割补转化 巧求面积

河北张家口市第十九中学 贺峰

在中考试题中，反比例函数与一次函数结合确定三角形的面积问题是考查函数知识的一个亮点，是培养同学们观察能力、分析能力、数形结合能力的良好素材，但它却有点“棘手”，令同学们望之生畏。现举几例，和同学们谈谈如何确定反比

y 例函数与一次函数结合确定三角形的面积，供同学们欣赏：

A 一、正比例函数与反比例函数构成的直角三角形的面积

O 5

例1如图1，反比例函数y＝的图象与直线y＝kx(k＞0)相交于A、B两点，x xB C AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于 个面积单位。

图1 解析：设AC与x轴相交于D，BC与y轴相交于E，过点A作y轴的垂线，

垂足为点F(如图2)。由反比例函数、正比例函数关于原点对称易知S△OAF＝S△BOE。因此求△ABC的面积即求矩形AFEF的面积，又由反比例函

5

数解析式为y＝，k＝5，所以k＝xy＝5。所以S△ABC＝S矩形AFEF＝2|xy|＝

xy 10，因此△ABC的面积等于10个面积单位。

F A 说明：欲确定正比例函数与反比例函数构成的直角三角形的面积我们可O D x 以借助正比例函数及一次函数的对称性及反比例函数|k|的几何意义，将

B E C 图形进行割补转化，即将直角三角形进行合理的割补等积变换为矩形，通过确定矩形的面积进而确定直角三角形的面积，可起到化难为易的效图2 果。

二、一次函数与反比例函数构成的锐角三角形的面积

例2如图3，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比

y k2例函数y＝的图象交于A(1，4)、B(3，m)两点，求△AOB的面积。

x

A(1，4) k2析解：点A(1,4)在反比例函数y＝的图象上，所以k2＝xy＝14＝4，故B(3，m) x

444x O 有y＝。因为B(1,m)也在y＝的图象上，所以m＝3，即点B的坐标为xx图3 B(3，3)。分别过点A、B作AC⊥x轴，作BD⊥x轴，AC交OB于E（如

图4），所以S△OAC＝S△BOD，所以S△OAE＝S四边形ECDB，因此求△AOB的

y 114

面积即求梯形ACDB的面积，S梯形ACDB＝(BD＋AC)·CD＝(＋4)(3

223A(1，4) 16－1)＝。

3E B(3，m) 说明：欲确定一次函数与反比例函数构成的锐角三角形的面积我们可O C D x 图4 以借助反比例函数|k|的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向

x轴或y轴作垂线，垂足、原点、交点之间所形成的三角形面积相等，

进行等积转化，将锐角三角形进行合理的割补等积变换为直角梯形，通过确定梯形的面积进而确定锐角三角形的面积，可起到化事半功倍的效果。 三、一次函数与反比例函数构成的钝角三角形的面积

m

例3如下图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(－2,1)，B(1，

x

n)两点，求△AOB的面积。

4

m

析解：∵点A（－2,1）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝(－2)1＝－2。∴反比例函

x

22

数的表达式为y＝－。∵点B（1，n）也在反比例函数y＝－的图象上，∴n＝－2，即

xx

－2k＋b＝1

B(1，－2)．把点A(－2,1)，点B(1,－2)代入一次函数y＝kx＋b中，得 解得

k＋b＝－2

k＝－1。∴一次函数的表达式为y＝－x－1．在y＝－x－1中，当y＝0时，得x＝－1。 b＝－1

∴直线y＝－x－1与x轴的交点为C(－1,0)。∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，

113

∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝11＋12＝。

222

说明：欲确定一次函数与反比例函数构成的钝角三角形的面积直接不易求得，因此我们可以将三角形进行合理的分割，即借助x轴或y轴将钝角三角形分割为两个三角形，再分别确定每一个三角形面积，进而确定钝角三角形的面积。