高中数学 直线和圆知识总结 新人教A版必修2

直线和圆

1． 直线的倾斜角：（1）定义：（2）倾斜角的范围0,。 2．直线的斜率：

（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan  (≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；

（2）斜率求法：

①公式：经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率为k ②由倾斜角求斜率K。

y1y2(x1x2)；

x1x2arctank(0即k0)2 tank则0(0即k0)arctankarctank(即k0)2③由直线的方向向量a(x0,y0)求k④由直线方程求直线的斜率k. 应用：证明三点共线： kABKBC。

提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式、截距式不适用于斜率不存在的直线）；(2)直线在坐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

标轴上的截距可正、可负、也可为直线两截距相等-1或直线过原点；直线两截距互为相反数．．．．．．．．．．．．．．．0.．．．．．．．．．直线的斜率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．直线的斜率为．．．．．．1．或直线过原点；直线两截距绝对值相等．．．．．．．．．．．．．．．．．横截距的绝对值相等的直线共有条 ．．．．．．．．．．．．．．3．．

4．设直线方程的一些常用技巧： （1）知直线纵截距b，常设其方程为（2）知直线横截距x0，常设其方程为（3）知直线过点

当斜率不存在时，则其方程为

（4）与直线（5）与直线

；

； .

；

(它不适用于斜率为0的直线)；

，

直线的斜率为．．．．．．

或直线过原点。如过点．．．．．．．．．．A(1,4)，且纵．．．

y0x0

，当斜率存在时，常设其方程为

平行的直线可表示为垂直的直线可表示为

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 5．点到直线的距离及两平行直线间的距离： （1）点

到直线

的距离

；

（2）两平行线间的距离为。

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6．直线（1）平行（2）相交（3）重合提醒：（1）

与直线（斜率）且； 且、

、

。

的位置关系： （在

轴上截距）；

仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！ 2）

在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线

与直线

垂直

。

7．到角和夹角公式：（1）l1到l2的角是指直线l1绕着交点按逆时针方向转到和线l2重合所转的角,(0,)，且tan=

k2k1 (k1k21)；

1k1k2（2）l1与l2的夹角是指不大于直角的角,0,kk1︱(k1k21)。 且tan=︱221kk12提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。 8．对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：

提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。 9．简单的线性规划：（1）二元一次不等式表示的平面区域： ①法一：先把二元一次不等式改写成线的下方区域；

法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线l，有等号时用实线表示包含直线l；③设点

，若

与

同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。

，

或

的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直

（3）求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；注意：目标函数的类型：直线型z=ax+by+c; 距离型：z=(x1x2)2(y1y2)2或z(x1x2)2(y1y2)2或z定目标函数的最优位置，从而获得最优解。比如：

（4）求解线性规划问题时注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范。

10．圆的方程： ⑴圆的标准方程：⑵圆的一般方程：程

才表示圆心为(。

，特别提醒：只有当

时，方

axbyca2b2斜率型zy1y2(x1x2)③确

x1x2DE1.)，半径为D2E24F的圆（二元二次方程222且

且

））

表示圆的充要条件是什么？ （

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⑶圆的参数方程：三角换元：

（为参数），其中圆心为

；

。

，半径为。圆的参数方程的主要应用是

⑷为直径端点的圆方程

及圆

； ； 。

和圆

，

11．点与圆的位置关系：已知点（1）点M在圆C外（2）点M在圆C内（3）点M在圆C上12．直线与圆的位置关系：直线

有相交、相离、相切。

可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为相切。

提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。比如：

13．圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为别为

，则（1）当

时，两圆外离；（2）当

时，两圆内切；（5）当

时，两圆外切；（3）当

时，两圆内含。

，半径分

，则

相交；

相离；

时，两圆相交；（4）当

14．圆的切线与弦长 (1) 切线：①过圆一点

圆的切线方程是：

上一点圆的切线方程是：，过圆上

，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心

到直线的距离等于半径）；

②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；

③切线长：过圆

或（

（

）；

）外一点

所引圆的切线的长为

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（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长一半

1a及圆的半径所构成的直角三角形来解：21rda；

2222②过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程

为两圆公共弦所在直线方程.。

15．解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)。

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