平方根

【课程安排】 2学时 【课程内容】

1、通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。了解算术平方根与平方根的区别与联系；

2、会求一个非负数的平方根、算术平方根； 3、会用科学计算器求一个数的算术平方根。 【学习过程】 一、具体讲解：

1、平方根的概念及性质（难点） （1） 提出问题,引发讨论 你能求出下列各数的平方吗? 0,-1,5,2.3,-

11,-3,3,1, 5512111)= (-3)2=9 32=9 12=1 ()2= 552525 02=0 (-1)2=1 52=25 2.32=5.29 (-

若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗? 25,0,4,

411,,-,1.69 251444 由于52=25,(-5)2=25,故平方为25的数为5或-5. 02=0,故平方为0的数为0.

22=4,(-2)2=4,故平方为4的数为2或-2.

2242442)=,()2=,故平方为的数为±. 5525525251112111 (-)2=,()=,故平方为的数为±.

12144121441441211 对于-这个数,没有哪个数的平方等于它,故平方为-的数找不到.

44 (- 1.32=1.69,(-1.3)2=1.69,故平方为1.69的数是±1.3.

又如:课本P160中的问题:小欧要裁一块面积为25dm2的正方形画布,由于正方形的面积

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为边长的平方,而边长不可能为负数,故此画布的边长应为5dm.依此可得正方形的面积若分别为1,9,16,36,

42时,此正方形的边长分别为1,3,4,6, .

525 由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的平方值时,只有一个,•也有些时候,我们已知某数的平方,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数是互为相反数,而如果是已知某物的面积求其边长时,其边长也只有一个值.•我们把一个数的已知平方值,求原数的问题称为求这个数的平方根.

（2）平方根定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方跟或二次方根，即如果xa或(x)2a，那么x或-x叫做a的平方根。 例如：3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根。

（3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。正数的平方根记作±a。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

例：求下列数的平方根。 （1）(3)；（2）12215；（3）0；（4）1 49解题方法：求一个数的平方根，就是根据平方根的定义，看这个数是哪两个互为相反数的平方。

2222解：（1）(3)=9，(3)=9，所以(3)的平方根是±3，记作(3)3；

（2）带分数115641564826415首先化为假分数，即1=，()，所以1的平方根4949494974949是8158，记作1； 74972（3）因为(0)0，所以0的平方根是0， 记作00；； （4）因为(1)1，所以1的平方根是±1，记作11；. 2、算术平方根的概念及表示方法（难点）

2- 2 -

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作a，读作“根号a”，a叫做被开方数。 注意：（1）特别地，规定0的算术平方跟是0，即00；

（2）负数没有算术平方根，也就是说，当式子a有意义时，a一定表示一个非负数。 例1：求下列各数的算术平方根： (1)900；(2)1 ；(3)

2

49；(4)196 ；(5)0 ； 64

(6)10-6（7）256；（8）625；（9）412402 解:(1)∵302=900,故900的算术平方根是30,即900=30. (2)∵12=1,故1的算术平方根是1,即1=1.

(3)∵(

7249497497)=,故的算术平方根是,即= 864648648 (4)∵142=196,故196的算术平方根是14,即196=14. (5)∵02=0,故0的算术平方根是0,即0=0. (6)∵(103)2=106,故10的算术平方根是103,即106 =103

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（7）∵16=256，∴256的算术平方根是16，即25616 （8）62525，又5

2

2

=25，∴ 625的算术平方根是5

2

（9）412402=81=9，又3例2:求下列各式的值

=9，∴412402的算术平方根是3

2 ①1.44; ②(0.1); ③0.810.04; ④121. 4解:①∵1.21.44,故1.44的算术平方根是1.2,即1.44=1.2. 2- 3 -

2②(0.1)=0.01=0.1

③0.810.04=0.9-0.2=0.7 ④121497== 442b的算术平方根是下列哪一个( ) a (2)若(a-1)2+│b-9│=0,则 A.

1 B.±3 C.3 D.-3 3分析:由于(a-1)2≥0.│b-9│≥0,

∴(a-1)2+│b-9│=0时,有a-1=0且b-9=0, ∴a=1,b=9, ∴

b9b==9,故的算术平方根是3. a1a 例3：7有意义吗?为什么?

分析: 7无意义,因为被开方数都是非负数,即7中-7＜0,故7无意义. 例4：(1)当a为负数时,a2有没有算术平方根?其算术平方根与a有什么关系?当a为正数时,a2的算术平方根如何表示?a为0呢?举例说明你的结论. (2)x2-x+

1是否有算术平方根?如有请写出其算术平方根,如没有说明为什么? 4 解:当a为负数时,a2为正数,故a2有算术平方根,如a=-5时,a2=(-5)2=25,

a2=25=5,5是-•5的相反数,故a<0时, a2的算术平方根与a互为相反数,表示为-a.

当a2为正数时,a的算术平方根表示为a2,其值为a,即a2=a. 当a=0时, a2=0 a(a0)

由此可知a2=|a|=0(a0)

a(a0)

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122111)=x-x+,而(x-)2一定是非负数,故x2-x+也是非负数,故2424111x2-x+有算术平方根,其算术平方根的值要视x的取值而定.当x≥时,x2-x+的算术

42411111平方根为x-.•当x<时,x2-x+的算术平方根为-(x-)=-x.

22422 (2)因为(x- 小结： 这节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,•求一个数的算术平方根与求一个正数的平方幂正好是互逆的过程,因此,求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的开平方运算.只不过,只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根. 3、用计算器求一个正数的算术平方根

在实际问题中,往往会遇到像上述情形中的问题,如果在所学过的有理数中确实找不到合适的数的平方会等于所给的数,我们该怎么表示所给数的算术平方根呢?

我们知道,若有正数x,使x2=a(a≥0),则x为a的算术平方根,记作x=a•,•于是若x2=50时(x为正数),则x=50,而72<50<82,因此有7<50<8,现在我们就来学习如何求

50的近似值,50是不是有理数呢?

只要计算器上有“”键,它就可以用来求某正数的算术平方根了,但不同的计算器

的按键顺序不相同,只要按计算器的使用方法去按键,就可求出任意正数的算术平方根了. 一般的按键顺序是：（如求50） NO

50

=

例1:用计算器计算3136和2,5,10的值.

解:通过按键可得3136的值在计算器上显示:56,为有理数.2的值在计算器上显示1.•414213562,•而5的值在计算器上显示2.•236067978,10的值在计算器上显示3.16227766.从计算器上显示的数都是位数有限的,•因此往往给我们一个印象“这些值都是有理数”,而事实上我们知道用平方幂验证它们的平方根时,却怎么也找不到准确的数,使其平方为2、5、10,于是我们得出:这些数不是有理数,只是一个无限不循环小数即无理数.•通过计算器计算出的小数只能是这些数的算术平方根的近似值或最接近的值.运用计算器可以很方便地确定一个任意正数的算术平方根.

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二、课堂练习

1.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______;•若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为______.

2.求下列各式的值:

0.16,1112, (3) , 0.25, 102 25 3.3x-4为25的算术平方根,求x的值.

4.已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值.

5.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值. 6.若x4与4y互为相反数,求xy的算术平方根.

7.用计算器求出下列各式的值.

8955 12345 -260 0.00537 8.用计算器比较311与的大小. 22 9.在物理学中,用电器中的电阻R与电流I,功率P•之间有如下的一个关系式:•P=I2R,,现有一用电器,电阻为18欧,该用电器功率为2400瓦,求通过用电器的电流I.

10.用边长为5cm的正方形纸片两张重新剪开并拼接成一个较大的正方形,其边长约为多少?(精确到0.01cm)

11.某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60000米2.

(1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差小于1米)

(2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少?(•精确到0.01)

12.(1)任意找一个很大正数,利用计算器将该数除以3,将所得结果再除以3„„.随着运算资料的增加,你发现了什么?换一个数试试,是否仍有类似的规律?

(2)任意找一个非常大的正数,利用计算器不断地对它进行开算术平方根,•你发现了

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什么?

13. 16的值为多少?16的平方根为多少? 的平方根呢? 14.如果一个正数的一个平方根为4,则另一个平方根为多少? 15.有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m2,求长和宽. 16.若(a-

12121112)= 2+a-2,现老师布置了一道化简题: +(a=) .甲、a22aa5aa•乙两同学很快地写出其解答过程:

甲:

111121122+ =+=+-a=-a, a2(a)aaaaaa2a1214时,-a=10-=9 5a55当a=

乙:

111111122+=+=+a-=a= a2(a)aaaa5a2a 谁的答案是对的?为什么?

17.已知a=2-1,b=22-6,c=6-2,试比较a、b、c的大小.(不用计算器) 18.若35的整数部分为a,小数部分为b,求a、b的值.

19．（1）25的算术平方根是 ； （2）若x23，则x= ； （3）a的平方根是3，则a= ；

2（4）82= ，(8)= ；

（5）4= ；

2（6）(3)= ；

（7）4的平方根 ；

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参考答案

1.0,1 0; 2.0.4,

61-1

,3,0.5,10(); 3.x=3 5104.a=3,b=±4,则a-b=3-4或3-(-4),故a-b=-1或7. 5.a=5,b=2

6.x=4,y=4,xy=16,xy的算术平方根为4. 7.94.63 111.1 -16.12 0.0733 8.

131

≈0.366< 9.I≈11.55安培

22

10.•约7.07cm 11.(1)宽约为154.92米 (2)r≈5.05米 12.(1)结果越来越小,趋向于0 (2)结果越来越趋向于1

13.4,±4,±2 14.-4 15.长为10m,宽为2.5m 16.甲的答案是对的,因为a=17.因为3>22 , 所以a-b=6-1-2=33-1-2>322-1-2=(21)-1-2, 而c-a=6--1-2 =a-b>0 ∴b18.∵25<35<36 ∴5<35<6 ∴35 的整数部分为5,小数部分为35-5,即a=5,b=35-5

211 时,>a. 5a

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