and its circuit achievement [J]. Journal of Sichuan University ( Engineering Science)， 2012，44(5) :171-175.[21] YU X，WU Z. Corrections to “ stochastic barbalat ’ s lemma and its applications ’’ [ Jun 12 1537-1543 ][ J ]. IEEE Transactions on Automatic Control， 2014， 59 ( 5 ): 1386-1390. 子 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容