专题06向量与解三角形-十年(2012-2021)高考数学真题分项详解(全国通用)(解析版)

【2021年】

1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在ABC中，已知B120，AC19，AB2，则BC（ ） A．1 【答案】D

【分析】设ABc,ACb,BCa，

结合余弦定理：b2a2c22accosB可得：19a242acos120， 即：a22a150，解得：a3（a5舍去）， 故BC3. 故选：D.

二、多选题

2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知O为坐标原点，点P1cos,sin，P2cos,sin，

B．2 C．5 D．3

,0，则（ ） P3cos,sin，A1A．OP1OP2 C．OAOP3OP 1OP2【答案】AC

【分析】A：OP1(cos,sin)，OP2(cos,sin)，所以|OP1| |OP2|(cos)2(sin)21，故|OP1||OP2|，正确；B：AP,sin)，AP,sin)，所以1(cos12(cos122222|AP|(cos1)sincos2cos1sin2(1cos)4sin1B．AP1AP2 D．OAOP 1OP2OP3cos2sin21，

22|sin2|，

22同理|AP2|(cos1)sin2|sin2|，故|AP 1|,|AP2|不一定相等，错误；

C：由题意得：OAOP31cos()0sin()cos()，

OP1OP2coscossin(sin)cos()，正确；D：由题意得：OAOP11cos0sincos， OP2OP3coscos()(sin)sin()cosβαβcosα2β，故一般来说OAOP故错误； 1OP2OP3故选：AC

三、填空题

3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B60，a2c23ac，则b________．

【答案】22 【分析】由题意，SABC13acsinBac3， 24所以ac4,a2c212，

所以bac2accosB122422218，解得b22（负值舍去）. 2故答案为：22.

4．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量a2,5,b,4，若a//b，则_________． 【答案】

8 58. 5【分析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450， 解方程可得：故答案为：

8. 55． （2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量a1,3,b3,4，若(ab)b，则__________．【答案】

3 5【分析】因为ab1,33,413,34，所以由abb可得，

33134340，解得．

53故答案为：．

56．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量a,b满足a3,ab5,ab1，则b_________. 【答案】32 【分析】Ⅰab5

Ⅰabab2ab9b225 Ⅰb32. 故答案为：32.

7．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量a3,1,b1,0,cakb．若ac，则k________．

222210.a3,1,b1,0,cakb3k,1, 310ac,ac33k110，解得k,

310. 故答案为：3【答案】

四、解答题

8．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2ac，点D在边AC上，BDsinABCasinC. （1）证明：BDb；

（2）若AD2DC，求cosABC. 【答案】（1）证明见解析；（2）cosABC7. 12【分析】

（1）由题设，BDⅠBDasinCcbsinCc， ，由正弦定理知：，即

sinABCsinCsinABCsinABCbac，又b2ac， bⅠBDb，得证.

2bb,DC， 334b213b2b210b222222bccbaa299ADB92，同理cosCDB92， Ⅰcos2bb4b2b2b2b3333（2）由题意知：BDb,ADⅠADBCDB，

13b210b222ca11b29922Ⅰ，整理得2ac，又b2ac， 224b2b333b411b2a21a234224Ⅰ2a2，整理得6a11ab3b0，解得2或2，

a3b3b22a2c2b24a2由余弦定理知：cosABC2，

2ac32b77a21a23当2时，cosABC1不合题意；当2时，cosABC；

b2612b3综上，cosABC

7. 12

【2012年——2020年】

1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在ⅠABC中，cosC=（ ） A．5 【答案】C

【分析】设ABc,BCa,CAb

B．25 C．45 D．85 2，AC=4，BC=3，则tanB=3c2a2b22abcosC91623429c3 3a2c2b21145cosBsinB1()2tanB45 2ac999故选：C

2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知向量ab a，|b|6，ab6，b满足|a|5，则cosa,ab=（ ） A．31 35B．19 35C．

17 35D．

19 35【答案】D 【分析】

a5，b6，ab6，aabaab52619.

2abab2a2abb2526367，

22因此，cosa,ab故选：D.

aabaab1919. 57353．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））在ⅠABC中，cosC=（ ） A．

2，AC=4，BC=3，则cosB=31 9B．

1 3C．

1 2D．

2 3【答案】A 【分析】

在ABC中，cosC2，AC4，BC3 3根据余弦定理：AB2AC2BC22ACBCcosC

AB242322432 3可得AB29 ，即AB3 由

AB2BC2AC299161cosB

2ABBC2339故cosB故选：A.

1. 94．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知非零向量a，且b满足a=2b，（a–b）b，则a与b的夹角为 A．

π 6B．

π 3C．

2π 3D．

5π 6【答案】B

2|b|12【分析】因为(ab)b，所以(ab)babb=0，所以abb，所以cos=，22ab2|b|2ab所以a与b的夹角为

3，故选B．

5．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ⅠABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－A．6 【答案】A

【分析】详解：由已知及正弦定理可得a2b24c2，由余弦定理推论可得

B．5

1b，则= 4cC．4

D．3

1b2c2a2c24c213c1b3cosA,,,46，故选A． 42bc2bc42b4c26．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知向量a(2，，3)b(3，2)，则|a–b| A．2 C．52 B．2 D．50

【答案】A由已知，ab(2,3)(3,2)(1,1)，

所以|ab|故选A

(1)2122，

7．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则ABBC= A．-3 C．2 【答案】C

【分析】由BCACAB(1,t3)，BC1(t3)1，得t3，则BC(1,0)，

22B．-2 D．3

ABBC(2,3)(1,0)21302．故选C．

8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））在ⅠABC中，AD为BC边上的中线，

E为AD的中点，则EB

31ABAC 4431C．ABAC

44A．【答案】A

【分析】根据向量的运算法则，可得

13ABAC 4413D．ABAC

44B．

11111111131BABDBABCBABAAC BABAACBAAC， 2224242444431所以EBABAC，故选A.

44BE9．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））在ABC中，cos则AB= A．42 B．30

C．29 D．25 C5,BC=1,AC=5，25【答案】A

【详解】：因为cosC2cos2C5312()21, 25535222所以cab2abcosC125215()32c42，选A.

B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面10．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）ABC的内角A，a2b2c2积为，则C

4A．

π 2B．

π 3C．

π 4D．

π 6【答案】C 【详解】由题可知SABC1a2b2c2 absinC24所以a2b2c22absinC 由余弦定理a2b2c22abcosC 所以sinCcosC

C0,π

C4

故选C.

11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））ⅠABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sinBsinA(sinCcosC)0，a=2，c=2，则C= A．

π 12B．

π 6C．

π 4D．

π 3【答案】B

【详解】：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ⅠsinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，

ⅠsinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ⅠcosAsinC+sinAsinC=0， ⅠsinC≠0， ⅠcosA=﹣sinA，

ⅠtanA=﹣1，

π＜A＜π， 23πⅠA= ，

4Ⅰ

由正弦定理可得

ca， sinCsinAⅠa=2，c=2，

2csinA2ⅠsinC==2=1 ，

a22Ⅰa＞c， ⅠC=

π， 6故选B．

12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2））已知ABC是边长为2的等边三角形，

P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值是( )

A．2 【答案】B

【分析】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点， 则A(0,3)，B(1,0)，C(1,0)，

设P(x,y)，则PA(x,3y)，PB(1x,y)，PC(1x,y)， 则PA(PBPC)2x223y2y22[x2(y323)] 24B．3 2C．4 3D．1

33当x0，y3时，取得最小值2()，

422故选：B．

13．ⅠABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a5，（2017年全国普通高等学校招生统一考试）

c2，cosAA．2 【答案】D

2，则b= 3B．3 C．2

D．3

【详解】由余弦定理得解得

（

舍去），故选D.

，

14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知向量a1,m，b3,2，且(ab)b，则m= A．−8 C．6 【答案】D 【分析】

Ⅰa(1,m),b(3,2),ab(4,m2)，又(ab)b， Ⅰ3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8． 故选D．

15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）在ABC中，B则sinA

B．−6 D．8

4，BC边上的高等于

1BC,3A．

3 10B．

10 10C．5 5D．310 10【答案】D

【详解】：设BC边上的高线为AD，则BC3AD,DC2AD，所以ACAD2DC25AD．由

ACBC正弦定理，知，即sinBsinA5AD3AD310，故选D． sinA，解得sinA210216．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷）在ABC中，B等于

4，BC边上的高

1BC,则cosA（ ） 3B．A．310 1010 10C．10 10D．310 10【答案】C

【详解】：设ADaAB2a,CD2a,AC5asincos221,sin,coscosA 255cos()10,故选C. 10

17．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知点A(0,1),B(3,2)，向量

AC(4,3)，则向量BC

A．(7,4) C．(1,4) 【答案】A

B．(7,4) D．(1,4)

【解析】试题分析：BCBAAC(3，1)(4，3)(7，4),选A.

18．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设D为ABC所在平面内一点，若

BC3CD，则下列关系中正确的是

14ABAC 3341C．ADABAC

33A．AD【答案】A

【详解】ⅠBC3CD

ⅠAC−AB=3(AD−AC)；ⅠAD=

19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设D,E,F分别为ABC的三边

14ABAC 3341D．ADABAC

33B．AD41AC−AB.故选A. 33BC,CA,AB的中点，则EBFC

A．AD B．【答案】A

【解析】：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在BEF中，EBEFFBEF11AD C．BC D．BC 221AB，同2FCFEECFEEBFC(EF1AC211111AB)(FEAC)(ABAC)(ABAC)AD． 22222满足

，

20．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷）设向量

，则

A．1 【答案】A 【详解】：因为以

，所以

…………Ⅰ，Ⅰ-Ⅰ得

B．2

C．3

D．5

………………Ⅰ，又，所以

，故选A．

，所

21．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））设向量a,b满足ab10，

ab6，则ab=

A．1 【答案】A

【详解】因为|ab|(ab)2ab2ab10，|ab|(ab)2a2b22ab6，两式相加得：a2b28，所以ab1，故选A.

22．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知锐角ⅠABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( ) A．10 【答案】D

【详解】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0, 即cos2A=

B．9

C．8

D．5

2222B．2 C．3 D．5

1, 25又因ⅠABC为锐角三角形, 所以cosA=

1. 51, 5ⅠABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×

12b-13=0, 513即b=5或b=-(舍去),故选D.

5即b2-

23．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，BA．223 【答案】B 【详解】

B．31

6，C4，则ABC的面积为

D．31

C．232

试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以

二、填空题

24．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设向量a(1,1),b(m1,2m4)，若ab，则m______________. 【答案】5

【分析】由ab可得ab0， 又因为a(1,1),b(m1,2m4)， 所以ab1(m1)(1)(2m4)0， 即m5， 故答案为：5.

25．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设a,b为单位向量，且|ab|1，则|ab|______________. 【答案】3 【分析】因为a,b为单位向量，所以ab1 所以ababab2a2abb22ab1

22解得：2ab1 所以ab2a2abb3 22故答案为：3 26．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知单位向量a,b的夹角为45°，kab与a垂直，则k=__________.

【答案】

2 2【分析】由题意可得：ab11cos452， 2由向量垂直的充分必要条件可得：kaba0，

即：kaabk222.

0，解得：k22故答案为：

2． 227．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________. 【答案】

3. 4A(0,),B(0,)，sinA0,得

【分析】由正弦定理，得sinBsinAsinAcosB0．

sinBcosB0，即tanB1，B3.故选D． 428．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若

b6,a2c,B【答案】63 π，则ABC的面积为__________. 3【分析】由余弦定理得b2a2c22accosB，

22所以(2c)c22cc162， 2即c212

解得c23,c23（舍去） 所以a2c43，

113SABCacsinB432363.

22229．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知向量a(2,2),b(8,6)，则cosa,b___________.

【答案】2 10abab28262222(8)2622． 10【分析】cosa,b30．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知a,b为单位向量，且ab=0，若c2a5b ，则cosa,c___________. 【答案】

2. 3【分析】因为c2a5b，ab0， 所以ac2a25ab2，

|c|24|a|245ab5|b|29，所以|c|3，

所以cosa,c

ac22． ac133B，C的对边分31．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））ⅠABC的内角A，b，c，已知bsinCcsinB4asinBsinC，b2c2a28，则ⅠABC的面积为________． 别为a，【答案】23. 3【分析】因为bsinCcsinB4asinBsinC，

结合正弦定理可得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC， 可得sinA1，因为b2c2a28， 2结合余弦定理a2b2c22bccosA，可得2bccosA8， 所以A为锐角，且cosA383，从而求得bc， 23所以ABC的面积为S118312323. ，故答案是bcsinA22323332．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,．若c________．

2a+b，则【答案】

1 2【分析】由题可得2ab4,2

c//2ab, c1,

4λ20,即λ故答案为

1 21 233．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知向量a=（﹣1，2），b =（m，1），若(ab)a，则m=_________． 【答案】7

【详解】由题得ab(m1,3)，因为(ab)a0，所以(m1)230，解得m7．

34．|a|=2，（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知向量a与b的夹角为60°，|b|=1，则|a +2 b |= ______ . 【答案】23 b1 【详解】Ⅰ平面向量a与b的夹角为600，a2，Ⅰab21cos6001.

Ⅰa2b(a2b)2a24ab(2b)2故答案为23.

35．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若

44423 2bcosBacosCccosA，则B ________．

【答案】【分析】

3

由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.

Ⅰ2sinBcosB＝sin(A＋C)．

又A＋B＋C＝π，ⅠA＋C＝π－B.Ⅰ2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB. 又sinB≠0，ⅠcosB＝.ⅠB＝.

Ⅰ在ⅠABC中，acosC＋ccosA＝b，Ⅰ条件等式变为2bcosB＝b，ⅠcosB＝.

又036．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知向量a(2,3),b(3,m)，且ab，则m_______. 【答案】2【详解】

由题意可得233m0,解得m2.

37．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））ⅠABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=6，c=3，则A=_________. 【答案】75

bcbsinC【详解】由正弦定理，得

sinBsinBsinCc63322，结合bc可得B45，2则A180BC75.

38．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设向量a(x,x1),b(1,2)，且ab，则x＝________. 【答案】2 3【详解】根据两向量垂直，可得x2(x1)3x20，

2. 32故答案为：.

3解得x

39．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学） 平面向量的数量积及其应用）设向量

am,1，b1,2，且abab，则m=_________.

【答案】-2

【详解】试题分析：由题意得(m1)2+32m215m2.

40．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））已知向量a(m,4),b(3,2)，

222且a∥b，则m___________. 【答案】6

【分析】因为a∥b，所以2m430，解得m6. 故答案为：6

41．（2015年全国普通高等学校招生统一考试数学）ⅠABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos

54，cos C=，a=1，则b=___.

13521 【答案】1345312【详解】：因为cosA,cosC，且A,C为三角形的内角，所以sinA,sinC，

51351363absinBsin[(AC)]sin(AC)sinAcosCcosAsinC，又因为，所以

65sinAsinBA=

b

asinB21.

sinA1342．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））如图在平面四边形ABCD中，ⅠA＝ⅠB＝ⅠC＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________．

【答案】（62，6+2） 【详解】

CD交于E，AB最长，ⅠB=ⅠC=75°，如图所示，延长BA，平移AD，当A与D重合与E点时，在ⅠBCE中，ⅠE=30°，BC=2，由正弦定理可得

2BEBCBE，即，解得BE=6+2，平移AD ，

sinEsinCsin30osin75oAB最短，ⅠB=ⅠBFC=75°，ⅠFCB=30°，当D与C重合时，此时与AB交于F，在ⅠBCF中，由正弦定理知，

BF2BFBC，即解得BF=62，所以AB的取值范围为（62，oo，sinFCBsinBFCsin30sin756+2）.

43．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））如图，为测量出高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角MAN600，C点的仰角CAB450以及

MAC750；从C点测得MCA600．已知山高BC100m，则山高MN__________m．

【答案】150

【详解】：在ABC中，BAC45,ABC90,BC100,AC1001002，在AMC中，

sin45AMACMAC75,MCA60,AMC45,由正弦定理可得,即

sinACMsinAMCAM1002,解得AM1003,在RtAMN中，MNAMsinMAN1003sin60

sin60sin45150(m)．

故答案为150．

44．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知A,B,C为圆O上的三点，若

AO1(ABAC)，则AB与AC的夹角为_______． 2【答案】90

【分析】由AO（AB+AC），故O,B,C三点共线，且O是线段BC中点， 故BC是圆O的直径，从而BAC900， 因此AB与AC的夹角为900 所以答案为90

45．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知

的对边，

【答案】3 【解析】：由

，且

，故(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，又根

，且

，则

分别为

三个内角

12面积的最大值为____________．

b2c2a21据正弦定理，得(ab)(ab)(cb)c，化简得，bcabc，故cosA，所以

2bc2222A600，又b2c2bc4bc，故SBAC1bcsinA3． 246．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知两个单位向量a，b的夹角为60，

cta(1t)b，若bc0，则t_____．

【答案】2；

【详解】：由bc0可得，tab(1t)b即1

47．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD__________．

20,tabcos60(1t)b0,

2t0，t2故填2. 2【答案】2 【详解】

1DC)·(AD-AB) 2111=AD2-AD·AB+DC·AD-AB·DC=22-×22=2.

222AE·BD=(AD+

48．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））已知向量a,b夹角为45，且

a1,2ab10，则b__________．

【答案】32 【详解】：

的夹角

，

，

，

，

三、解答题

.

49．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.

（1）若a=3c，b=27，求ABC的面积； （2）若sinA+3sinC=2，求C. 2【答案】（1）3；（2）15.

【分析】（1）由余弦定理可得b228a2c22accos1507c2，

c2,a23,△ABC的面积S（2）

1acsinB3； 2AC30，

sinA3sinCsin(30C)3sinC 132

，cosCsinCsin(C30)2220C30,30C3060， C3045,C15.

50．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ⅠABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

2已知cos(5A)cosA． 24（1）求A； （2）若bc3a，证明：ⅠABC是直角三角形． 3【答案】（1）A；（2）证明见解析 32【分析】（1）因为cos即1cosAcosA解得cosA所以A255AcosA，所以sin2AcosA，

4425， 41，又0A， 2； 3b2c2a21（2）因为A，所以cosA，

2bc23即b2c2a2bcⅠ， 又bc2322aⅠ， 将Ⅰ代入Ⅰ得，bc3bcbc， 3即2b22c25bc0，而bc，解得b2c， 所以a3c， 故b2a2c2，

即ABC是直角三角形．

51．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A；

（2）若BC=3，求ABC周长的最大值. 【答案】（1）

2；（2）323. 3【分析】【详解】

（1）由正弦定理可得：BC2AC2AB2ACAB，

AC2AB2BC21cosA，

2ACAB2A0,，A2. 3（2）由余弦定理得：BC2AC2AB22ACABcosAAC2AB2ACAB9， 即ACABACAB9.

2ACAB（当且仅当ACAB时取等号）

， ACAB22ACAB3， 9ACABACABACABACAB242222解得：ACAB23（当且仅当ACAB时取等号），

ABC周长LACABBC323，ABC周长的最大值为323.

52．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinBsinC)2sin2AsinBsinC．

（1）求A；

（2）若2ab2c，求sinC． 【答案】（1）A【分析】【详解】

222（1）sinBsinCsinB2sinBsinCsinCsinAsinBsinC

262. ；（2）sinC34即：sin2Bsin2Csin2AsinBsinC 由正弦定理可得：b2c2a2bc

b2c2a21cosA

2bc2A0, A（2）

3

2ab2c，由正弦定理得：2sinAsinB2sinC

又sinBsinACsinAcosCcosAsinC，A 32331cosCsinC2sinC 222整理可得：3sinC2263cosC

sinCcosC1 解得：sinC3sinC631sinC

226262 或44因为sinB2sinC（2）法二：

2sinA2sinC6662. ，故sinC0所以sinC424 32ab2c，由正弦定理得：2sinAsinB2sinC

又sinBsinACsinAcosCcosAsinC，A2331cosCsinC2sinC 2223sinC3cosC23sinC整理可得：3sinC63cosC，即6 62 sinC62由C(0,2),C(,)，所以C,C 36626446sinCsin()4662. 453．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinACbsinA． 2（1）求B；

（2）若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围． 【答案】(1) B3;(2)(33,). 82ACACbsinA，sinBsinA，由正弦定理得sinAsin因为0A，22(1)根据题意asin【分析】

ACsinB． 2ACACAC因为故B或者B，而根据题意ABC，故0B，0222ACACB不成立，所以B，又因为ABC，代入得3B，所以B. 2232(2)因为ABC是锐角三角形，由（1）知B，ABC得到AC，

33故sinA0，消去sinA得sin0C2故，解得C.

6202C32又应用正弦定理

ac，c1， sinAsinC由三角形面积公式有：

112a12sinA3acsinBcsinBcsinBABC22c2sinC422sincosCcossinC33212313. 33(sincos)4sinC43tanC38tanC8S又因

sin(2C)3sinC6C2,tanC3. 2333133,故， 388tanC82故

3S8ABC故SABC的取值范围是(33,) 8254．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））在平面四边形ABCD中，ADC90，

A45，AB2，BD5.

（1）求cosADB； （2）若DC22，求BC. 【答案】（1）23；（2）5. 5BDAB.

sinAsinADB【分析】（1）在ABD中，由正弦定理得

由题设知，

522. ，所以sinADBsin45sinADB5由题设知，ADB90，所以cosADB1223； 2552. 5（2）由题设及（1）知，cosBDCsinADB在BCD中，由余弦定理得

BC2BD2DC22BDDCcosBDC2582522所以BC5.

225. 555．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））ⅠABC的内角A、B、C的对边分

a2 别为a、b、c,已知ⅠABC的面积为

3sinA(1)求sinBsinC;

(2)若6cosBcosC1,a3,求ⅠABC的周长. 【答案】(1)sinBsinC2(2) 333. 31a1a2. 【详解】（1）由题设得acsinB，即csinB：

23sinA23sinA1sinAsinCsinB. 23sinA2故sinBsinC.

3由正弦定理得

（2）由题设及（1）得cosBcosCsinBsinC所以BC11,，即cosBC. 222，故A. 331a2由题设得bcsinA，即bc8.

23sinA由余弦定理得b2c2bc9，即bc3bc9，得bc33. 故ABC的周长为333.

256．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））为a,b,c，已知sin(AC)8sin（1）求cosB；

（2）若ac6，ABC面积为2，求b． 【答案】（1）

2的内角的对边分别

B． 215；（2）2． 172B，ⅠsinB41cosB，Ⅰsin2Bcos2B1， 2152Ⅰ161cosBcos2B1，Ⅰ17cosB15cosB10，ⅠcosB；

178（2）由（1）可知sinB，

17117ⅠSABCacsinB2，Ⅰac，

22【详解】：（1）sinAC8sin22222Ⅰbac2accosBac217152a2c215ac2ac153617154， 217Ⅰb2．

57．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinA3cosA0,a27,b2.

（1）求角A和边长c；

（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求ABD的面积. 【答案】（1）【解析】（1）

2，4；（2）3. 3sinA3cosA0,tanA3，0A,A2，由余弦定理可得312即284c22c，即c22c240，解得c6（舍去）或c4，a2b2c22bccosA，

2故c4. (2)

c2b2a22abcosC，162842272cosC，

cosC2AC2,CD712CDBC，，cosC727SABC1113SSABC3. ，ABACsinBAC4223ABD222258．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国1卷））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cosC(acosBbcosA)c.

（1）求角C；（2）若c【答案】（1）C7，SABC33，求ABC的周长. 23（2）57 【详解】：（1）由已知可得2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC

2cosCsin(AB)sinCcosC（2）SABC又

1C 231313absinC3abab6 2222a2b22abcosCc2

2a2b213，(ab)25ab5

∴ABC的周长为57

59．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边， sin2B2sinAsinC． （1）若ab，求cosB;

（2）若B90，且a2,求ABC的面积． 【答案】（1）

1；（2）1 4【解析】：（1）由题设及正弦定理可得b22ac 又ab，可得b2c,a2c

a2c2b21由余弦定理可得cosB

2ac4（2）由（1）知b22ac

因为B90，由勾股定理得a2c2b2 故a2c22ac，得ca2 所以

60．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））ⅠABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC． （Ⅰ）求

的面积为1

sinB ；

sinC1；（Ⅰ）30. 2（Ⅰ）若BAC60,求B. 【答案】（Ⅰ）

【解析】：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：

sinBDC1.（Ⅰ）由诱导公式可得

sinCBD2sinCsinBACB3,B30. 331cosBsinB. 由（Ⅰ）知2sinBsinC, 22所以tanB试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得所以

ADBDADDC,, 因为AD平分BAC,BD=2DC,

sinBsinBADsinCsinCADsinBDC1..

sinCBD2（Ⅰ）因为C180BACB,BAC60, 所以sinCsinBACB31cosBsinB. 由（I）知2sinBsinC, 22所以tanB

3,B30. 361．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））ABC中，D是BC上的点，AD平分ⅠBAC，ABD面积是ADC面积的2倍． (1)求

sinB； sinC(2)若AD＝1，DC＝

2，求BD和AC的长． 2【答案】（1）【详解】（1）

1；（2）1 2，SACD1ACADsinCAD， 2ⅠSABD2SACD，BADCAD，ⅠAB2AC． 由正弦定理可知

sinBAC1.

sinCAB2（2）ⅠBD:DCSABD:SACD2:1，DCⅠBD2．

设ACx，则AB2x，

在ⅠABD与ⅠACD中，由余弦定理可知，

2， 2AD2BD2AB234x2cosADB，

2ADBD223x2ADCDAC，

cosADC22ADCD2222ⅠADBADC，ⅠcosADBcosADC，

32xⅠ34x，解得x1，

22222即AC1．

62．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））四边形

．

（1）求

和

；

的面积．

的内角

与

互补，

（2）求四边形

【答案】（1）C60，BD7；（2）23．

【详解】：（1）连接BD．在ABD和CBD中，利用余弦定理列等式BD2BC2CD22BC

CDcosC和BD2AB2DA22ABDAcosA，且cosCcosA，代入数据得

54cosC，求cosC的值，进而求C和

等于ABD和CBD的面积．

的值；（2）由（1）知ABD和CBD的面积可求，故四边形

（1）由题设及余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcosC．Ⅰ

BD2AB2DA22ABDAcosA54cosC．Ⅰ

由ⅠⅠ得cosC（2）四边形

1，故C60，BD7． 211110的面积SABDAsinABCCDsinCS(1232)sin60

222223．

63．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））如图，在ⅠABC中，ⅠABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为ⅠABC内一点，ⅠBPC＝90°. (1)若PB＝

1，求PA； 2(2)若ⅠAPB＝150°，求tanⅠPBA．

【答案】（1）

37 （2）42【详解】解：（1）由已知得ⅠPBC＝60°，所以ⅠPBA＝30°. 在ⅠPBA中，由余弦定理得PA2＝

.

故PA＝

7. 5分 2（2）设ⅠPBA＝α，由已知得PB＝sin α. 在ⅠPBA中，由正弦定理得

3sin， sin150sin(30)化简得3cos α＝4sin α.

所以tan α＝

33. 12分 ，即tanⅠPBA＝

4464．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））ⅠABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB． （Ⅰ）求B；

（Ⅰ）若b=2，求ⅠABC面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）B=

（Ⅰ）21 4【详解】(1)Ⅰa=bcosC+csinB

Ⅰ由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB Ⅰ 在三角形ABC中，A=

－(B+C)

ⅠsinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC Ⅰ 由Ⅰ和Ⅰ得sinBsinC=cosBsinC 而CⅠ(0，)，ⅠsinC≠0，ⅠsinB=cosB 又B(0，)，ⅠB=

(2) SⅠABC12acsinBac， 24由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos

2ac﹣2ac2，

42整理得：ac4，当且仅当a＝c时，等号成立，

22则ⅠABC面积的最大值为

12412（22）21． 2222265．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））已知a，b，c分别为ABC三个内角A,

B,C的对边，c3asinCccosA.

(Ⅰ)求A；

(Ⅰ)若a=2，ABC的面积为3，求b，c.

【答案】(1)A (2)bc=2 3【详解】(Ⅰ)由c3asinCccosA及正弦定理得

3sinAsinCcosAsinCsinC

由于sinC0，所以sinA又0A，故A(Ⅰ)ABC的面积S=

1， 623.

1bcsinA=3,故bc=4， 2而a2b2c22bccosA故c2b2=8，解得bc=2

66．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，

；求b,c.

（1）求角 A （2）若a2，ABC的面积为【答案】（1）【解析】：（1）由

（2）b=c=2

及正弦定理得

sinAcosC3sinAsinCsinBsinC0，

因为BAC，所以3sinAsinCcosAsinCsinC0． 由于sinC0，所以sin(A（2）ABC的面积S解得bc2．

6)1．又0A，故A． 231bcsinA3，故bc4，而a2b2c22bccosA，故b2c28． 2