函数与导数
B1 函数及其表示
图1－1
3．BP[2013²安徽卷] 如图1－1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( ) 3A. 41B. 6C.D.11 1225 24
111111
3．C [解析] 依次运算的结果是s＝，n＝4；s＝＋，n＝6；s＝＋＋，n＝8，此
22424611111
时输出s，故输出结果是＋＋＝.
24612
14．B1，B14[2013²安徽卷] 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．
x（x＋1）14．－ [解析] 当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由f(x＋1)＝2f(x)可得f(x)
211
＝f(x＋1)＝－x(x＋1)． 22
12
11．B1，E3[2013²安徽卷] 函数y＝ln1＋＋1－x的定义域为________．
x
11x＋12
11．(0，1] [解析] 实数x满足1＋>0且1－x≥0.不等式1＋>0，即>0，解得
xxxx>0或x<－1；不等式1－x≥0的解为－1≤x≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．
3
2x，x<0，fπ＝________．
13．B1[2013²福建卷] 已知函数f(x)＝则f4π
－tanx，0≤x<，2
ππ
13．－2 [解析] f＝－tan ＝－1，f(－1)＝－2.
4421．B1，B12[2013²江西卷] 设函数
2
- 1 -
1ax，0≤x≤a，f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．
11－a（1－x），a 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2； 2 (3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a，0)，记△ABC的面 积为S(a)，求S(a)在区间13，12 上的最大值和最小值． 21．解：(1)当a＝112 2时，f3＝3 ， ff13＝f23＝21－23＝2 3 . 12 a 2x，0≤x≤a，1 （a－x），a2 a（1－a） （1－a）2 （x－a），a 2 a（1－a）（1－x），a－a＋1≤x≤1. 当0≤x≤a2 时，由1a 2x＝x解得x＝0， 因为f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点； 当a2 ＋a＋1∈(a，a)， 因f a＋a＋1＝1a1a－a2a²－a2＋a＋1＝－a2 ＋a＋1≠－a2＋a＋1 ， 故x＝a －a2＋a＋1为f(x)的二阶周期点； 当a 解得x＝12－a∈(a，a2 －a＋1)， 因f 12－a＝11－a²1－12－a ＝12－a ， 故x＝1 2－a不是f(x)的二阶周期点； 当a2 －a＋1≤x≤1时， 由 1 a（1－a） (1－x)＝x - 2 - 12 解得x＝2∈(a－a＋1，1)， －a＋a＋1因f＝ 1121＝ ²1－2 －a＋a＋1（1－a）－a＋a＋1 a1 ≠. 22 －a＋a＋1－a＋a＋1 1 故x＝为f(x)的二阶周期点． 2－a＋a＋1因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点， a1 x1＝2，x2＝. 2 －a＋a＋1－a＋a＋1(3)由(2)得A a12a，B21， ，2，2－a＋a＋1－a＋a＋1－a＋a＋1－a＋a＋1 2 1a（1－a） 则S(a)＝²2， 2－a＋a＋11a（a－2a－2a＋2） S′(a)＝²， 22 2（－a＋a＋1） 3 2 112 因为a∈，，有a＋a<1. 32 1a（a－2a－2a＋2） 所以S′(a)＝² 22 2（－a＋a＋1）1a[（a＋1）（a－1）＋（1－a－a）] ＝²>0. 222（－a＋a＋1）(或令g(a)＝a－2a－2a＋2， 3 2 2 2 3 2 2－102＋102 g′(a)＝3a－4a－2＝3a－a－， 33 1115 因a∈(0，1)，g′(a)<0，则g(a)在区间，上的最小值为g＝>0， 32281132 故对于任意a∈，，g(a)＝a－2a－2a＋2>0， 32 1a（a－2a－2a＋2） S′(a)＝²>0) 22 2（－a＋a＋1） 3 2 11则S(a)在区间，上单调递增， 32 111111 故S(a)在区间，上的最小值为S＝，最大值为S＝. 32333220 2222 12．B1[2013²辽宁卷] 已知函数f(x)＝x－2(a＋2)x＋a，g(x)＝－x＋2(a－2)x－a＋8.设 H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝( ) 22 A．a－2a－16 B．a＋2a－16 C．－16 D．16 2222 12．C [解析] 由题意知当f(x)＝g(x)时，即x－2(a＋2)x＋a＝－x＋2(a－2)x－a＋ 22 8，整理得x－2ax＋a－4＝0，所以x＝a＋2或x＝a－2， - 3 - x－2（a＋2）x＋a（x≤a－2），2 2 H1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝－x＋2（a－2）x－a＋8，（a－2 2 H2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝x－2（a＋2）x＋a，（a－2 由图形可知(图略)，A＝H1(x)min＝－4a－4，B＝H2(x)max＝12－4a，则A－B＝－16，故选C. 12 7．B1[2013²辽宁卷] 已知函数f(x)＝ln(1＋9x－3x)＋1，则f(lg 2)＋flg ＝( ) 2A．－1 B．0 C．1 D．2 7．D [解析] 由已知条件可知，f(x)＋f(－x)＝ln(1＋9x－3x)＋1＋ 112 ln(1＋9（－x）＋3x)＋1＝2，而lg 2＋lg＝lg 2－lg 2＝0，故而f(lg 2)＋flg＝2. 22 2 2 2 22 图1－9 19．B1，I2[2013²新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－9所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将T表示为X的函数； (2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率． 19．解：(1)当X∈[100，130)时， T＝500X－300(130－X) ＝800X－39 000. 当X∈[130，150]时，T＝500³130＝65 000. 800X－39 000，100≤X＜130， 所以T＝ 65 000，130≤X≤150. (2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7. 1x 5．B1[2013²山东卷] 函数f(x)＝1－2＋的定义域为( ) x＋3 A．(－3，0] - 4 - B．(－3，1] C．(－∞，－3)∪(－3，0] D．(－∞，－3)∪(－3，1] 1－2≥0， 5．A [解析] 要使函数有意义，须有解之得－3 x 20．H4，E8，B1[2013²四川卷] 已知圆C的方程为x＋(y－4)＝4，点O是坐标原点．直 线l：y＝kx与圆C交于M，N两点． (1)求k的取值范围； 211 (2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且2＝2＋2.请将n表示为m的函数． |OQ||OM||ON|20．解：(1)将y＝kx代入x＋(y－4)＝4，得 22 (1＋k)x－8kx＋12＝0.(*) 222 由Δ＝(－8k)－4(1＋k)³12>0，得k>3. 所以，k的取值范围是(－∞，－3)∪(3＋∞)． (2)因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则 222222 |OM|＝(1＋k)x1，|ON|＝(1＋k)x2. 22222 又|OQ|＝m＋n＝(1＋k)m， 由 2112＝2＋2，得 |OQ||OM||ON| 2 2 22 21122＝22＋22， （1＋k）m（1＋k）x1（1＋k）x2211（x1＋x2）－2x1x2即2＝2＋2＝. 22 mx1x2x1x2 8k12由(*)式可知，x1＋x2＝，xx＝1222， 1＋k1＋k362 所以m＝2. 5k－3 n36222 因为点Q在直线y＝kx上，所以k＝，代入m＝2中并化简，得5n－3m＝36. m5k－3由m＝ 2 2 3622 及k>3，可知0 36＋3m15m＋180 ＝. 55 2 22 根据题意，点Q在圆C内，则n>0， 所以n＝15m＋180 于是，n与m的函数关系为n＝(m∈(－3，0)∪(0，3))． 5 11．B1[2013²浙江卷] 已知函数f(x)＝ x－1.若f(a)＝3，则实数a＝ ________． 11．10 [解析] f(a)＝a－1＝3.则a－1＝9，a＝10. 1 3．B1[2013²重庆卷] 函数y＝的定义域是( ) log2（x－2）A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞) - 5 - x－2>0， 3．C [解析] 由题可知所以x＞2且x≠3，故选C. x－2≠1， B2 反函数 1－1 6．B2[2013²全国卷] 函数f(x)＝log21＋(x>0)的反函数f(x)＝( ) x A. 11 (x>0) B.x(x≠0) 2－12－1 xx x C．2－1(x∈R) D．2－1(x>0) 111y－ 6．A [解析] 令y＝log21＋，则y>0，且1＋＝2，解得x＝y，交换x，y得f x2－1x 1 (x)＝ 1 (x>0)． 2－1 x B3 函数的单调性与最值 1logx，x≥1， 13．B3[2013²北京卷] 函数f(x)＝2的值域为________． x2，x<1 1 13．(－∞，2) [解析] 函数y＝logx在(0，＋∞)上为减函数，当x≥1时，函数y＝ 21xx logx的值域为(－∞，0]；函数y＝2在R上是增函数，当x<1时，函数y＝2的值域为(0，22)，所以原函数的值域为(－∞，2)． 3．B4，B3[2013²北京卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) 1－x A．y＝ B．y＝e x C．y＝－x＋1 D．y＝lg |x| 1－x 3．C [解析] 对于A，y＝是奇函数，排除．对于B，y＝e既不是奇函数，也不是偶函 x数，排除．对于D，y＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y＝lgx，此时单调递增，排除．只有C符合题意． x 12．B3，B6[2013²新课标全国卷Ⅱ] 若存在正数x使2(x－a)<1成立，则a的取值范围是( ) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 2 - 6 - 11112．D [解析] 由题意存在正数x使得a>x－x成立，即a>x－x.由于x－x是(0，222min11 ＋∞)上的增函数，故x－x>0－0＝－1，所以a>－1.答案为D. 22 11．B3，B5，B8，B12[2013²新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，下列结 论中错误的是( ) A．x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 11．C [解析] x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x0∈R，f(x0) 3 ＝0，A正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x＋c，从而函数y＝f(x)的图像是中心对称图形，B正确．若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1，若x1 21．B3，B9，B12[2013²四川卷] 已知函数f(x)＝其中a是实数．设 ln x，x>0， 2 3 2 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x1 (2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x2<0，证明：x2－x1≥1； (3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围． 21．解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1 )，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)． (2)证明：由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)． 故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)²f′(x2)＝－1. 当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2. 因为x1 1 因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥[－（2x1＋2）]（2x2＋2）＝1. 231 当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立 22所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1. (3)当x1 y－(x1＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即 2 y＝(2x1＋2)x－x1＋a. 1 当x2>0时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y x2 1 ＝²x＋ln x2－1. x2 两切线重合的充要条件是 - 7 - 1＝2x1＋2，① x2 ln x2－1＝－x21＋a.②1 由①及x1<0 1111由①②得，a＝ln x2＋－1－1＝－ln＋－2－1. x24x22x2112 令t＝，则0 设h(t)＝t－t－ln t(0 则h′(t)＝t－1－＝<0. 2t2t 所以h(t)(0 而当t∈(0，2)且t趋近于0时，h(t)无限增大， 所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 10．B3，B12[2013²四川卷] 设函数f(x)＝e＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是( ) A．[1，e] B．[1，1＋e] C．[e，1＋e] D．[0，1] 10．A [解析] 易得f(x)在[0，1]上是增函数，对于b∈[0，1]，如果f(b)＝c＞b，则f(f(b))＝f(c)＞f(b)＝c＞b，不可能有f(f(b))＝b；同理，当f(b)＝d＜b时，则f(f(b))＝f(d)＜f(b)＝d＜b，也不可能有f(f(b))＝b；因此必有f(b)＝b，即方程f(x)＝x在[0，1]上有解，即e＋x－a＝x.因为x≥0，两边平方得e＋x－a＝x，所以a＝e－x＋x.记g(x)x2x ＝e－x＋x，则g′(x)＝e－2x＋1. x x 2 x 2 x 2 22 1x 当x∈0，时，e＞0，－2x＋1≥0，故g′(x)＞0. 2 1x 当x∈，1时，e＞e＞1，－2x＋1≥－1，故g′(x)＞0，综上，g′(x)在x∈[0，1] 2 上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[g(0)，g(1)]，即[1，e]，从而a的取值范围是[1，e]． B4 函数的奇偶性与周期性 3．B4，B3[2013²北京卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) 1－x A．y＝ B．y＝e x - 8 - C．y＝－x＋1 D．y＝lg |x| 1－x 3．C [解析] 对于A，y＝是奇函数，排除．对于B，y＝e既不是奇函数，也不是偶函 x数，排除．对于D，y＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y＝lgx，此时单调递增，排除．只有C符合题意． 13．B4[2013²全国卷] 设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝________ 13．－1 [解析] f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1. lg（x＋1） 2．B4[2013²广东卷] 函数y＝的定义域是( ) x－1A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞) x＋1>0， 2．C [解析] 由题知得x∈(－1，1)∪(1，＋∞)，故选C. x－1≠0 2 8．B4[2013²湖北卷] x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在 R上为( ) A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 8．D [解析] 作出函数f(x)＝x－[x]的大致图像如下： 观察图像，易知函数f(x)＝x－[x]是周期函数． 4．B4[2013²湖南卷] 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( ) A．4 B．3 C．2 D．1 4．B [解析] 由函数的奇偶性质可得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)．根据f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4，可得2g(1)＝6，即g(1)＝3，选B. 2 11．B4[2013²江苏卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________． 11．(－5，0)∪(5，＋∞) [解析] 设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝ 2 －f(－x)＝－(x＋4x)． 又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x等价于 x≥0，x<0，2或 2x－4x>x－（x＋4x）>x. 解得x>5或－5 12 3．B4[2013²山东卷] 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋，则f(－1) x＝( ) - 9 - A．2 B．1 C．0 D．－2 213．D [解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－1＋＝－2. 1 7．B4，B7[2013²天津卷] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)1 上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( ) 2 1 A．[1，2] B．0， 21 C.，2 D．(0，2] 2 117．C [解析] ∵f(x)为偶函数，∴f(log2a)＝f(loga)，又∵f(log2a)＋floga≤2f(1)，221 ∴f(log2a)≤f(1)，即|log2a|≤1，解之得≤a≤2. 2 9．B4和B7[2013²重庆卷] 已知函数f(x)＝ax＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝( ) A．－5 B．－1 C．3 D．4 9．C [解析] 因为f(lg(log210))＝flg 3 1＝f(－lg(lg 2))＝5，又因为f(x)＋f(－ lg 2 x)＝8，所以f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝5＋f(lg(lg2))＝8，所以f(lg(lg 2))＝3，故选C. B5 二次函数 2 6．B5，B9[2013²湖南卷] 函数f(x)＝ln x的图像与函数g(x)＝x－4x＋4的图像的交点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2 6．A [解析] 方法一：作出函数f(x)＝ln x，g(x)＝x－4x＋4的图像如图所示 可知，其交点个数为2，选C. 方法二(数值法) x f(x)＝ln x g(x)＝x－4x＋4 21 0 1 2 ln 2(>0) 0 4 ln 4(<4) 4 - 10 - 可知它们有2个交点，选C. 2 2．B5[2013²江西卷] 若集合A＝{x∈R|ax＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( ) A．4 B．2 C．0 D．0或4 2 2．A [解析] 当a＝0时，A＝；当a≠0时，Δ＝a－4a＝0，则a＝4，故选A. 32 11．B3，B5，B8，B12[2013²新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 11．C [解析] x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x0∈R，f(x0) 3 ＝0，A正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x＋c，从而函数y＝f(x)的图像是中心对称图形，B正确．若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1，若x1 12．B5、B12、B14[2013²新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝若 ln（x＋1），x＞0. 2 |f(x)|≥ax，则a的取值范围是( ) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0] x－2x，x≤0， 12．D [解析] 函数y＝|f(x)|＝在同一坐标系中画出y＝|f(x)|，y ln （x＋1），x>0. 2 ＝ax的图像如图所示，问题等价于直线y＝ax不在函数y＝|f(x)|图像的上方，显然a>0时， 2 y＝ln (x＋1)的图像不可能恒在直线y＝ax的上方，故a≤0；由于直线y＝ax与曲线y＝x 2 －2x均过坐标原点，所以满足条件的直线y＝ax的极端位置是曲线y＝x－2x在点(0，0)处的切线，y′＝2x－2，当x＝0时y′＝－2.所以－2≤a≤0. 2 7．B5[2013²浙江卷] 已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( ) A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 b 7．A [解析] 若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，则－＝2，则 2a 4a＋b＝0，而f(0)＝f(4)>f(1)，故开口向上，所以a>0，4a＋b＝0.所以选择A. B6 指数与指数函数 - 11 - x 12．B3，B6[2013²新课标全国卷Ⅱ] 若存在正数x使2(x－a)<1成立，则a的取值范围是( ) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 11112．D [解析] 由题意存在正数x使得a>x－x成立，即a>x－x.由于x－x是(0，222min11 ＋∞)上的增函数，故x－x>0－0＝－1，所以a>－1.答案为D. 22 B7 对数与指数函数 8．B7，E1[2013²新课标全国卷Ⅱ] 设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( ) A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 11log25－log23 8．D [解析] a－b＝log32－log52＝－＝>0a>b，c＝log23>1， log23log25log23log25a<1，b<1，所以c>a>b，答案为D. 0，0 ln x，x≥1. ＋ ①若a>0，b>0，则ln(a)＝blna； ＋＋ ②若a>0，b>0，则ln(ab)＝ln a＋lnb； ③若a>0，b>0，则ln ＋ ＋b＋ a＋＋ ≥lna－lnb； b ＋ ＋ ④若a>0，b>0，则ln(a＋b)≤lna＋lnb＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) b＋bb＋ 16．①③④ [解析] ①中，当a≥1时，∵b>0，∴a≥1，lna＝ln a＝bln a＝blna；b＋b＋ 当0 ②中，当0 aa＋＋ ③中，当≤1，即a≤b时，左边＝0，右边＝lna－lnb≤0，左边≥右边，成立；当>1 bba 时，左边＝ln ＝ln a－ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a－ln b，左边≥右边成立；若0 时，右边＝0, 左边≥右边成立；若a>1>b>0，左边＝ln ＝ln a－ln b>ln a，右边＝ln a， b左边≥右边成立，∴③正确． ＋＋＋ ④中，若0 ＋ - 12 - 右边；若a＋b≥1，ln(a＋b)－ln 2＝ln(a＋b)－ln 2＝ln a＋ba＋b又∵≤a或≤b，a，b至少有1个大于1， 22∴lnln ＋ a＋b. 2 a＋b≤ln a或lna＋b≤ln b，即有ln＋(a＋b)－ln 2＝ln (a＋b)－ln 2＝ 22 a＋b≤ln＋a＋ln＋b，∴④正确． 2 7．B4，B7[2013²天津卷] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞) 1 上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( ) 2 1 A．[1，2] B．0， 21 C.，2 D．(0，2] 2 117．C [解析] ∵f(x)为偶函数，∴f(log2a)＝f(loga)，又∵f(log2a)＋floga≤2f(1)，221 ∴f(log2a)≤f(1)，即|log2a|≤1，解之得≤a≤2. 2 3．B7[2013²陕西卷] 设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A．logab²logcb＝logca B．logab²logca＝logcb C．loga(bc)＝logab²logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 3．B [解析] 利用对数的运算性质可知C，D是错误的．再利用对数运算性质logab²logcblg blg alg b≠logca.又因为logab²logca＝³＝＝logcb，故选B. lg alg clg c 11．B7[2013²四川卷] lg 5＋lg 20的值是________． 11．1 [解析] lg 5＋lg 20＝lg (5²20)＝lg 100＝lg 10＝1. 3 9．B4和B7[2013²重庆卷] 已知函数f(x)＝ax＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝( ) A．－5 B．－1 C．3 D．4 9．C [解析] 因为f(lg(log210))＝flg 1＝f(－lg(lg 2))＝5，又因为f(x)＋f(－ lg 2 x)＝8，所以f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝5＋f(lg(lg2))＝8，所以f(lg(lg 2))＝3，故选C. B8 幂函数与函数的图像 2 5．B8[2013²福建卷] 函数f(x)＝ln(x＋1)的图像大致是( ) - 13 - 图1－1 5．A [解析] f(x)是定义域为R的偶函数，图像关于y轴对称，又过点(0，0)，故选A. 32 11．B3，B5，B8，B12[2013²新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 11．C [解析] x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x0∈R，f(x0) 3 ＝0，A正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x＋c，从而函数y＝f(x)的图像是中心对称图形，B正确．若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1，若x1 32 10．B9，B12[2013²安徽卷] 已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1) 2 ＝x1 22 10．A [解析] f′(x)＝3x＋2ax＋b，根据已知，得3x＋2ax＋b＝0有两个不同的实根 2 x1，x2，且x1 实根，f(x)＝x2有一个实根，故方程3(f(x))＋2af(x)＋b＝0共有3个不同实根． - 14 - 图1－2 8．B9[2013²安徽卷] 函数y＝f(x)的图像如图1－2所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)f（x1）f（x2）f（xn）个不同的数x1，x2，„，xn，使得＝＝„＝，则n的取值范围为( ) x1x2xnA．{2，3} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{3，4，5} 8．B [解析] 问题等价于求直线y＝kx与函数y＝f(x)图像的交点个数，从图中可以看出交点个数可以为2，3，4，故n的取值范围是{2，3，4}． 2 18．B11，B12，B9，B14[2013²北京卷] 已知函数f(x)＝x＋xsin x＋cos x. (1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围． 2 18．解：由f(x)＝x＋xsin x＋cos x，得 f′(x)＝x(2＋cos x)． (1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)． 解得a＝0，b＝f(0)＝1. (2)令f ′(x)＝0，得x＝0. f(x)与f′(x)的情况如下： x f′(x) f(x) (－∞，0) － 0 0 1 (0，＋∞) ＋ 所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值． 当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点； 2 当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1 综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)． 2 6．B5，B9[2013²湖南卷] 函数f(x)＝ln x的图像与函数g(x)＝x－4x＋4的图像的交点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2 6．A [解析] 方法一：作出函数f(x)＝ln x，g(x)＝x－4x＋4的图像如图所示 - 15 - 可知，其交点个数为2，选C. 方法二(数值法) x f(x)＝ln x g(x)＝x－4x＋4 21 0 1 2 ln 2(>0) 0 4 ln 4(<4) 4 可知它们有2个交点，选C. x2 8．B9[2013²天津卷] 设函数f(x)＝e＋x－2，g(x)＝ln x＋x－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( ) A．g(a)<0 21．B3，B9，B12[2013²四川卷] 已知函数f(x)＝其中a是实数．设 ln x，x>0， 2 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x1 (2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x2<0，证明：x2－x1≥1； (3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围． 21．解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1 )，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)． (2)证明：由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)． 故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)²f′(x2)＝－1. 当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2. 因为x1 1 因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥[－（2x1＋2）]（2x2＋2）＝1. 231 当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立 22所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1. (3)当x1 y－(x1＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即 2 y＝(2x1＋2)x－x1＋a. - 16 - 1 当x2>0时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y x2 1 ＝²x＋ln x2－1. x2 两切线重合的充要条件是 1＝2x1＋2，① x2 ln x2－1＝－x21＋a.② 1 由①及x1<0 1111由①②得，a＝ln x2＋－1－1＝－ln＋－2－1. x24x22x2112 令t＝，则0 设h(t)＝t－t－ln t(0 则h′(t)＝t－1－＝<0. 2t2t 所以h(t)(0 而当t∈(0，2)且t趋近于0时，h(t)无限增大， 所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． B10 函数模型及其应用 5．B10[2013²湖北卷] 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( ) 2 22 图1－1 - 17 - 5．C [解析] 由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C项符合，故选C. 10．B10[2013²陕西卷] 设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有( ) 1A．[－x]＝－[x] B.x＋＝[x] 21C．[2x]＝2[x] D．[x]＋x＋＝[2x] 2 10．D [解析] 可取特值x＝3.5，则[－x]＝[－3.5]＝－4，－[x]＝－[3.5]＝－3，故1 A错．x＋＝[3.5＋0.5]＝4，而[x]＝[3.5]＝3，故B错. [2x]＝[7]＝7，2[x]＝2[3.5]＝6， 21 故C错．[x]＋ x＋＝7，而[2x]＝[7]＝7，故只有D正确． 2 B11 导数及其运算 2 18．B11，B12，B9，B14[2013²北京卷] 已知函数f(x)＝x＋xsin x＋cos x. (1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围． 2 18．解：由f(x)＝x＋xsin x＋cos x，得 f′(x)＝x(2＋cos x)． (1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)． 解得a＝0，b＝f(0)＝1. (2)令f ′(x)＝0，得x＝0. f(x)与f′(x)的情况如下： x f′(x) f(x) (－∞，0) － 0 0 1 (0，＋∞) ＋ 所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值． 当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点； 2 当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1 综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)． 42 10．B11[2013²全国卷] 已知曲线y＝x＋ax＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝( ) A．9 B．6 - 18 - C．－9 D．－6 3 10．D [解析] y′＝4x＋2ax，当x＝－1时y′＝8，故8＝－4－2a，解得a＝－6. 2 12．B11[2013²广东卷] 若曲线y＝ax－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________ 112 12. [解析] 易知点(1，a)在曲线y＝ax－ln x上，y′＝2ax－，∴ y′|＝2a2xx＝11 －1＝0，∴a＝. 2 11．B11[2013²江西卷] 若曲线y＝x＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________． 11．2 [解析] y′＝αx，y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，该切线过原点，得α＝2. x 21．B11，B12[2013²陕西卷] 已知函数f(x)＝e，x∈R. (1)求f(x)的反函数的图像上点(1，0)处的切线方程； α－1 α 12 (2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x＋x＋1有唯一公共点； 2(3)设a b－a2 21．解： (1) f(x)的反函数为g(x)＝ln x， 设所求切线的斜率为k， 1 ∵g′(x)＝，∴k＝g′(1)＝1. x于是在点(1，0)处切线方程为y＝x－1. 1212xx (2)方法一：曲线y＝e与y＝x＋x＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝e－x－x－1零 22点的个数． ∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零点x＝0. xx 又φ′(x)＝e－x－1，令h(x)＝φ′(x)＝e－x－1， x 则h′(x)＝e－1. 当x<0时，h′(x)<0，∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减； 当x>0时，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∴φ′(x)在x＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0， 即φ′(x)在R上的最小值为φ′(0)＝0， ∴φ′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)， ∴φ(x)在R上是单调递增的， ∴φ(x)在R上有唯一的零点． 12 故曲线y＝f(x)与曲线y＝x＋x＋1有唯一公共点． 212x 方法二：∵e>0，x＋x＋1>0， 2 12x ∴曲线y＝e与y＝x＋x＋1公共点的个数等于 2 - 19 - 12 x＋x＋12 曲线y＝与直线y＝1公共点的个数． x e 12 x＋x＋12 设φ(x)＝，则φ(0)＝1，即x＝0时，两曲线有公共点． x e1212xx （x＋1）e－x＋x＋1e－x 22 又φ′(x)＝＝x≤0(仅当x＝0时等号成立)， 2x ee∴φ(x)在R上单调递减， ∴φ(x)与y＝1有唯一的公共点， 12 故曲线y＝f(x)与y＝x＋x＋1有唯一的公共点． 2 a＋ba＋ba＋bba e－e－be＋aee 222a＋beb－eaf（b）－f（a）a＋b(3)－f－e ＝＝＝ b－a2b－ab－a2b－a eb－a－ea－b－（b－a）. 22 11xx 设函数u(x)＝e －x－2x(x≥0)，则u′(x)＝e＋x－2≥2 ee∴u′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)， ∴u(x)单调递增． 当x>0时，u(x)>u(0)＝0. b－ab－aa－b令x＝，则得e－e－(b－a)>0. 222∴ f（b）－f（a）a＋b>f. b－a2 x 2 1x e²x－2＝0. e 20．B11、B12[2013²新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝e(ax＋b)－x－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． x 20．解：(1)f′(x)＝e(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8. 从而a＝4，b＝4. x2 (2)由(1)知，f(x)＝4e(x＋1)－x－4x. x1x f′(x)＝4e(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)e－. 2 令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2. 从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0. 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． －2 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e)． 20．B11和B12[2013²重庆卷] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成 - 20 - 本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 20．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100²2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160222 πr元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr)元，又据题意200πrh＋160πr＝12 00012 π，所以h＝(300－4r)，从而 5r π23 V(r)＝πrh＝(300r－4r)． 5 因为r>0，又由h>0可得r<5 3，故函数V(r)的定义域为(0，5 3)． ππ32 (2)因为V(r)＝(300r－4r)，故V′(r)＝(300－12r)．令V′(r)＝0，解得r1＝5， 55r2＝－5(r2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，5 3)时，V′(r)<0， 故V(r)在(5，5 3)上为减函数． 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大． B12 导数的应用 22 20．E3，B12[2013²安徽卷] 设函数f(x)＝ax－(1＋a)x，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}． (1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)； (2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值． a22 20．解：(1)因为方程ax－(1＋a)x＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝2， 1＋a故f(x)>0的解集为{x|x1 1＋a1＋a a1－a (2)设d(a)＝2，则d′(a)＝22，令d′(a)＝0，得a＝1，由于0 当1 1＋（1－k）d（1－k）2－k－k 而＝＝23<1，故d(1－k) 1＋（1＋k）1－k 因此当a＝1－k时，d(a)在区间[1－k，1＋k]上取得最小值2. 2－2k＋k 10．B9，B12[2013²安徽卷] 已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1) 2 ＝x1 - 21 - 3 2 2 10．A [解析] f′(x)＝3x＋2ax＋b，根据已知，得3x＋2ax＋b＝0有两个不同的实根 2 x1，x2，且x1 实根，f(x)＝x2有一个实根，故方程3(f(x))＋2af(x)＋b＝0共有3个不同实根． 22 2 18．B11，B12，B9，B14[2013²北京卷] 已知函数f(x)＝x＋xsin x＋cos x. (1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围． 2 18．解：由f(x)＝x＋xsin x＋cos x，得 f′(x)＝x(2＋cos x)． (1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)． 解得a＝0，b＝f(0)＝1. (2)令f ′(x)＝0，得x＝0. f(x)与f′(x)的情况如下： x f′(x) f(x) (－∞，0) － 0 0 1 (0，＋∞) ＋ 所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值． 当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点； 2 当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1 综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)． 32 21．B12、B14[2013²全国卷] 已知函数f(x)＝x＋3ax＋3x＋1. (1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性； (2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围． 21．解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x－3 2x＋3x＋1， 2 f′(x)＝3x－6 2x＋3. 令f′(x)＝0，得x1＝2－1，x2＝2＋1. 当x∈(－∞，2－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－1)上是增函数； 当x∈(2－1，2＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(2－1，2＋1)上是减函数； 当x∈(2＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2＋1，＋∞)上是增函数． 5 (2)由f(2)≥0得a≥－. 4 - 22 - 3 2 5 当a≥－，x∈(2，＋∞)时， 4 252 f′(x)＝3(x＋2ax＋1)≥3x－x＋1＝ 213x－(x－2)>0， 2 所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0. 5综上，a的取值范围是－，＋∞. 4 a 22．B12，B14[2013²福建卷] 已知函数f(x)＝x－1＋x(a∈R，e为自然对数的底数)． e(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)求函数f(x)的极值； (3)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值． aa 22．解：(1)由f(x)＝x－1＋x，得f′(x)＝1－x. ee a 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a e＝e. a (2)f′(x)＝1－x， e ①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值． x ②当a>0时，令f′(x)＝0，得e＝a，x＝ln a. 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值． 1 (3)方法一：当a＝1时，f(x)＝x－1＋x. e1 令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋x， e则直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点， 等价于方程g(x)＝0在R上没有实数解． 假设k>1，此时g(0)＝1>0，g 1＝－1＋1<0， 1k－1 e k－1 又函数g(x)的图像连续不断，由零点存在定理，可知g(x)＝0在R上至少有一解，与“方程g(x)＝0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1. 1 又k＝1时，g(x)＝x>0，知方程g(x)＝0在R上没有实数解． e所以k的最大值为1. - 23 - 1 方法二：当a＝1时，f(x)＝x－1＋x. e直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点， 1 等价于关于x的方程kx－1＝x－1＋x在R上没有实数解，即关于x的方程： e1 (k－1)x＝x(*)在R上没有实数解． e 1 ①当k＝1时，方程(*)可化为x＝0，在R上没有实数解． e②当k≠1时，方程(*)化为 x 1x ＝xe. k－1 x 令g(x)＝xe，则有g′(x)＝(1＋x)e. 令g′(x)＝0，得x＝－1， 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： x g′(x) g(x) (－∞，－1) － －1 0 1－ e(－1，＋∞) ＋ 1 当x＝－1时，g(x)min＝－，同时当x趋于＋∞时，g(x)趋于＋∞，从而g(x)的取值范 e1 围为－，＋∞. e 所以当 11∈－∞，－时，方程(*)无实数解． ek－1 解得k的取值范围是(1－e，1)． 综上①②，得k的最大值为1. ax＋b 21．B12，N4[2013²湖北卷] 设a>0，b>0，已知函数f(x)＝. x＋1(1)当a≠b时，讨论函数f(x)的单调性； (2)当x>0时，称f(x)为a，b关于x的加权平均数． (i)判断f(1)，f bbb，f是否成等比数列，并证明f≤faaa b ； a 2ab (ii)a，b的几何平均数记为G，称为a，b的调和平均数，记为H.若H≤f(x)≤G， a＋b求x的取值范围． 21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， a（x＋1）－（ax＋b）a－b f′(x)＝＝22. （x＋1）（x＋1） 当a＞b时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增； 当a＜b时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减． a＋bb2ab＞0， (2)(i)计算得f(1)＝＞0，f＝ 2aa＋b - 24 - f b ＝ab＞0. a b2 ，即 a ba＋b²2ab＝ab＝f故f(1)f＝2a＋babf(1)f＝fa 所以f(1)，f因 b2 .① a bb ，f成等比数列． aa bb，结合①得fa≤fa b . a a＋b ≥ab，即f(1)≥f2 b (ii)由(i)知f＝H，f ab ＝G，故由H≤f(x)≤G， a b得f≤f(x)≤f ab .② a b ＝a. a bb，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增与②式，得≤x≤aa b ，a b当a＝b时，f＝f(x)＝f a bb 当a＞b时，0＜＜1，从而＜aa 这时，x的取值范围为(0，＋∞)； b 即x的取值范围为， ab； a b ，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减与②式， a bb 当a＜b时，＞1，从而＞ aa得 bb ，. aa 10．B12[2013²湖北卷] 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( ) bb≤x≤，即x的取值范围为aa 1A．(－∞，0) B.0， 2 C．(0，1) D．(0，＋∞) 1 10．B [解析] f′(x)＝ln x－ax＋x－a＝ln x－2ax＋1，函数f(x)有两个极值点等价 x于方程ln x－2ax＋1＝0有两个大于零的不相等的实数根．令y1＝ln x，y2＝2ax－1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a≤0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y＝2ax－1与曲线y＝ln x相切时，两函数图像均有两个11 不同的公共点，y′1＝，故曲线y＝ln x上的点(x0，ln x0)处的切线方程是y－ln x0＝(x xx0－x0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x0＝－1，解得x0＝1，故过点(0，－1)的曲线y＝ln 11 x的切线斜率是1，故2a＝1，即a＝，所以a的取值范围是0，. 22 21．B1，B12[2013²江西卷] 设函数 - 25 - 1ax，0≤x≤a，f(x)＝a为常数且a∈(0，1)． 11－a（1－x），a 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2； 2 (3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a，0)，记△ABC的面 积为S(a)，求S(a)在区间13，12 上的最大值和最小值． 21．解：(1)当a＝112 2时，f3＝3 ， ff13＝f23＝21－23＝2 3 . 12 a 2x，0≤x≤a，1 （a－x），a2 a（1－a） （1－a）2 （x－a），a 2 a（1－a）（1－x），a－a＋1≤x≤1. 当0≤x≤a2 时，由1a 2x＝x解得x＝0， 因为f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点； 当a2 ＋a＋1∈(a，a)， 因f aa1a－a2＋a＋1＝1a²－a2＋a＋1＝－a2 ＋a＋1≠－a2＋a＋1 ， 故x＝a －a2＋a＋1为f(x)的二阶周期点； 当a 解得x＝12－a∈(a，a2 －a＋1)， 因f 12－a＝11－a²1－12－a ＝12－a ， 故x＝1 2－a不是f(x)的二阶周期点； 当a2 －a＋1≤x≤1时， 由 1 a（1－a） (1－x)＝x - 26 - 12 解得x＝2∈(a－a＋1，1)， －a＋a＋1因f＝ 1121＝ ²1－2 －a＋a＋1（1－a）－a＋a＋1 a1 ≠. 22 －a＋a＋1－a＋a＋1 1 故x＝为f(x)的二阶周期点． 2－a＋a＋1因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点， a1 x1＝2，x2＝. 2 －a＋a＋1－a＋a＋1(3)由(2)得A a12a，B21， ，2，2－a＋a＋1－a＋a＋1－a＋a＋1－a＋a＋1 2 1a（1－a） 则S(a)＝²2， 2－a＋a＋11a（a－2a－2a＋2） S′(a)＝²， 22 2（－a＋a＋1） 3 2 112 因为a∈，，有a＋a<1. 32 1a（a－2a－2a＋2） 所以S′(a)＝² 22 2（－a＋a＋1）1a[（a＋1）（a－1）＋（1－a－a）] ＝²>0. 222（－a＋a＋1）(或令g(a)＝a－2a－2a＋2， 3 2 2 2 3 2 2－102＋102 g′(a)＝3a－4a－2＝3a－a－， 33 1115 因a∈(0，1)，g′(a)<0，则g(a)在区间，上的最小值为g＝>0， 32281132 故对于任意a∈，，g(a)＝a－2a－2a＋2>0， 32 1a（a－2a－2a＋2） S′(a)＝²>0) 22 2（－a＋a＋1） 3 2 11则S(a)在区间，上单调递增， 32 111111 故S(a)在区间，上的最小值为S＝，最大值为S＝. 32333220 21．B12[2013²辽宁卷] (1)证明：当x∈[0，1]时， 3 2 2 x≤sin x≤x； 2 x (2)若不等式ax＋x＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围． 221．解：(1)记F(x)＝sin x－ 22x，则F′(x)＝cos x－. 22 - 27 - ππ 当x∈0，时，F′(x)>0，F(x)在0，上是增函数； 44ππ 当x∈，1时，F′(x)<0，F(x)在，1上是减函数． 44 2 x. 2 记H(x)＝sin x－x，则当x∈(0，1)时，H′(x)＝cos x－1<0，所以，H(x)在[0，1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即sin x≤x. 又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即sin x≥综上， 2 x≤sin x≤x，x∈[0，1]． 2 (2)方法一： 因为当x∈[0，1]时， x ax＋x＋＋2(x＋2)cos x－4 2 2 3 x2x ＝(a＋2)x＋x＋－4(x＋2)sin 22 2 3 x22 ≤(a＋2)x＋x＋－4(x＋2)x 24 ＝(a＋2)x. 2 3 x 所以，当a≤－2时，不等式ax＋x＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0，1]恒成立． 2 2 3 x 下面证明，当a>－2时，不等式ax＋x＋＋2(x＋2)cos x≤4对 x∈[0，1]不恒成立． 2 2 3 因为当x∈[0，1]时． x ax＋x＋＋2(x＋2)cos x－4 2 2 3 x2x ＝(a＋2)x＋x＋－4(x＋2)sin 22 2 3 xx2 ≥(a＋2)x＋x＋－4(x＋2) 22 2 3 x ＝(a＋2)x－x－ 2 2 3 32 ≥(a＋2)x－x 232 ＝－xx－(a＋2)． 23 a＋21x02 所以存在x0∈(0，1)例如x0取和中的较小值满足ax0＋x0＋＋2(x0＋2)cos x0－4>0. 322x 即当a>－2时，不等式ax＋x＋＋2(x＋2)cos x－4≤0对x∈[0，1]不恒成立． 2 2 3 3 综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]． 方法二： x 记f(x)＝ax＋x＋＋2(x＋2)cos x－4，则 2 2 3 - 28 - 3x f′(x)＝a＋2x＋＋2cos x－2(x＋2)sin x. 2记G(x)＝f′(x)，则 G′(x)＝2＋3x－4sin x－2(x＋2)cos x. 12 当x∈(0，1)时，cos x>，因此G′(x)<2＋3x－4²x－(x＋2)＝(2－2 2)x<0. 22 于是f′(x)在[0，1]上是减函数，因此，当x∈(0，1)时f′(x) 2 2 3 2 x 下面证明，当a>－2时，不等式ax＋x＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0，1]不恒成立． 2 2 3 由于f′(x)在[0，1]上是减函数，且 7 f′(0)＝a＋2>0，f′(1)＝a＋＋2cos 1－6sin 1. 2 7 当a≥6sin 1－2cos 1－时，f′(1)≥0，所以当x∈(0，1)时，f′(x)>0，因此f(x) 2在[0，1]上是增函数，故f(1)>f(0)＝0； 7 当－2 又f′(0)>0，故存在x0∈(0，1)使f′(x0)＝0，则当0 x 所以，当a>－2时，不等式ax＋x＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0，1]不恒成立． 2 2 3 综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]． 2－x 21．B12，H1[2013²新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝xe. (1)求f(x)的极小值和极大值； (2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围． 21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)． －x f′(x)＝－ex(x－2)．① 当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0； 当x∈(0，2)时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增． 故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值，极大 －2 值为f(2)＝4e. (2)设切点为(t，f(t))，则l的方程为 y＝f′(t)(x－t)＋f(t)． 所以l在x轴上的截距为 m(t)＝t－ f（t）t2 ＝t＋＝t－2＋＋3. f′（t）t－2t－2 由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)． 2 令h(x)＝x＋(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2 2，＋∞)；当x∈(－ x∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)． - 29 - 所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[2 2＋3，＋∞)． 综上，l在x轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[2 2＋3，＋∞)． 32 11．B3，B5，B8，B12[2013²新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 11．C [解析] x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x0∈R，f(x0) 3 ＝0，A正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x＋c，从而函数y＝f(x)的图像是中心对称图形，B正确．若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1，若x1 21．B12[2013²山东卷] 已知函数f(x)＝ax＋bx－ln x (a，b∈R)． (1)设a≥0，求f(x)的单调区间； (2)设a>0，且对任意x>0，f(x)≥f(1)．试比较ln a与－2b的大小． 2 21．解：(1)由f(x)＝ax＋bx－ln x，x∈(0，＋∞)， 2ax＋bx－1 得f′(x)＝. xbx－1 ①当a＝0时，f′(x)＝. x (i)若b≤0，当x＞0时，f′(x)＜0恒成立， 所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)． 1 (ii)若b＞0，当0＜x＜时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减， b1 当x＞时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增． b 2 11所以，函数f(x)的单调递减区间是0，，单调递增区间是，＋∞. bb ②当a＞0时，令f′(x)＝0， 2 得2ax＋bx－1＝0. 2 由Δ＝b＋8a＞0得 －b－b＋8a－b＋b＋8ax1＝，x2＝. 4a4a 显然，x1＜0，x2＞0. 当0＜x＜x2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； 当x＞x2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增． 22－b＋b2＋8a 所以函数f(x)的单调递减区间是0，， 4a －b＋b2＋8a 单调递增区间是，＋∞. 4a 综上所述， 当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)； 11当a＝0，b>0时，函数f(x)的单调递减区间是0，，单调递增区间是，＋∞； bb - 30 - －b＋b2＋8a 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是0，，单调递增区间是 4a －b＋b2＋8a，＋∞. 4a (2)由题意，函数f(x)在x＝1处取得最小值， －b＋b＋8a由(1)知是f(x)的唯一极小值点， 4a－b＋b＋8a故＝1，整理得 4a2a＋b＝1，即b＝1－2a. 令g(x)＝2－4x＋ln x. 1－4x 则g′(x)＝. x1 令g′(x)＝0，得x＝. 4 1 当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增； 41 当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减． 411因此g(x)≤g＝1＋ln ＝1－ln 4＜0. 44 故g(a)＜0，即2－4a＋ln a＝2b＋ln a＜0， 即ln a＜－2b. x 21．B11，B12[2013²陕西卷] 已知函数f(x)＝e，x∈R. (1)求f(x)的反函数的图像上点(1，0)处的切线方程； 12 (2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x＋x＋1有唯一公共点； 2(3)设a 2 a＋b与f（b）－f（a）的大小，并说明理由． b－a2 21．解： (1) f(x)的反函数为g(x)＝ln x， 设所求切线的斜率为k， 1 ∵g′(x)＝，∴k＝g′(1)＝1. x于是在点(1，0)处切线方程为y＝x－1. 1212xx (2)方法一：曲线y＝e与y＝x＋x＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝e－x－x－1零 22点的个数． ∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零点x＝0. xx 又φ′(x)＝e－x－1，令h(x)＝φ′(x)＝e－x－1， x 则h′(x)＝e－1. 当x<0时，h′(x)<0，∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减； 当x>0时，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∴φ′(x)在x＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0， 即φ′(x)在R上的最小值为φ′(0)＝0， - 31 - ∴φ′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)， ∴φ(x)在R上是单调递增的， ∴φ(x)在R上有唯一的零点． 12 故曲线y＝f(x)与曲线y＝x＋x＋1有唯一公共点． 212x 方法二：∵e>0，x＋x＋1>0， 2 12x ∴曲线y＝e与y＝x＋x＋1公共点的个数等于 212 x＋x＋12 曲线y＝与直线y＝1公共点的个数． xe 12 x＋x＋12 设φ(x)＝，则φ(0)＝1，即x＝0时，两曲线有公共点． x e1212xx （x＋1）e－x＋x＋1e－x 22 又φ′(x)＝＝2xx≤0(仅当x＝0时等号成立)， ee∴φ(x)在R上单调递减， ∴φ(x)与y＝1有唯一的公共点， 12 故曲线y＝f(x)与y＝x＋x＋1有唯一的公共点． 2 a＋ba＋ba＋bba e－e－be＋aee 222f（b）－f（a）a＋b＝e－e－ea＋b ＝ (3)－f＝b－a2b－ab－a2b－a b a eb－a－ea－b－（b－a）. 22 11xx 设函数u(x)＝e －x－2x(x≥0)，则u′(x)＝e＋x－2≥2 ee∴u′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)， ∴u(x)单调递增． 当x>0时，u(x)>u(0)＝0. b－ab－aa－b令x＝，则得e－e－(b－a)>0. 222∴ f（b）－f（a）a＋b>f. b－a2 2 1x e²x－2＝0. e x＋2x＋a，x<0， 21．B3，B9，B12[2013²四川卷] 已知函数f(x)＝其中a是实数．设 ln x，x>0， A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x1 (2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x2<0，证明：x2－x1≥1； (3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围． 21．解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1 )，单调递增区间为[－1，0)，(0， - 32 - ＋∞)． (2)证明：由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)． 故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)²f′(x2)＝－1. 当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2. 因为x1 1 因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥[－（2x1＋2）]（2x2＋2）＝1. 231 当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立 22所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1. (3)当x1 y－(x1＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即 2 y＝(2x1＋2)x－x1＋a. 1 当x2>0时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y x2 1 ＝²x＋ln x2－1. x2 两切线重合的充要条件是 1＝2x1＋2，① x2 ln x2－1＝－x21＋a.② 1 由①及x1<0 1111由①②得，a＝ln x2＋－1－1＝－ln＋－2－1. x24x22x2112 令t＝，则0 设h(t)＝t－t－ln t(0 则h′(t)＝t－1－＝<0. 2t2t 所以h(t)(0 而当t∈(0，2)且t趋近于0时，h(t)无限增大， 所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 10．B3，B12[2013²四川卷] 设函数f(x)＝e＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是( ) A．[1，e] B．[1，1＋e] - 33 - x 2 22 C．[e，1＋e] D．[0，1] 10．A [解析] 易得f(x)在[0，1]上是增函数，对于b∈[0，1]，如果f(b)＝c＞b，则f(f(b))＝f(c)＞f(b)＝c＞b，不可能有f(f(b))＝b；同理，当f(b)＝d＜b时，则f(f(b))＝f(d)＜f(b)＝d＜b，也不可能有f(f(b))＝b；因此必有f(b)＝b，即方程f(x)＝x在[0，1]上有解，即e＋x－a＝x.因为x≥0，两边平方得e＋x－a＝x，所以a＝e－x＋x.记g(x)x2x ＝e－x＋x，则g′(x)＝e－2x＋1. x x 2 x 2 1x 当x∈0，时，e＞0，－2x＋1≥0，故g′(x)＞0. 2 1x 当x∈，1时，e＞e＞1，－2x＋1≥－1，故g′(x)＞0，综上，g′(x)在x∈[0，1] 2 上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[g(0)，g(1)]，即[1，e]，从而a的取值范围是[1，e]． 3 x－（a＋5）x，x≤0， 20．B12[2013²天津卷] 设a∈[－2，0]，已知函数f(x)＝3a＋32 x－x＋ax，x>0.2(1)证明f(x)在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增； (2)设曲线y＝f(x)在点Pi(xi，f(xi))(i＝1，2，3)处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证1 明x1＋x2＋x3>－. 3 a＋3233 20．解：(1)证明：设函数f1(x)＝x－(a＋5)x(x≤0)，f2(x)＝x－x＋ax(x≥0)， 2①f′1(x)＝3x－(a＋5)，a∈[－2，0]，从而当－1 ②f′2(x)＝3x－(a＋3)x＋a＝(3x－a)(x－1)，由于a∈[－2，0]，所以当0 综合①②及f1(0)＝f2(0)，可知函数f(x)在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增． a＋3 (2)证明：由(1)知f′(x)在区间(－∞，0)内单调递减，在区间0，内单调递减，在 6a＋3区间，＋∞内单调递增，且f′2(0)－f′1(0)＝a＋a＋5>0.因为曲线y＝f(x)在点Pi(xi， 6f(xi))(i＝1，2，3)处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且f′(x1)＝f′(x2)＝f′ 222 (x3)．结合图像不妨设x1<0 可得3x2－3x3－(a＋3)(x2－x3)＝0，解得x2＋x3＝. 3a＋32 设g(x)＝3x－(a＋3)x＋a，则g ，则a＝. 32 315 ，， 33 - 34 - 2 2 2 2 2a＋5 ＋. 33 因为a∈[－2，0]，所以t∈ 3t＋111112 故x1＋x2＋x3>－t＋＝(t－1)－≥－，即x1＋x2＋x3>－. 62333 20．B11、B12[2013²新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝e(ax＋b)－x－4x，曲线y＝f(x) 在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． x 20．解：(1)f′(x)＝e(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8. 从而a＝4，b＝4. x2 (2)由(1)知，f(x)＝4e(x＋1)－x－4x. x 2 2 x1x f′(x)＝4e(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)e－. 2 令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2. 从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0. 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． －2 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e)． －x＋2x，x≤0， 12．B5、B12、B14[2013²新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝若 ln（x＋1），x＞0. 2 |f(x)|≥ax，则a的取值范围是( ) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0] x－2x，x≤0， 12．D [解析] 函数y＝|f(x)|＝在同一坐标系中画出y＝|f(x)|，y ln （x＋1），x>0. 2 ＝ax的图像如图所示，问题等价于直线y＝ax不在函数y＝|f(x)|图像的上方，显然a>0时， 2 y＝ln (x＋1)的图像不可能恒在直线y＝ax的上方，故a≤0；由于直线y＝ax与曲线y＝x 2 －2x均过坐标原点，所以满足条件的直线y＝ax的极端位置是曲线y＝x－2x在点(0，0)处的切线，y′＝2x－2，当x＝0时y′＝－2.所以－2≤a≤0. 2 21．B12[2013²浙江卷] 已知a∈R，函数f(x)＝2x－3(a＋1)x＋6ax. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值． 2 21．解：(1)当a＝1时， f′(x)＝6x－12x＋6，所以f′(2)＝6. 又因为f(2)＝4，所以切线方程为y＝6x－8. (2)记g(a)为f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值． 2 f′(x)＝6x－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)． 令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a. 3 - 35 - 当a>1时， x f′(x) f(x) 0 0 (0，1) ＋ 单调 递增 21 0 极大值 3a－1 (1，a) － 单调 递减 a 0 极小值 2a(3－a) (a，2a) ＋ 单调 递增 2a 4a 3比较f(0)＝0和f(a)＝a(3－a)的大小可得 0，1 当a<－1时， x f′(x) f(x) 0 0 (0，1) － 单调 递减 1 0 极小值 3a－1 (1，－2a) ＋ 单调 递增 －2a －28a－24a 32得g(a)＝3a－1. 综上所述，f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值为 3a－1，a<－1， g(a)＝0，1 8．B12[2013²浙江卷] 已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝ f′(x)的图像如图1－2所示，则该函数的图像是( ) 图1－2 图1－3 8．B [解析] 由导函数的图像可知，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(－1，1)上递增，且导函数为偶函数，则函数f(x)为奇函数，再从导函数的图像可知，当x∈(0，1)时，其二阶导数f″(x)<0，则f(x)在x∈(0，1)时，其图像是向上凸的，或者y随着x增长速度越来越缓慢，故选择B. 20．B11和B12[2013²重庆卷] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． - 36 - 20．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100²2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160222 πr元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr)元，又据题意200πrh＋160πr＝12 00012 π，所以h＝(300－4r)，从而 5r π23 V(r)＝πrh＝(300r－4r)． 5 因为r>0，又由h>0可得r<5 3，故函数V(r)的定义域为(0，5 3)． ππ32 (2)因为V(r)＝(300r－4r)，故V′(r)＝(300－12r)．令V′(r)＝0，解得r1＝5， 55r2＝－5(r2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，5 3)时，V′(r)<0， 故V(r)在(5，5 3)上为减函数． 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大． B13 定积分与微积分基本定理 B14 单元综合 14．B1，B14[2013²安徽卷] 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________． x（x＋1）14．－ [解析] 当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由f(x＋1)＝2f(x)可得f(x) 211 ＝f(x＋1)＝－x(x＋1)． 22 18．B11，B12，B9，B14[2013²北京卷] 已知函数f(x)＝x＋xsin x＋cos x. (1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围． 2 18．解：由f(x)＝x＋xsin x＋cos x，得 f′(x)＝x(2＋cos x)． (1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)． 解得a＝0，b＝f(0)＝1. (2)令f ′(x)＝0，得x＝0. f(x)与f′(x)的情况如下： x f′(x) f(x) (－∞，0) － 0 0 1 (0，＋∞) ＋ 2 所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值． - 37 - 当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点； 2 当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1 综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)． 32 21．B12、B14[2013²全国卷] 已知函数f(x)＝x＋3ax＋3x＋1. (1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性； (2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围． 21．解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x－3 2x＋3x＋1， 2 f′(x)＝3x－6 2x＋3. 令f′(x)＝0，得x1＝2－1，x2＝2＋1. 当x∈(－∞，2－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－1)上是增函数； 当x∈(2－1，2＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(2－1，2＋1)上是减函数； 当x∈(2＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2＋1，＋∞)上是增函数． 5 (2)由f(2)≥0得a≥－. 45 当a≥－，x∈(2，＋∞)时， 4 3 2 252 f′(x)＝3(x＋2ax＋1)≥3x－x＋1＝ 213x－(x－2)>0， 2 所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0. 5综上，a的取值范围是－，＋∞. 4 a 22．B12，B14[2013²福建卷] 已知函数f(x)＝x－1＋x(a∈R，e为自然对数的底数)． e(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)求函数f(x)的极值； (3)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值． aa 22．解：(1)由f(x)＝x－1＋x，得f′(x)＝1－x. ee a 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a e＝e. a (2)f′(x)＝1－x， e ①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值． x ②当a>0时，令f′(x)＝0，得e＝a，x＝ln a. 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a - 38 - 处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值． 1 (3)方法一：当a＝1时，f(x)＝x－1＋x. e1 令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋x， e则直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点， 等价于方程g(x)＝0在R上没有实数解． 假设k>1，此时g(0)＝1>0，g 1＝－1＋1<0， 1k－1 e k－1 又函数g(x)的图像连续不断，由零点存在定理，可知g(x)＝0在R上至少有一解，与“方程g(x)＝0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1. 1 又k＝1时，g(x)＝x>0，知方程g(x)＝0在R上没有实数解． e所以k的最大值为1. 1 方法二：当a＝1时，f(x)＝x－1＋x. e直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点， 1 等价于关于x的方程kx－1＝x－1＋x在R上没有实数解，即关于x的方程： e1 (k－1)x＝x(*)在R上没有实数解． e 1 ①当k＝1时，方程(*)可化为x＝0，在R上没有实数解． e②当k≠1时，方程(*)化为 x 1x ＝xe. k－1 x 令g(x)＝xe，则有g′(x)＝(1＋x)e. 令g′(x)＝0，得x＝－1， 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： x g′(x) g(x) (－∞，－1) － －1 0 1－ e(－1，＋∞) ＋ 1 当x＝－1时，g(x)min＝－，同时当x趋于＋∞时，g(x)趋于＋∞，从而g(x)的取值范 e1 围为－，＋∞. e 所以当 11∈－∞，－时，方程(*)无实数解． ek－1 解得k的取值范围是(1－e，1)． 综上①②，得k的最大值为1. - 39 - 16．A4，B14[2013²福建卷] 设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足： (i)T＝{f(x)|x∈S}；(ii)对任意x1，x2∈S，当x1 ①A＝N，B＝N； ②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}； ③A＝{x|0 16．①②③ [解析] 函数f(x)为定义域S上的增函数，值域为T.构造函数f(x)＝x＋1，x∈N， 则f(x)值域为N，且为增函数，①正确．构造过两点(－1，－8)，(3，10)的线段对应971 的函数f(x)＝x－，－1≤x≤3，满足题设条件，②正确．构造函数f(x)＝tanx－π，0 12．B14[2013²福建卷] 设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A．x∈R，f(x)≤f(x0) B．－x0是f(－x)的极小值点 C．－x0是－f(x)的极小值点 D．－x0是－f(－x)的极小值点 12．D [解析] 根据极值点是函数局部的性质可排除A选项，根据函数f(x)的图像与f(－x)、－f(x)、－f(－x)的图像分别关于y轴、x轴、原点对称，可排除B、C选项，故选D. x 20．B14[2013²江苏卷] 设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e－ax，其中a为实数． (1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围； (2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论． 11－ax 20．解：(1)令f′(x)＝－a＝<0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进 xx而解得x>a，即f(x)在(a，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a) 上是单调增函 －1－1 数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)(a，＋∞)，从而a≤1，即a≥1. x 令g′(x)＝e－a＝0，得x＝ln a．当x 综上，有a∈(e，＋∞)． x (2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令g′(x)＝e－a>0， x 解得a －1 即0 结合上述两种情况，有a≤e. 1 (i)当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝>0，得f(x)存在唯一的零点； x (ii)当a<0时，由于f(e)＝a－ae＝a(1－e)<0，f(1)＝－a>0，且函数f(x)在[e，1] a 上的图像不间断，所以f(x)在(e，1)上存在零点． 1 另外，当x>0时，f′(x)＝－a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只 x a a a a －1 －1 －1 - 40 - 有一个零点． 1－1－1－1 (iii)当0 x －1 时，f′(x)<0，所以，x＝a是f(x)的最大值点，且最大值为f(a)＝－ln a－1. －1 ①当－ln a－1＝0，即a＝e时，f(x)有一个零点x＝e. －1 ②当－ln a－1>0，即0 实际上，对于0 －1－1 上的图像不间断，所以f(x)在(e，a)上存在零点． 1－1－1 另外，当x∈(0，a)时，f′(x)＝－a>0，故f(x)在(0，a)上是单调增函数，所以f(x) x在(0，a)上只有一个零点． －1－1－2－1 下面考虑f(x)在(a，＋∞)上的情况，先证f(ea)＝a(a－ea)<0，为此，我们要证 x2x2xx 明：当x>e时，e>x，设h(x)＝e－x，则h′(x)＝e－2x，再设l(x)＝h′(x)＝e－2x，则 x l′(x)＝e－2. x 当x>1时，l′(x)＝e－2>e－2>0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故 x2 当x>2时，h′(x)＝e－2x>h′(2)＝e－4>0， x2e2 从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x>e时，h(x)＝e－x>h(e)＝e－e>0， x2 即当x>e时，e>x. －1－1－1－1－1－2－1 当0 －1－1－1－1－1 又f(a)>0，且函数f(x)在[a，ea]上的图像不间断，所以f(x)在(a，ea)上存在零点． 1－1 又当x>a时，f′(x)＝－a<0， x 故f(x)在(a，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a，＋∞)上只有一个零点． －1 综合(i)(ii)(iii)，当a≤0或a＝e时，f(x)的零点个数为1， －1 当0 13．B14[2013²江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0) x图像上一动点．若点P，A之间的最短距离为2 2，则满足条件的实数a的所有值为________． 2 13．－1，10 [解析] 由题意知，若a<0，则a＝－1满足题意；若a>0，则圆(x－a) 12 ＋(y－a)＝8与y＝(x>0)相切．联立方程，消去y得 x 12a222 x－2ax＋a＋2－＋a＝8， xx －1 －1 －1 －1－1 112 即x＋－2ax＋＋2a－10＝0. xx 令Δ＝0得(2a)－4(2a－10)＝0.(*) 解得a＝10. 此时方程(*)的解为x＝ 10±6 ，满足题意． 2 2 2 2 综上，实数a的所有值为－1，10. －x＋2x，x≤0， 12．B5、B12、B14[2013²新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝若 ln（x＋1），x＞0. - 41 - 2 |f(x)|≥ax，则a的取值范围是( ) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0] x－2x，x≤0， 12．D [解析] 函数y＝|f(x)|＝在同一坐标系中画出y＝|f(x)|，y ln （x＋1），x>0. 2 ＝ax的图像如图所示，问题等价于直线y＝ax不在函数y＝|f(x)|图像的上方，显然a>0时， 2 y＝ln (x＋1)的图像不可能恒在直线y＝ax的上方，故a≤0；由于直线y＝ax与曲线y＝x 2 －2x均过坐标原点，所以满足条件的直线y＝ax的极端位置是曲线y＝x－2x在点(0，0)处的切线，y′＝2x－2，当x＝0时y′＝－2.所以－2≤a≤0. 4322 16．B14[2013²浙江卷] 设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x－x＋ax＋b≤(x－1)，则ab＝________． 22 16．－1 [解析] 当x＝1时，0≤a＋b≤0，则a＋b＝0，b＝－a，令f(x)＝(x－1)－4332 (x－x＋ax－a)＝x－2x－ax＋a＋1，则f(x)≥0在x≥0时恒成立，f(1)＝1－2－a＋a＋1 2 ＝0，则x＝1应为极小值点，f′(x)＝3x－4x－a，故f′(1)＝0，a＝－1，b＝1，ab＝－1. 1341．[2013²蚌埠模拟] 曲线f(x)＝x＋x在点1，处的切线与坐标轴围成的三角形面33 积为( ) 21A. B. 9912C. D. 33 42 1．B [解析] f′(x)＝x＋1，在点1，处的切线斜率为k＝f′(1)＝2.所以切线方程 3 2142为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，与坐标轴的交点坐标为0，－，，0，所以三角形的面3333 1121 积为³³－＝，故选B. 2339 2．[2013²丹东四校协作体联考] 函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．[0，＋∞) D．(2，＋∞) 2．B [解析] 函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在111 (0，＋∞)上有解，而f′(x)＝＋a，即＋a＝2在(0，＋∞)上有解，a＝2－，因为x＞0， xxx1 所以2－＜2，所以a的取值范围是(－∞，2)，故选B. x - 42 - 3．[2013²龙岩调研] 已知点P在曲线y＝ 4 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，e＋1 x 则α的取值范围是____________________． xx 3π－4e－4e3．[135°，180°)或，π [解析] y′＝x即切线的斜率为k＝x2，2，（e＋1）（e＋1）4－4e－4e411xx 所以k＝x＝＝－，因为e＋＋2≥2＋2 e²22xxxx＝4，所以－ （e＋1）e＋2e＋11eex e＋x＋2 e 1≤k<0，即－1≤tan α<0，所以135°≤α<180°，即α的取值范围是[135°，180°)． 4．[2013²郑州模拟] 已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有( ) 2 0132 013 A．ef(－2 013) 2 0132 013 B．ef(－2 013) C．ef(－2 013)>f(0)，f(2 013)>ef(0) 2 0132 013 D．ef(－2 013)>f(0)，f(2 013) f（x）f′（x）e－（e）′f（x） 4．D [解析] 构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝xx2 e（e） f′（x）－f（x）x ，因为∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，并且e>0，所以g′(x)<0，故函数g(x)xef（x）f（－2 013）＝在R上单调递减，所以g(－2 013)>g(0)，g(2 013) eef（2 013）2 0132 013 [规律解读] 利用导数的正负判断函数的单调性，然后比较函数值的大小是导数应用很灵活的一个方面．此类问题中，构造恰当的函数时，既要结合待求去分析，又要熟悉常见的导数式子． 5．[2013²温州联考] 已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图K10－4所示． x x 图K10－4 x f(x) －1 1 0 2 2 1.5 4 2 5 1 下列关于函数f(x)的命题： ①函数f(x)的值域为[1，2]； ②函数f(x)在[0，2]上是减函数； ③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1 得，t的最大值为5，所以③不正确．由f(x)＝a知，因为极小值f(2)＝1.5，极大值为f(0)＝f(4)＝2，所以当1 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容