题号得分
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. y=3x−1B. y=ax2+bx+cC. s=2t2−2t+1D. y=x2+1x
2.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是
（ ）
一
二
三
总分
A.
3.4.5.6.
B. C. D.
抛物线y=-（x+2）2-3的顶点坐标是（ ）A. (2,−3)B. (−2,3)C. (2,3)D. (−2,−3)平面直角坐标系内的点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）A. (3,2)B. (2,−3)C. (2,3)D. (−2,−3)已知一元二次方程x2-4x+3=0两根为x1、x2，则x1•x2=（ ）A. 4B. 3C. −4D. −3
将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 15∘
7.
B. 28∘C. 29∘D. 34∘
∠ABC=30°，将△ABC如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 150∘
下列命题中正确的有（ ）个（1）平分弦的直径垂直于弦
（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线（3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半（4）平面内三点确定一个圆
（5）三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．A. 1B. 2C. 3D. 4
某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
8.
9.
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A. 200(1+x)2=1000C. 200+200×3x=1000B. 200+200×2x=1000
D. 200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
10.在二次函数y=x2-2x-3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（ ）
A. 0，−4B. 0，−3C. −3，−4D. 0，0
11.已知关于x的方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k>43且k≠2B. k≥43且k≠2C. k>34D. k≥3412.如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点P从点A出
发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t
△APQ的面积为S（cm2），（s），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13.已知方程ax2+2x+1=3x2-5x是一元二次方程，则a的取值范围是______．14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角
∠DCE=70°，则∠BOD=______．
15.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（-3，0），对称轴是直线x＝-1，则a＋b＋c＝
____.
16.圆柱形油箱的截面直径为200cm，油箱内装入一些油以后，若油面的宽AB=160cm，
则油的深度为______．
17.抛物线y=x2-ax+1的顶点在x轴的正半轴上，则a=______．
，18.如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合）
AD与BE交在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，
于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的结论有______．（把你认为正确的序号都填上）
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三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.解方程
（1）x2-2x-8=0；
（2）x2-6x+9=（5-2x）2．
20.如图，已知△ABC三个顶点坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（4，4）．
（1）请按要求画图：
①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．（2）请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标．
21.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与
⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
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22.已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
23.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方
形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-16x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为172m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
24.【问题解决】
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】
如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=11，求∠APB的度数．
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25.如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D
C、B的抛物线的一部分C1与为y轴上的两点，经过点A、
经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，-32），点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的
面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：A、y=3x-1是一次函数，故A错误；B、y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误；C、s=2t2-2t+1是二次函数，故C正确；D、y=x2+不是二次函数，故D错误；故选：C．
根据二次函数的定义，可得答案．
本题考查了二次函数的定义，y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，注意二次函数都是整式．2.【答案】D
【解析】
解：A、不是中心对称图形，本选项错误； B、不是中心对称图形，本选项错误； C、不是中心对称图形，本选项错误； D、是中心对称图形，本选项正确． 故选D．
根据中心对称图形的概念求解即可．
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D
【解析】
解：∵抛物线y=-（x+2）2-3为抛物线解析式的顶点式，
∴抛物线顶点坐标是（-2，-3）． 故选：D．
已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标．本题考查了二次函数的性质．抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k）．4.【答案】B
【解析】
解：根据中心对称的性质，得点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）． 故选：B．
根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）”解答即可．
关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．5.【答案】B
【解析】
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解：∵一元二次方程x2-4x+3=0两根为x1、x2，∴x1x2==3，故选：B．
利用根与系数的关系求出x1•x2=的值即可．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系是解决问题的关键．6.【答案】B
【解析】
解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半， 根据量角器的读数方法可得：（86°-30°）÷2=28°． 故选：B．
根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得∠ACB的度数．
此题考查了圆周角的度数和它所对的弧的度数之间的关系：圆周角等于它所对的弧的度数的一半．7.【答案】B
【解析】
解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠A=90°-30°=60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上， ∴AC=A′C，
∴△A′AC是等边三角形， ∴∠ACA′=60°， ∴旋转角为60°． 故选：B．
根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°，根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△A′AC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°，然后根据旋转角的定义解答即可．
本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．8.【答案】A
【解析】
解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故（1）错误；
经过半径在圆上的一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故（2）错误； 在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故（3）错误； 平面内不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故（4）错误； 三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，故（5）正确； 故选：A．
根据题目中的说法可以判断其是否正确，从而可以解答本题．本题考查命题和定理，解题的关键是可以判断一个命题的真假．9.【答案】D
【解析】
解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为200×（1+x），
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∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2， ∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000， 即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．
故选：D．
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．10.【答案】A
【解析】
解：抛物线的对称轴是x=1，
则当x=1时，y=1-2-3=-4，是最小值； 当x=3时，y=9-6-3=0是最大值． 故选：A．
首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．
本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．
11.【答案】D
【解析】
解：当k-2=0，即k=2时，原方程为5x+1=0，解得：x=-，∴k=2符合题意；
当k-2≠0，即k≠2时，△=（2k+1）2-4×1×（k-2）2=20k-15≥0，解得：k≥且k≠2．综上所述：k≥．
故选：D．
分二次项系数为零及非零两种情况考虑：当k-2=0，即k=2时，通过解一元一次方程可求出方程的解，进而可得出k=2符合题意；当k-2≠0，即k≠2时，由根
综的判别式△≥0，可得关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
上可得出k的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分二次项系数为零及非零两种情况求出k的取值范围是解题的关键．12.【答案】A
【解析】
解：由题意得：AP=t，AQ=2t，
①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，S△APQ=AP•AQ=
=t2，
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故选项C、D不正确；
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，S△APQ=AP•AB=
=4t，
故选项B不正确；故选：A．
先根据动点P和Q的运动时间和速度表示：AP=t，AQ=2t，
发①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，计算S与t的关系式，
现是开口向上的抛物线，可知：选项C、D不正确；
②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，计算S与t的关系式，发现是一次函数，是一条直线，可知：选项B不正确，从而得结论．
本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．
13.【答案】a≠3
【解析】
解：原方程整理，得ax2-3x2+2x+5x+1=0， 即（a-3）x2+7x+1=0
若方程是一元二次方程，则a-3≠0， ∴a≠3．
故答案为：a≠3．
先把方程化为一般形式，由二次项系数不为0得不等式，求解不等式即可．本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）含有一个未知数；（4）方程是整式方程．14.【答案】140°
【解析】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A=∠DCE=70°， ∴∠BOD=2∠A=140°． 故答案为140°．
根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，求得∠A=70°，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解．
此题综合运用了圆内接四边形的性质和圆周角定理．15.【答案】0
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0）是解题的关键．根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c的值．【解答】
解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），对称轴是直线x=-1，
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∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），∴a+b+c=0．故答案为0．
16.【答案】40cm或160cm
【解析】
解：情形1：当AB在圆心O下方时，连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，
∵直径为200cm，AB=160cm，∴OA=OE=100cm，AM=80cm，∴OM=
=
=60cm，
∴ME=OE-OM=100-60=40cm．
情形2：当AB在圆心O上方时，同法可得EM′=160cm，故答案为40cm或160cm．分两种情形讨论：当AB在圆心O下方时，连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．当AB在圆心O上方时，同法可得可求EM′．
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键，注意一题多解．17.【答案】2
【解析】
解：
∵y=x2-ax+1=（x-）2+1-，
），
∴抛物线顶点坐标为（，1-
∵抛物线y=x2-ax+1的顶点在x轴的正半轴上，∴1-=0且＞0，解得a=2，
故答案为：2．
把抛物线解析式化为顶点式，再由条件可得到关于a的方程可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．18.【答案】①②③⑤
【解析】
解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，（故①正确）；
②又∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP=CQ，
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∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴∠QPC=∠BCA，
∴PQ∥AE，（故②正确）；③∵△CDP≌△CEQ，∴DP=QE，
∵△ADC≌△BEC∴AD=BE，
∴AD-DP=BE-QE，
∴AP=BQ，（故③正确）；④∵DE＞QE，且DP=QE，∴DE＞DP，（故④错误）；
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故⑤正确）．∴正确的有：①②③⑤．故答案为：①②③⑤．
由已知条件运用等边三角形的性质得到三角形全等，进而得到更多结论，然后运用排除法，对各个结论进行验证从而确定最后的答案．
本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点；得到三角形全等是正确解答本题的关键．
19.【答案】解：（1）x2-2x-8=0，
（x-4）（x+2）=0，∴x-4=0，x+2=0，∴x1=4，x2=-2；
（2）x2-6x+9=（5-2x）2，原方程可化为3x2-14x+16=0，（3x-8）（x-2）=0，∴3x-8=0，x-2=0，∴x1=83，x2=2．【解析】
（1）利用因式分解法求出x的值即可求解；
（2）先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法求出x的值即可．
本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．20.【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为
所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）由图形可知：交点坐标为（-1，-4）．【解析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的
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对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转角度，旋转方向，分别找到A、B、C的对应点，顺次连接可得△A2B2C2；
（3）由图形可知交点坐标；
此题主要考查了平移变换以及旋转变换，得出对应点位置是解题关键．21.【答案】解：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°'，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=45°，
∴∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，∴△ADB是等腰直角三角形，∵AB=10，
∴AD=BD=102=52，
在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，∴AC=102−52=53，答：AC=53，AD=52；
（2）直线PC与⊙O相切，理由是：连接OC，
在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，∴∠BAC=30°，∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，∵∠ACD=45°，
∴∠OCD=45°-30°=15°，
∴∠CEP=∠COB+∠OCD=15°+60°=75°，∵PC=PE，
∴∠PCE=∠CEP=75°，
∴∠OCP=∠OCD+∠ECP=15°+75°=90°，∴直线PC与⊙O相切．【解析】
（1）连接BD，利用直径所对的圆周角是直角得两个直角三角形，再由角平分线得：∠ACD=∠DCB=45°，由同弧所对的圆周角相等可知：△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角边AD=5，AC的长也是利用勾股定理列式求得；
（2）连接半径OC，证明垂直即可；利用直角三角形中一直角边是斜边的一半得：这条直角边所对的锐角为30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度数，最后求得∠OCP=90°，结论得出．
本题考查了直线和圆的位置关系，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交；重点是相切，本题是常考题型，在判断直线和圆的位置关系时，首先要看直线与圆有几个交点，根据交点的个数来确定其位置关系，在证明直线和圆相切时有两种方法：①有半径，证明垂直，②有垂直，证半径；本题属于第①种情况．
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22.【答案】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=2k+1±12，即x1=k，x2=k+1，∵k＜k+1，∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，综合上述，k的值为5或4．【解析】
（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．23.【答案】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，172），
把B（0，4），C（3，172）代入y=-16x2+bx+c得c=4−16×32+3b+c=172，解得b=2c=4．
所以抛物线解析式为y=-16x2+2x+4，则y=-16（x-6）2+10，所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），当x=2或x=10时，y=223＞6，所以这辆货车能安全通过；
（3）令y=8，则-16（x-6）2+10=8，解得x1=6+23，x2=6-23，则x1-x2=43，
所以两排灯的水平距离最小是43m．【解析】
（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；
（2）由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断；
（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．
本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．24.【答案】解：（1）思路一、如图1，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接
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PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，在Rt△PBP'中，BP=BP'=2，
∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=22，∵AP=1，
∴AP2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=32=9，∴AP2+PP'2=AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；（2）如图2，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=11，在Rt△PBP'中，BP=BP'=1，
∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2，∵AP=3，
∴AP2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=（11）2=11，∴AP2+PP'2=AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．【解析】
（1）思路一、先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论； 思路二、同思路一的方法即可得出结论； （2）同（1）的思路一的方法即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．25.【答案】解：（1）y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），
∵m≠0，
∴当y=0时，x1=-1，x2=3，∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：a−b+c=09a+3b+c=0c=−32，解得a=12b=−1c=−32，故C1：y=12x2-x-32．
如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=12x-32，设P（x，12x2-x-32），则Q（x，12x-32），PQ=12x-32-（12x2-x-32）=-12x2+32x，
S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=12PQ•OB=12×（-12x2+32x）×3=-34（x-32）2+2716，
当x=32时，S△PBC有最大值，Smax=2716，12×（32）2-32-32=-158，
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P（32，-158）；
（3）y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，顶点M坐标（1，-4m），当x=0时，y=-3m，
∴D（0，-3m），B（3，0），
∴DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1，MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4，BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9，
当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；
②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，解得m=-22（m=22舍去）．
综上，m=-1或-22时，△BDM为直角三角形．【解析】
（1）将y=mx2-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
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