数学试题（宏志班）
一、选择题.
1.是第四象限角，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
由的值及α为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出的值．
【详解】由题是第四象限角， 则 故选B.
【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 2.函数是（ ）
A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】C 【解析】
试题分析：根据题意，由于函数是，因此排除线线A,B，然后对于选项C，D，由于正弦函数周期为，那么利用图像的对称性可知，函数的周期性为，故选C. 考点：函数的奇偶性和周期性
点评：解决的关键是根据已知函数解析式俩分析确定奇偶性，那么同时结合图像的变换来得到周期，属于基础题。
3.二次函数中，，则函数的零点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 【答案】C
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【解析】
试题分析：对于二次函数来说，其零点的情况要根据判别式来判定，如果判别式小于零，则没有零点，判别式等于零，一个零点，判别式大于零，有两个零点，故可知，由于ac<0,那么可知说明有两个零点，故选C
考点：本试题主要考查了二次函数的零点问题的判定运用。
点评：解决该试题的关键是理解零点的概念，对于零点的求解一般有两种办法：第一就是解方程，看方程的解的个数，另一个方法就是利用图像法来得到结论。 4.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
本题首先可以通过函数的性质判断出和的大小，然后通过对数函数的性质判断出与的大小关系，最后即可得出结果。 【详解】因为函数是增函数，，， 所以， 因为， 所以，故选B。
【点睛】本题主要考查了指数与对数的相关性质，考查了运算能力，考查函数思想，体现了基础性与应用性，考查推理能力，是简单题。
5.已知函数的定义域为，集合，若中的最小元素为2，则实数的取值范围是：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】
本题首先可以求出集合以及集合中所包含的元素，然后通过交集的相关性质以及中的最小元素为2即可列出不等式组，最后求出实数的取值范围。 【详解】函数，，或者， 所以集合，
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，，， 所以集合，
因为中的最小元素为2， 所以，解得，故选C。
【点睛】本题考查了集合的相关性质，主要考查了交集的相关性质、函数的定义域、带绝对值的不等式的求法，考查了推理能力与计算能力，考查了化归与转化思想，提升了学生的逻辑思维，是中档题。
6.已知函数的图像如图所示，则（ ）
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
本题首先可以通过图像得出函数的周期，然后通过函数周期得出的值，再然后通过函数过点求出的值，最后将带入函数解析式即可得出结果。 【详解】因为由图像可知，解得， 所以，，
因为由图像可知函数过点， 所以，解得， 取，，， 所以，故选B。
【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查了三角函数图像的相关性质，考查了三角函数的周期性的求法，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题。 7.已知，，，且与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】
本题考查向量垂直，向量数量积的运算. 因为所以因为垂直，所以即，故选B 8.已知，，则（ ）
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A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
本题首先可以对两边同时平方，然后进行化简即可得出并解出的值，最后将的值带入中即可求出的值。
【详解】因为，所以， 所以， 所以， 即，解得或者， 当时，， 当时，，
综上所述，，故选B。
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查了三角恒等变换的相关性质，考查的公式有、、，锻炼了学生对公式的使用，是中档题。 9.函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】
试题分析：判断f（x）的奇偶性，在（，π）上的单调性，再通过f（）的值判断． 详解：f（﹣x）==﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，f（x）的图象关于原点对称，排除C； ，排除A，
当x＞0时，f（x）=，f′（x）=， ∴当x∈（，π）时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（，π）上单调递增，排除D， 故选：B．
点睛：点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过
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表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.
10.已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】
本题首先可以根据函数是定义域为R的偶函数判断出函数的对称轴，然后通过在上单调递减判断出函数在上的单调性，最后根据即可列出不等式并解出答案。 【详解】因为函数是定义域为R的偶函数， 所以函数关于轴对称，即函数关于对称， 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递增， 因为，所以到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 即，，
化简可得，，解得，故选D。
【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性的相关性质，若函数是偶函数，则函数关于轴对称且轴左右两侧单调性相反，考查推理能力与计算能力，考查函数方程思想与化归思想，是中档题。
11.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】
试题分析：若对恒成立，则，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，由，得，故选C 考点：本题考查了正弦函数的有界性及单调性.
点评：熟练掌握三角函数单调性及有界性是解决此类问题的关键，属基础题 12.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】
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本题首先可以求出函数关于轴对称的函数的解析式，然后根据题意得出函数与函数的图像至少有3个交点，最后根据图像计算得出结果。 【详解】若，则， 因为时，， 所以，
所以若关于轴对称， 则有，即，
设，画出函数的图像：
要使与的图像至少有3个交点， 则且满足，即，解得，故选D。
【点睛】本题考查的是函数的对称性、对数函数以及三角函数的相关性质，主要考查如何根据函数对称性来求出函数解析式，考查学生对对数函数以及三角函数的图像的理解，考查推理能力，考查数形结合思想，是难题。 二、填空题.
13.若向量，，且，则_____ 【答案】6 【解析】 【分析】
本题首先可通过题意得出向量以及向量的坐标表示和向量与向量之间的关系，然后通过向量平行的相关性质即可得出结果。 【详解】因为，，且， 所以，解得。
【点睛】本题考查向量的相关性质，主要考查向量平行的相关性质，若向量，，，则有，锻炼了学生对于向量公式的使用，是简单题。 14.函数的定义域为____ 【答案】 【解析】 【分析】
本题首先可以通过分式的分母不能为以及根式的被开方数大于等于来列出不等式组，然后通
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过计算得出结果。
【详解】由题意可知，解得或者， 故定义域为。
【点睛】本题考查函数的定义域的相关性质，主要考查函数定义域的判断，考查计算能力，考查方程思想，是简单题。
15.设是以2为周期的奇函数，且，若，则的值等于___ 【答案】-3 【解析】
试题分析：∵，∴，∴
考点：本题考查了二倍角公式及函数的性质的运用
点评：熟练掌握二倍角公式及函数的性质是解决此类问题的关键，属基础题 16.设，，依次是方程，，的根，并且，则，，的大小关系是___ 【答案】 【解析】 【分析】
本题首先可以根据分别是方程的根得出，再根据即可得出，然后通过函数与函数的性质即可得出，最后得出结果。 【详解】因为，，， 所以， 因为，， 所以，，
因为函数与函数都是单调递增函数，前者在后者的上方， 所以， 综上所述，。
【点睛】本题考查方程的根的比较大小，通常可通过函数性质或者根的大致取值范围进行比较，考查函数思想，考查推理能力，是中档题。 三、解答题. 17.已知，且， （1）求，的值； （2），求的值。
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【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】
(1)首先可通过二倍角公式以及将转化为，然后带入即可计算出的值，再然后通过以及即可计算出的值；
(2)可将转化为然后利用两角差的正弦公式即可得出结果。 【详解】⑴， 因为，， 所以； ⑵因为，，， 所以， 。
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角恒等变换，考查的公式有、、，在使用计算的时候一定要注意角的取值范围。
18.已知，、、在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为、、。 （1）若，求角的值； （2）当时，求的值。 【答案】（1） （2）- 【解析】 【分析】
⑴首先可以通过、、写出和，然后通过化简可得，最后通过即可得出角的值； ⑵首先可通过化简得到，再通过化简得到，最后对化简即可得到的值。 【详解】⑴已知、、， 所以，， 因为， 所以 化简得，即， 因为，所以； ⑵由可得，
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化简得，， 所以，
所以，综上所述，。
【点睛】本题考查了三角函数以及向量的相关性质，主要考查了三角恒等变换的相关性质以及向量的运算的相关性质，考查了计算能力，考查了化归与转化思想，锻炼了学生对于公式的使用，是难题。 19.，，且，，且为偶函数。 （1）求；
（2）求满足，的的集合。 【答案】（1）；（2）． 【解析】
试题分析：（1）首先利用向量数量积的坐标运算并且结合二倍角公式与两角和的正弦公式化简函数的解析式，可得：．由已知为偶函数知其图象关于y轴对称，可得：当x=0成立，从而可得，再根据θ的范围即可得到答案．
（2）由（１）可得：，再结合余弦函数的图象及性质可得：，进而结合x的取值范围得到结果． 试题解析：（1）由题意可得：
所以函数的解析式为：； 因为为偶函数，所以有：即： 又因为， 所以．
（２）由（１）可得：， 因为，
所以由余弦函数的图象及性质得：， 又因为，所以 x的集合为
考点：１．两角和与差的正余弦公式、二倍角公式；２．向量数量积的坐标运算；３．三角函数的性质．
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20.已知函数，当点在的图像上移动时，点在函数的图像上移动， （1）若点的坐标为，点也在图像上，求的值。 （2）求函数的解析式。 （3）当，令，求在上的最值。 【答案】（1）；（2）；(3)见解析 【解析】 【分析】
（1）首先可通过点的坐标得出点的坐标，然后通过点也在图像上即可得出的值；
（2）首先可以设出点的坐标为，然后得到与、与的关系，最后通过在的图像上以及与、与的关系即可得到函数的解析式；
（3）首先可通过三个函数的解析式得出函数的解析式，再通过函数的单调性得出函数的单调性，最后根据函数的单调性即可计算出函数的最值。 【详解】（1）当点的坐标为，点的坐标为， 因为点也在图像上，所以，即； （2）设在函数上，则有，即， 而在的图像上，所以， 代入得； （3）因为、、， 所以，
，
令函数，
因为当时，函数单调递减， 所以当时，函数单调递增， ，，
综上所述，最小值为，最大值为。
【点睛】本题考查了对数函数的相关性质，考查了对数的运算、对数函数的单调性以及最值，考查函数方程思想以及化归与转化思想，体现了基础性与综合性，提高了学生的逻辑推理能力。
21.如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为，赛道的中部分为长千米的直线跑道，且，赛道的后
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一部分是以为圆心的一段圆弧。
（1）求的值和的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值。 【答案】（1）， ；（2）. 【解析】 试题分析：
（1）由题意可得，故，从而可得曲线段的解析式为，令x=0可得，根据，得,因此（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，由条件可得“矩形草坪”的面积为，然后根据的范围可得当时，取得最大值． 试题解析： (1)由条件得. ∴.
∴曲线段的解析式为. 当时，. 又， ∴, ∴.
(2)由(1)，可知.
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，故. 设,,“矩形草坪”的面积为 . ∵， ∴,
故当，即时，取得最大值．
22.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界，已知函数，
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
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（2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围。 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）． 【解析】
试题分析：（1）当时，函数，换元后根据复合函数单调性求得函数值域为，故不存在；（2）依题意有，即，令换元后分离参数，利用基本不等式和函数的单调性求得实数的取值范围． 试题解析：
（1）当时，，令，∵，∴，；
∵在上单调递增，∴，即在上的值域为，
故不存在常数，使成立．∴函数在上不是有界函数．…………………………6分 （2）由题意知，对恒成立， 即：，令，∵，∴． ∴对恒成立，∴， 设，，由，
由于在上递增，在上递减， 在上的最大值为， 在上的最小值为．
∴实数的取值范围为．……………………12分 考点：函数的单调性与值域．
【方法点晴】本题主要考查函数的单调性与值域．考查新定义问题．由于函数的结构类似二次函数，故先令，换元后，可利用二次函数的图象与性质来解决．第二问去绝对值后，将目标定在，将不等式化为，利用恒成立问题，转化为来求解．左边是对钩函数，右边是单调函数．
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