第三讲 三角形的五种心 例题和练习

一. 三角形五种心的性质: 1. 外心(点O): A(1) OA=OB=OC=

aA2sinA (2) ∠A为锐角，则∠BOC＝2∠A

∠A为钝角，则∠BOC＝360o

-2∠A OBa BaCO2. 内心(点I): A (1) S1⊿ABC=

2(a+b+c)r [a、b、c为三边长, r为内切圆半径] (2) ∠BIC=1O

I2∠A+90

r (3) ABACBDC BDDC

3. 重心(点G):

A (1) S⊿BDG= S⊿CDG =S⊿CEG= S⊿AEG= S⊿AFG= S⊿BFG

(2) AGBGCGFEGDGEFG=2 G

BDC4. 垂心(点H):

(1) H为⊿EFG的内心 A(2) ∠BHC＝180o-∠A

G∠AHC＝180o-∠B ∠BHA＝180o-∠C

FH(3) ⊙⊿BHC=⊙⊿AHC=⊙⊿BHA=⊙⊿ABC

(B各三角形外接圆半径相等) EC

5. 旁心(点O1、O2、O3):

O ⊿O21O2O3的垂心为⊿ABC的内心 A O

1注: (1) 试证明以上各条性质; OB (2) 各结论可直接使用. C O3

1

C 二. 重要结论和例题:

例1. (欧拉线) 任一个三角形中, 外心、垂心、重心共线, 且垂心到重心距离2倍于外心到重心距离.

证明：（如图）设⊿ABC垂心为H， 外心为O， E为BC中点， A M、N分别为高之垂足，连OE、AM、BN、OH、AE 设AE与OH交于点G，三边长分别为a、b、c 则OE⊥BC, ∴EO//AM ∴ RT⊿OEC中 ∠EOC＝

OGOE HGAHK1∠BOC＝∠BAC 2OGFHMNC ∴OE=OC•cosA=RcosA ∵∠AHN=∠C 且 AH=

BEANccosAc=2RcosA=2OE（正弦定理=2R, R为相应三角形外接圆半径） sinCsinCsinC ∴ 2OG=GH 同法可证点G与B及AC中点三点共线,点G与C及AB中点三点共线

∴ G为⊿ABC重心 ∴原命题得证

练习1. 任一个三角形中, 三边中点、三边上高的垂足、垂心与三顶点连线段中点，九点共圆.

A

练习2. 锐角△ABC中,H为垂心, a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C的对边 c 求证： HA2+a2=HB2+b2=HC2+c2 H

aB

例2．已知：（如图）AB=BC=AC=AD，AH⊥CD于H ，KC⊥BC交AH于K.

3AK•BD 4 证明： 先证⊿AKC∽⊿BCD

bC 求证: S△ABC=

显然∠ACB＝∠BAC＝∠ABC＝60O 且∠ACK＝30O , ∠CAH=

1∠CAD 2AKHBC ∵AB =AC=AD ∴A点为⊿BCD的外心

1 ∴∠BDC=∠BAC=30O=∠ACK

2D 同理: ∠DBC=

1∠CAD=30O=∠CAK 2AKAC ∴ AK•BD=BC•AC=a2 BCBD ∴ ⊿AKC∽⊿BCD 设⊿ABC边长为a , ∴ S⊿ABC=

323AK•BD a=442

练习3. △ABC中, AB=AC, 在BC边上取点Q, 作QM//AC交AB于M, QN//AB交AC于N,

又作Q关于直线MN的对称点P.

PBBQ求证: (1) (2) △PBC∽△ANM PCQC

例3. (如图) 设I为△ABC的内心,延长AI、BI、CI

各交△ABC的外接圆于D、E、F. 求证: AD+BE+CF>AB+BC+CA 证明: 连接BD、CD

则BD=CD , ∠DBC=∠DCB=

1∠A , 2FAEI1∠BDI=∠IBA+∠BAI=(∠A+∠B)= ∠IBC+∠DBC=∠DBI

2BDC∴ BD=ID 同法可证 DI=DC

⊿BIC与⊿BDC中 BD+DC>BC , BI+IC>BC ∴ BD+DC+BI+IC>2BC 即 2DI+BI+CI>2BC ① 同法可证: 2EI+AI+CI>2AC ②, 2FI+AI+BI>2AB ③ 三式相加: 2(AD+BE+CF)>2(AB+AC+BC) 即 AD+BE+CF>AB+BC+CA

练习4: 试证: 任何三角形中, 其内心与旁心连线段均被其外接圆圆周平分.

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