高中数学向量专项练习(含答案)

一、选择题

1．已知向量a(1,x),b(1,x),若(2ab)b.则a（ ） A．2 B．3 C．2 D．4 2．化简A．

+

+

+

的结果是（ ）

D．

B． C．

3．已知向量a(1,2),b(4,m)，若2ab与a垂直，则m（ ） A．-3 B．3 C．-8 D．8

4．已知向量a(1,1)，b(1,m)，若(2ab)a4，则m（） A．1 B．0 C．1 D．2

2),b(m，1)，若向量a与b平行，则ab 5．设向量a(1，A．-7135 B．- C． D． 22226．在菱形ABCD中，对角线AC4，E为CD的中点，则AEAC（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 7．在△ABC中，若点D满足BD2DC，则AD（ ） A．

12522121ACAB B．ABAC C．ACAB D．ACAB 333333338．在ABC中，已知BAC90，AB6，若D点在斜边BC上，CD2DB，则ABAD的值为 （ ）．

A．6 B．12 C．24 D．48

9．已知向量m(1,1),n(2,2),若(mn)(mn)，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1

10．已知向量a(1，2)，b(x，4)，若向量a//b，则实数的x值为 A．2 B．2 C．8 D．8 11．已知向量a2,1,b3,4，则2ab

A．1,5 B．1,5 C．1,6 D．1,6 12．已知向量a2,1,b3,4，则ab

A．1,5 B．1,5 C．1,3 D．1,3

13．ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OAABAC0，且OAAB，则CB在CA方向上的投影为

A．1 B．2 C．3 D．3

14．已知向量a(1,2)，向量b(x,2)，且a(ab)，则实数x等于（ ） A、4 B、4 C、0 D、9

15．已知平面向量a(1,2),b(2,m)，且a//b，则实数m的值为 （ ） A．1 B．4 C．1 D．4

16．C是边长为2的等边三角形，已知向量a、b满足2a，C2ab，则下列结论正确的是（ ）

A、b1 B、ab C、ab1 D、4abC 17．已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则BDCD （ ） A、32333a B、a2 C、a2 D、a2 244218．已知向量a，b满足a+b(5,10)，ab(3,6)，则a,b夹角的余弦值为( )

A．1313213213 B． C． D． 13131313，若（a+b）·c=5，则a与c的夹角为（ ）

19．已知向量a=（1，3），b =（-2，-6），|c|=A．30° B．45° C．60° D．120° 20．已知向量a(2,1),b(5,3)，则ab的值为



A．-1 B．7 C．13 D．11

21．如图，平行四边形ABCD中，AB(2,0),AD(3,2)，则BDAC（ ）

A．6 B．4 C．9 D．13 22．若向量AB(2,4)，AC(1,3)，则BC=（ ） A．(1,1) B．(1,1) C．(3,7) D．(3,7)

23．在△ABC中，角A为钝角，AB1,AC3，AD为BC边上的高，已知ADxAByAC，则x的取值范围为 （A）(34,910) （B）(12,910) （C）(35,3134) （D）(2,4) 24．已知平面向量AB1,2，AC3,4，则向量CB=（ ） A．(4,6) B．(4,6) C．(2,2) D．(2,2) 25．已知向量a(2,4)，b(1,1)，则2ab

A． （5,7） B． （5,9） C． （3,7） D． （3,9） 26．已知向量m(a,2),n(1,1a)，且m//n，则实数a＝（ ） A．－1 B．2或－1 C．2 D．－2

27．在ABC中，ABc,ACb若 点D满足BD2DC，则AD（ ） A．

215223b3c B．3c3b C．3c1223b D．3b3c 28．已知点M(5,6)和向量a(1,2)，若MN3a，则点N的坐标为（ ） A．(3,6) B．(2,0) C．(6,2) D．(2,0) 29．在矩形ABCD中，AB4,AD2,则BABDBC（ ） A．12 B．6 C．45 D．25 30．已知向量a(1,2) ,b(3,1) ,则ba（ ）． A．(2,1) B．(2,1) C．(2,0) D．(4,3)

31．若向量a (n , 1)与b (4 , n)共线且方向相同，则n（ ） A．

12 B．1 C．2 D．2 32．设a,b,c是单位向量，且ab0,则(ac)(bc)的最小值是（ ） A．12 B．21 C．13 D．31

33．如图所示，D是ABC的边AB上的中点，记BCa,BAc，，则向量DC（AD B

C

）

A．a1111c B．ac C．ac D．ac 222234．如图，在ABC中，ABBC4,ABC30,AD是边BC上的高，则ADAC的值等于 （ ）

A．0 B．4 C．8 D．4 35．已知平面向量a与b的夹角为

，且b1,a2b23,则a（ ） 3A．1 B．3 C．2 D．3

36．已知向量a3,4,bsin,cos,且a与b共线，则tan（ ）

A．

4343 B． C． D． 3434二、填空题

37．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则ADBC＝_____________. 38．设a(1,2)，b(2,k)，若(2ab)a，则实数k的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8

39．空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC60，则cosOA,BC（ ） A．1 B．2 C．1 D．0

222

40．已知向量a，b，c满足|a|=2，|b|ab3，若(c2a)(2b3c)0，则|bc|的最大值是 ． 41．化简：

= ．

42．在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC3acosBccosB，BABC2，则

ABC的面积为 ．

43．已知向量=（1，2），•=10，|+|=5

，则||= ．

44．如图，在ABCD中，E是CD中点，BExAByAD，则xy ．

DECAB

45．若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则a与b的夹角为________。 46．向量m(22,），n(sinx,cosx),x(0,)，①若m//n，则tanx ； 22②若m与n的夹角为

，则x ． 347．已知平面向量a2,1，则 a_________．

48．已知|a|=2，|b|=4，a⊥（a＋b），则a与b夹角的度数为 ． 49．已知向量a(1,2),b(x,2)，且ab ，则实数x的值为 ． 50．已知向量a2,1,1，bt,1,1，tR，若a//b，则t ． 51．已知向量a1,3，向量a,c的夹角是

，ac2，则|c|等于_______． 352．已知a1,b3，它们的夹角为120，那么ab ．

53．已知向量a与b的夹角为45，且|a|1，|b|32；则|2ab| ．

54．已知平面向量a(2,1)，向量b(1,1)，向量c(5,1). 若(akb)//c，则实数k的值为 ． 55．若等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB3,BC2,ABC45,则ACBD的值为 ．

56．已知a(1,3)，b(1,t)，若(a2b)a，则|b| . 57． 已知a2 ，b3，a,b的夹角为60°，则2ab_____. 58．在ABC中，已知AB4,AC1，且ABC的面积S三、解答题

59．（本小题满分12分）已知向量a(4,3),b(1,2)． （1）求a与b的夹角的余弦值；

（2）若向量ab与2ab平行，求的值．

60．设向量a(2,sin)，b(1,cos)，为锐角． （Ⅰ）若ab3，则ABAC的值为 .

13，求sincos的值； 6（Ⅱ）若a//b,求sin(23)的值．

参考答案

1．C 【解析】

2试题分析：由已知2ab(3,x)，因为(2ab)b.，所以(2ab)b3(1)x0，x3，所以a1x2132．故选C． 考点：向量垂直的坐标运算，向量的模． 2．A 【解析】 试题分析：由于解：∵∴

+

+

=+

，=

， =

，=，

=，即可得出．

故选：A．

考点：向量的三角形法则． 3．A 【解析】

试题分析：因为2ab2(1,2)(4,m)(2,4m)，又2ab与a垂直，所以(1,2)(2,4m)＝

22(4m)0，解得m3，故选A．

考点：1、平面向量的坐标运算；2、向量垂直的充要条件． 4．C． 【解析】

试题分析：由已知得2ab(2,2)(1,m)(3,2m)， 又∵a(1,1)，∴(2ab)a32m4，∴m1，故选C． 考点：平面向量数量积． 5．D 【解析】

试题分析：a2b1,22m,22m1,4,2ab2,4m,12m,3 由两向量平行得2m1342mmabm2考点：向量平行的判定及向量的坐标运算 6．C 【解析】

试题分析：特殊化处理，用正方形代替菱形，边长为22，以A为原点，建立如图所示坐标系，则A（0，

125 222），E（2，22），所以0），C（22，ACAE222222212，故选C．

AC(22,22),AE(2,22)，所以

y E D C A B x

考点：平面向量的数量积运算． 7．A 【解析】

试题分析：由于BCACABbc，因此ADABBDc考点：向量的加法法则． 8．C 【解析】

试题分析：因为，CD2DB，BAC90，所以ABADAB(ABBD)AB(AB2211222AB[AB(ACAB)]＝AB＋ABAC＝AB＝6224，故选C．

333332221BCcbcbc． 33331BC)＝3考点：1、平面向量的加减运算；2、平面向量的数量积运算． 9．B 【解析】 试

题

分

析

：

由题

mn(23,3),mn(1,1)，

(mn)(mn)(mn)(mn)0(23,3)(1,1)03

考点：向量的运算，向量垂直的充要条件 10．A 【解析】

试题分析：因为两向量平行，所以可得142xx2，故选择A 考点：向量共线的坐标表示 11．D 【解析】

试题分析：由向量的坐标运算可得：2ab1,6 ,故选择D 考点：向量的坐标运算 12．A 【解析】

试题分析：根据向量的加法运算法则，可知ab(23,14)(1,5)，故选A． 考点：向量的加法运算． 13．D

【解析】

试题分析：由OAACABABOC0,并且邻边相等，所以四边形OABC是菱形，那么CB在CA方向上的投影是BCcos3023考点：向量与平面几何的关系 14．D 【解析】

试题分析：由已知得，a(ab)0，所以（1，2）（1-x，4）=0，即1-x+8=0，所以x=9．故选D． 考点：向量垂直及数量积的坐标运算． 15．D 【解析】

试题分析：因为a//b，所以1m2(2)0m4．故选D． 考点：向量平行的充要条件． 16．D 【解析】 试题分析：

033． 2AB2a,AC2ab,ACABb,bACABBC．

由题意知b2,ababcos1201211． 224abBC2ABBCBC2ABBCBC12ABBCcos1202222240．4abBC．故D正确．

2考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直． 17．D 【解析】

试题分析：BDCDBCCDCDBCCDCDBCCDcos60a2D正确．

考点：1向量的加减法；2向量的数量积． 18．D 【解析】 试题分析：a2123故aa2a2．

22(ab)(ab)(ab)(ab)(1,8)，则a,b的夹角余弦值为(4,2)，b22cosab20213．故选D. 13|a||b|2065考点：向量的基本运算.

19．D

【解析】

试题分析：根据题意得b2a，从而有ac5，所以cosa,cacac51，所以a21010与c的夹角为120，故选D．

考点：向量的数量积，向量夹角余弦公式．

20．B 【解析】

试题分析：因为ab(2,1)(5,3)1037，所以应选B． 考点：1、平面向量的数量积； 21．C 【解析】 试

题

分

析

:

由

图

可

知

：

BDADAB(3,2)(2,0)(5,2)；

ACADAB(3,2)(2,0)(1,2) ．则BDAC(5,2)(1,2)(5)(1)229．

考点：向量的运算． 22．B 【解析】

试题分析：因为向量AB(2,4)，AC(1,3)，所以BCACAB(1,3)(2,4)(1,1)．故选B． 考点：向量减法的坐标的运算． 23．A 【解析】

试题分析：当角A趋近于直角时，按照平面向量基本定理则此时，向量AD在向量AB上的分量趋近于最大值，，又相似比求得此时x=

93，排除C，D，同理，若角A趋近于平角，则此时x= ，结合选项得A是104正确的．

考点：平面向量基本定理，极限的思想． 24．C 【解析】

试题分析：由向量的减法法则CBABAC2,2,所以选C； 考点：1．向量的减法； 25．A 【解析】

试题分析：根据向量的坐标运算可得：2ab4,81,15,7，故选择A 考点：向量的坐标运算 26．B 【解析】

2试题分析：因为m//n，所以a(1a)2，解得aa20，故a1或a2，故选B．

考点：向量的坐标运算与向量平行的条件.

27．A 【解析】

试题分析：由

BD2DCBD，

可

得

2BC3，

221212ADABBDABBCABACABABACcb333333，故选择A

考点：平面向量基本定理

28．B 【解析】

x2x,yx5,y63,6y0，故选择

试题分析：设点N的坐标为，由MN3a可得：，解得B

考点：平面向量的坐标表示 29．C 【解析】

试题分析：由平行四边形法则可知BABCBD，原式即为2BD，而BD为矩形对角线，所以

BD422225，从而答案为45 考点：向量的加法 30．A 【解析】

试题分析：向量减法的定义，对应坐标分别相减，即ba(31,12)(2,1) 考点：向量的减法 31．C 【解析】

试题分析：两向量共线，坐标满足n144n2,n2时，两向量共线，所以n2 考点：向量共线的判定 32．A 【解析】 试

题

分

析

：

设

2c与

ab的夹角为

21

，

(ac)(bc)abcabc0cabcos10ab12abab112 考点：（1）平面向量数量积的运算（2）平面向量数量积的性质及其运算律 33．C 【解析】

试题分析：因为D是ABC的边AB上的中点，所以DB2211BAc，在BCD中，由向量的三角22形法则可得DCDBBCa1c，故选C． 2考点：向量加减混合运算及其几何意义 34．B 【解析】

试题分析：ADACAD(ADDC)AD考点：向量数量积 35．C 【解析】

试题分析：a2b23a2b考点：向量的数量积与向量的模 36．C 【解析】

21|AB|24,选B． 4212a2a412a2

2b共线可知4sin3costan试题分析：a,考点：向量共线

337．2 【解析】

3 422113ADBC(ABAC)(ACAB)(ACAB)222 试题分析：

考点：向量数量积

38．C 【解析】

试题分析：因为2ab(4,4k)，(2ab)a412(4k)122k0k6 考点：1．平面向量的坐标运算；2．非零向量abab0；3．数量积公式的坐标形式； 39．D 【解析】

试题分析：法一：如图，取BC的中点D，由OBOC，可知ODBC，另一方面由

OBOCAOBAOC60OAC≌OABACAB，而D是BC的中点，所以ADBC，进而

OAOA可得BC面OAD，所以OABC，所以cosOA,BC0，故选D.

法二：因为OABCOA(OCOB)OAOCOAOB|OA||OC|cos60|OA||OB|cos60，因为

OAOA,OBOC，所以

OABC0，所以OA,BC90，所以

cosOA,BCcos900，故选D.

考点：1.空间中的垂直关系；2.空间向量的基本运算. 40．12． 【解析】

试题分析：分析题意可知，设A(1,1)，B(3,0)，则aOA，bOB，设C(x,y)， ∴cOC(x,y)，又∵(c2a)(2b3c)0，∴(x2)(63x)(y2)(03y)0， 而(x2)(y1)1，即点C在以(2,1)为圆心，1为半径的圆上， ∴|bc|(32)2(01)2112，故填：12． 考点：平面向量数量积及其运用． 41．．

【解析】

试题分析：利用向量加法的三角形法则即可求得答案． 解：

故答案为：．

考点：向量加减混合运算及其几何意义． 42．22 【解析】

试题分析：由bcosC3acosBccosB得sinBcosC3sinAcosBsinCcosB

=（

）﹣（

+

）=

﹣

=，

221sinBC3sinAcosBcosB，由BABC2，得accosB2ac6

3S1122acsinB622 223考点：1．正弦定理；2．向量数量积运算 43．5 【解析】

试题分析：先求出||，再求出|+|，问题得以解决． 解：∵向量=（1，2）， ∴||=

，

2

∵•=10，

∴|+|=||+||+2•=（5∴||=25， ∴||=5

故答案为：5．

考点：平面向量数量积的运算． 44．

2

2

2

2

），

2

1 2【解析】

试题分析：连接BD，又E为CD的中点 所以BE11BDBC 22又BDADAB,BCAD 所以BE111(ADAB)ADADAB 222又BExAByAD 所以x1，y所以xy1 21 2考点：向量的线性运算． 45．120 【解析】

试题分析：c⊥a，所以ca0aba0ab1cos考点：向量夹角 46．1，【解析】

abab1120 25． 12试题分析：①：∵m//n，∴22cosx(sinx)0tanx1；②：显然|m||n|1， 22∴mn11cos∴x322111sinxcosx，∴sin(x)，又∵x(0,)， ，即22224246x5． 12考点：1．平面向量共线的坐标表示；2．平面向量数量积；3．三角恒等变形． 47．5 【解析】

试题分析：由向量的模的公式可得：考点：求向量的模 48． 1200 【解析】

试题分析：设a与b夹角为．由a⊥（a＋b）得，aab0,424cos0，解得，cos所以120．

考点：向量的数量积及其运算律并求向量的夹角． 49．-4 【解析】

试题分析：因为向量a(1,2),b(x,2)，且ab，所以1x220x4 考点：平面向量数量积证明垂直 50．-2 【解析】 试题分析：

2a22152 1 2t11a//b,t2 ．

211考点：向量共线． 51．2 【解析】

试题分析：因为a2，根据向量的数量积可知：cacacos321222．

考点：1．向量的数量积； 52．13 【解析】 试题分析：

ab2a2abba2abcosb2222a1,b3,120，所以

ab13

考点：向量的模

53．10 【解析】

试题分析：2ab4ab4ab4184132cos4510,所以2ab10. 考点：1向量的数量积;2向量的模.

222154．2

【解析】

试题分析：(akb)//c(2k,1k)//(5,1)2k55kk1.2 考点：向量平行的坐标表示 55．-3 【解析】 试

题

分

析

：

由

题

意

可

知

，

CD1，BCD1352，所以

ACBDABBCBCCDABBCABCDBCBCCD32cos13531221cos453．

考点：平面向量数量积的运算． 56．5 【解析】

试题分析：∵a(1,3)，b(1,t)，∴a2b(3,32t)，∵(a2b)a， ∴(a2b)a0，即(1)(3)3(32t)0，即t2，∴b(1,2)， ∴|b|12225.

考点：向量的坐标、向量的垂直的充要条件、向量的模. 57．13 【解析】

试题分析：因为a2，b3，a,b的夹角为60°,所以2ab4a4abb13.所以

2222ab13.

考点：1.向量的数量积.2.向量的模. 58．2

【解析】由三角形的面积公式，得

3111,cosA; ABACsinA41sinA3,即sinA2222则ABACABACcosA41()2. 考点：三角形的面积公式、平面向量的数量积. 59．（1）

12251（2） 252【解析】

试题分析：（1）本题考察的是两向量的夹角的余弦值，一般我们采用向量的数量积公式进行求解．根据题目中所给条件可以求出a与b的数量积，然后通过模长公式分别求出a与b的模长，最后把求出的量代入数量积公式即可求得a与b的夹角的余弦值．

（2）本题考察的是两向量的平行（共线）问题，根据平行向量基本定理，把相应的数值代入公式，即可求出所求参数的值． 试题解析（1）

a(4,3),b(1,2)

ab41322,a42325,b∴cosa,b（2） ∵a12225 ab225 ab5525(4,3),b(1,2).

∴ab(4,32)，2ab(7,8) ∵向量ab与2ab平行，

432 781解得：

2∴

考点：（1）向量数量积（2）平面向量的坐标表示 60．（Ⅰ）

23433；（Ⅱ）． 310【解析】

试题分析：（Ⅰ）本题以向量为背景，实际考察三角函数及三角恒等变换，将向量数量积用坐标表示，求出sincos的值，然后根据(sincos)12sincos，求出(sincos)的值，从而根据为锐角求出sincos的值；（Ⅱ）根据a//b的坐标表示，可以求出tan2，可以根据同角三角函数基本关系式求出sin,cos的值，再利用二倍角公式，求出sin2,cos2的值，再将sin(2和正弦公式展开，即可而求sin(2223)按两角

3)的值．另外，也可以根据齐次式求出sin2,cos2的值，再将

)按两角和正弦公式展开，从而求sin(2)的值．注意公式的准确使用．

3313试题解析：（Ⅰ）∵ab2sincos，

6sin(2∴sincos1． 6∴(sincos)212sincos4 3又∵为锐角，∴sincos23． 3（Ⅱ）法一：∵a//b，∴tan2． ∴sin22sincos222sincos2tan4， ＝＝sin2＋cos2tan2＋15cos2－sin21－tan23cos 2＝cos－sin＝2＝＝－．

sin＋cos2tan2＋15∴sin2131433433 ＝sin 2＋cos 2＝＋－＝322252510法二 ∵a//b，∴sin2cos． 易得sin255， cos． 55∴sin22sincos＝，

453cos 2＝cos2－sin2＝－．

5∴sin2131433433 ＝sin 2＋cos 2＝＋－＝322252510考点：1．向量平行垂直的坐标表示；2．同角三角函数基本关系式；3．三角恒等变换公式的应用．