线面角及二面角的求法

第9节 线面角及二面角的求法

【基础知识】

求线面角、二面角的常用方法：

(1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．

(2)二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量．

【规律技巧】

平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．

【典例讲解】

【例1】 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，

PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

(1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明：AE⊥平面PCD； (3)求二面角A－PD－C的正弦值． (1)解 在四棱锥P－ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD， 故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A， 从而AB⊥平面PAD，

故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角． 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. (2)证明 在四棱锥P－ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， 故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，

-可编辑修改-

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∴CD⊥平面PAC.

又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD.

由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD.

【变式探究】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，

PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(1)证明PA∥平面EDB； (2)证明PB⊥平面EFD； (3)求二面角C－PB－D的大小．

(1)证明 如图所示，连接AC，AC交BD于O，连接EO. ∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点． 在△PAC中，EO是中位线， ∴PA∥EO.

而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB， ∴PA∥平面EDB.

【针对训练】

1．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.

-可编辑修改-

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(1)证明：PC⊥平面BED；

(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

(2)解 在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角A－PB－C为90°， 所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB， 故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

因为BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直， 故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB， 所以底面ABCD为正方形，AD＝2，

PD＝PA2＋AD2＝22.

设D到平面PBC的距离为d.

因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 故AD∥平面PBC，A，D两点到平面PBC的距离相等， 即d＝AG＝2.

d1

设PD与平面PBC所成的角为α，则sin α＝＝.

PD2

所以PD与平面PBC所成的角为30°.

【练习巩固】

1、如图所示，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AA1B1B，ADD1A1,ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1,D,E的平面交CD1于F.

（Ⅰ）证明：EF//B1C；

（Ⅱ）求二面角EA1DB1余弦值.

-可编辑修改-

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【答案】（Ⅰ）EF//B1C；（Ⅱ）

3．（2014·湖北卷）如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．

(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ.

(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

6. 3 图1-4

4．（2014·新课标全国卷Ⅱ）如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面

ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积．

图1-3

-可编辑修改-

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→

设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，3，0)，AC＝(m，3，0)． 设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，

mx＋3y＝0，→AC＝0，n1·

则即31

→y＋z＝0，AE＝0，n1·22

可取n1＝

3

，－1，3. m

又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量， 1

由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即

2

3132＝，解得m＝. 3＋4m22

11131因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为.三棱锥E-ACD的体积V＝××3××＝

232223

. 8

-可编辑修改-

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