一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.
将方程3(2𝑥2−1)=(𝑥+√3)(𝑥−√3)+3𝑥+5化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为( )
A. 5，3，5
2.
B. 5，−3，−5 C. 7，√3，2
D. 8，6，1
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=45°，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，垂足为𝐷点，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，交𝐵𝐷于点𝐹交𝐵𝐶于点𝐸，点𝐺为𝐴𝐵的中点，连接𝐷𝐺，交𝐴𝐸于点𝐻，下列结论错误的是( )
A. 𝐴𝐻=2𝐷𝐹
𝐷𝐻=𝐷𝐹 3.
B. 𝐻𝐸=𝐵𝐸 C. 𝐴𝐹=2𝐶𝐸 D.
如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成7个大小相同的扇形，每个扇形上分别写有“中”、“国”、“梦”三个字指针的位置固定，转动转盘停止后，指针指向“中”字所在扇形的概率是( )
A. 7
4.
4
B. 7
3
C. 7
1
D. 3
1
如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂，𝑂𝐸//𝐷𝐶且交𝐵𝐶于点𝐸，𝐴𝐷
6 𝑐𝑚，则𝑂𝐸的长为 ( )
A. 6 𝑐𝑚
5.
B. 4 𝑐𝑚 C. 3 𝑐𝑚 D. 2 𝑐𝑚
下列方程中有两个相等实数根的是( )
A. 𝑥2−1=0 C. 𝑥2+3=0
6.
B. (𝑥+2)2=0 D. (𝑥−3)(𝑥+5)=0
一个不透明的盒子中放着标有数字1，2，3，4的四个乒乓球，这四个乒乓球除标号外其余均相同，将乒乓球充分混合后随机抽取一个，记下标号后放回混在一起，再随机抽取一个，记下标号，则两次抽取的乒乓球数字之和等于5的概率是( )
A. 2
7.
1
B. 3
1
C. 4
1
D. 5
1
已知：如图，𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，边长为𝑎，以𝐵为圆心，以𝐵𝐴为半径画弧，则阴影部分面积为( )
A. (1−𝜋)𝑎2 B. 1−𝜋 C. D.
8.
4−𝜋4
𝑎2
4−𝜋4
一个三角形的两条边分别为3𝑐𝑚和7𝑐𝑚，第三边为整数，这样的三角形有( )
A. 4个
9.
B. 5个 C. 6个 D. 7个
因为(𝑥−1)2≥0，所以𝑥2−2𝑥+1≥0，即𝑥2+1≥2𝑥，由此可得出结论：若𝑥为实数，则𝑥2+1≥2𝑥，运用这个结论求代数式𝑥2+1的最大值为( )
𝑥
A. 0
B. 2
1
C. 1
D. 2
3
10. 如图，一块长和宽分别为30𝑐𝑚和20𝑐𝑚的矩形铁皮，要在它的四角截去
四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的侧面积为272𝑐𝑚2，则截去的正方形的边长是( )
A. 4𝑐𝑚 B. 8.5𝑐𝑚 C. 4𝑐𝑚或8.5𝑐𝑚 D. 5𝑐𝑚或7.5𝑐𝑚
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
∠𝐴𝐵𝐶=60°，11. 菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为24，以𝐴𝐵为腰在菱形外作底角为45°的等腰△𝐴𝐵𝐸，连结𝐴𝐶，
𝐶𝐸，则△𝐴𝐶𝐸的面积为______．
2010年投入3000万元，12. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，预计2012年投入5000
万元．设教育经费的年平均增长率为𝑥，则列出的方程______．
13. 有三张大小、形状完全相同的卡片.卡片上分别写有数字1，2，3，从这三张卡片中随机先后不
放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是______ ．
14. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠都分构成的四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，
𝐴𝐵=3，𝐵𝐷=4.则𝐴𝐶的长为______．
三、解答题（本大题共11小题，共78.0分） 15. 解方程：
(1)2𝑥2−4𝑥−9=0(用配方法解) (2)2𝑥2−7𝑥−2=0．
16.
如图，已知𝐴𝐵=𝐴𝐸，𝐵𝐶=𝐸𝐷，𝐴𝐹⊥𝐶𝐷于𝐹，𝐶𝐹=𝐷𝐹． (1)求证：𝐴𝐶=𝐴𝐷； (2)求证：∠𝐵=∠𝐸．
17. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三
角形．
(1)在图①中，画一个直角角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边是有理数，另外两边长是无理数．
18. 已知一元二次方程𝑥2+𝑚𝑥+3=0的一个根为−1.求： (1)𝑚的值； (2)方程的另一个根．
19. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐷为𝐴𝐵的中点，四边形𝐵𝐶𝐸𝐷为
平行四边形，𝐷𝐸，𝐴𝐶相交于𝐹.连接𝐷𝐶，𝐴𝐸． (1)试确定四边形𝐴𝐷𝐶𝐸的形状，并说明理由． (2)若𝐴𝐵=16，𝐴𝐶=12，求四边形𝐴𝐷𝐶𝐸的面积．
(3)当△𝐴𝐵𝐶满足什么条件时，四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为正方形？请给予证明．
20. 有四根小木棒长度分别是1，3，5，7，若从中任意抽出三根木棒组成三角形， (1)下列说法正确的序号是______ ． ①第一根抽出木棒长度是3的可能性是4 ②抽出的三根木棒能组成三角形是必然事件 ③抽出的三根木棒能组成三角形是随机事件 ④抽出的三根木棒能组成三角形是不可能事件
(2)请你直接列举任意抽出的三根木棒的所有情况，并求出能组成三角形的概率．
21. 某超市推出如下优惠方案： (1)一次购物不超过100元不享受优惠；
(2)每次购物超过100元、但不超过300元一律9折； (3)一次购物超过300元一律八折． 王波两次购物分别付款80元，252元，求： (1)王波第2次购买的商品原价是多少元？ (2)王波一次性购买比分两次购买可节省多少钱？
22. 如图所示，口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有2𝑐𝑚，4𝑐𝑚，6𝑐𝑚，8𝑐𝑚和
10𝑐𝑚，口
1
袋外有两张卡片，分别写有6𝑐𝑚和10𝑐𝑚，现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，
以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成等腰三角形的概率．
23. 如图，平面直角坐标系中，已知点𝐴(𝑎−𝑏,2√3)，𝐵(𝑎+𝑏,0)，𝐴𝐵=4，且√𝑎−3𝑏+(𝑎+𝑏−
4)2=0，𝐶为𝑥轴上点𝐵右侧的动点，以𝐴𝐶为腰作等腰△𝐴𝐶𝐷，使𝐴𝐷=𝐴𝐶，∠𝐶𝐴𝐷=∠𝑂𝐴𝐵，直线𝐷𝐵交𝑦轴于点𝑃． (1)求证：𝐴𝑂=𝐴𝐵； (2)求证：∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐴𝐵𝐷；
(3)当点𝐶运动时，点𝑃在𝑦轴上的位置是否发生改变，为什么？(提示：在直角三角形中，若两直角边
分别为𝑎、𝑏，斜边为𝑐，则有𝑎2+𝑏2=𝑐2)
24. 如图，某校广场有一段25米差个的旧围栏，现打算利用该围栏的一
部分(或全部)为一边，围成一块100平方米的长方形草坪(如图𝐶𝐷𝐸𝐹，𝐶𝐷<𝐶𝐹)已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是4.5元．若𝐶𝐹=𝑥米，计划修建费为𝑦元． (1)求𝑦与𝑥的函数关系式，并指出𝑥的取值范围；
(2)若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏的修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；
若不能完成，请说明理由．
25. 如图，将△𝐴𝐵𝐶沿线段𝐴𝐵向右平移得到△𝐷𝐸𝐹，此时𝐴𝐷=𝐵𝐷，
连接𝐶𝐹，𝐶𝐷，𝐵𝐹．
(1)求证：四边形𝐶𝐷𝐵𝐹是平行四边形；
(2)①若∠𝐴𝐶𝐵=90°，求证：四边形𝐶𝐷𝐵𝐹是菱形； ②若𝐴𝐶=𝐵𝐶，求证：四边形𝐶𝐷𝐵𝐹是矩形；
③若∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶，求证：四边形𝐶𝐷𝐵𝐹是正方形．
参考答案及解析
1.答案：𝐵
解析：解：
先将方程化成一般形式：
3(2𝑥2−1)=(𝑥+√3)(𝑥−√3)+3𝑥+5可化为5𝑥2−3𝑥−5=0． 故其二次项系数，一次项系数，常数项分别为5，−3，−5． 故选：𝐵．
一元二次方程的一般形式是：𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎,𝑏,𝑐是常数且𝑎≠0)特别要注意𝑎≠0的条件．这是𝑏𝑥叫一次项，𝑐是常数项．𝑏，在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中𝑎𝑥2叫二次项，其中𝑎，𝑐分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
2.答案：𝐴
解析：解：∵∠𝐵𝐴𝐶=45°，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶， ∴∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐷=45°， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐷，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴𝐶𝐸=𝐵𝐸=𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸=22.5°，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，
2∴∠𝐶+∠𝐶𝐴𝐸=90°，且∠𝐶+∠𝐷𝐵𝐶=90°，
∴∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐷𝐵𝐶，且𝐴𝐷=𝐵𝐷，∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐵𝐷𝐶=90°， ∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐵𝐷𝐶(𝐴𝐴𝑆)
∴𝐴𝐹=𝐵𝐶=2𝐶𝐸，故选项C不符合题意，
∵点𝐺为𝐴𝐵的中点，𝐴𝐷=𝐵𝐷，∠𝐴𝐷𝐵=90°，∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸=22.5°， ∴𝐴𝐺=𝐵𝐺，𝐷𝐺⊥𝐴𝐵，∠𝐴𝐹𝐷=67.5° ∴∠𝐴𝐻𝐺=67.5°，
∴∠𝐷𝐹𝐴=∠𝐴𝐻𝐺=∠𝐷𝐻𝐹， ∴𝐷𝐻=𝐷𝐹，故选项D不符合题意， 连接𝐵𝐻，
1
∵𝐴𝐺=𝐵𝐺，𝐷𝐺⊥𝐴𝐵， ∴𝐴𝐻=𝐵𝐻，
∴∠𝐻𝐴𝐵=∠𝐻𝐵𝐴=22.5°， ∴∠𝐸𝐻𝐵=45°，且𝐴𝐸⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐸𝐻𝐵=∠𝐸𝐵𝐻=45°， ∴𝐻𝐸=𝐵𝐸，
故选项B不符合题意， 故选：𝐴．
𝐷𝐺⊥𝐴𝐵，通过证明△𝐴𝐷𝐹≌△𝐵𝐷𝐶，可得𝐴𝐹=𝐵𝐶=2𝐶𝐸，由等腰直角三角形的性质可得𝐴𝐺=𝐵𝐺，由余角的性质可得∠𝐷𝐹𝐴=∠𝐴𝐻𝐺=∠𝐷𝐻𝐹，可得𝐷𝐻=𝐷𝐹，由线段垂直平分线的性质可得𝐴𝐻=𝐵𝐻，可求∠𝐸𝐻𝐵=∠𝐸𝐵𝐻=45°，可得𝐻𝐸=𝐵𝐸，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质是本题的关键．
3.答案：𝐵
解析：解：∵转盘分为7个面积相等的扇形，其中“中”字占3个扇形， ∴转动转盘停止后，指针指向“中”字所在扇形的概率是7． 故选B．
直接利用概率公式求解可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件𝐴的概率𝑃(𝐴)=事件𝐴可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
3
4.答案：𝐶
解析：本题考查菱形的性质及三角形中位线定理，难度较小．由题意得𝐴𝐵=𝐴𝐷=6 𝑐𝑚，𝑂为𝐴𝐶的中点，因为𝑂𝐸//𝐷𝐶交𝐵𝐶于点𝐸，所以𝑂𝐸为△𝐴𝐵𝐶的中位线，根据三角形中位线定理可得𝑂𝐸=3 𝑐𝑚，故此题选C．
𝐴𝐵=
5.答案：𝐵
解析：解：𝐴、𝑥2−1=0中𝑥=1或𝑥=−1，错误； B、(𝑥+2)2=0中𝑥=−2，正确； C、方程𝑥2+3=0无实数根，错误；
D、(𝑥−3)(𝑥+5)=0中𝑥=3或𝑥=−5，错误； 故选：𝐵．
分别求出每个方程的根即可判断．
本题主要考查解方程的能力，根据方程的特点灵活选择解方程的方法是解题的关键．
6.答案：𝐶
解析：解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和等于5的有4种情况， ∴两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是16=4， 故选：𝐶．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和等于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4
1
7.答案：𝐷
解析：解：∵𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，边长为𝑎， ∴𝑆阴影面积=𝑆正方形−𝑆扇形𝐵𝐴𝐶=𝑎−故选：𝐷．
𝑆阴影面积=𝑆正方形−𝑆扇形𝐵𝐴𝐶，然后根据扇形和正方形的面积公式进行计算即可． 本题考查了扇形的面积公式：𝑆=
𝑛𝜋𝑟23602
90𝜋𝑎2360
=
4−𝜋4
𝑎2．
，其中𝑛为扇形的圆心角的度数，𝑅为圆的半径)，或𝑆=2𝑙𝑅，
1
𝑙为扇形的弧长，𝑅为半径．也考查了正方形的面积．
8.答案：𝐵
解析：解：∵7−3=4，7+3=10，
∴4<第三边<10， ∵第三边为整数，
∴第三边可以为：5，6，7，8，9共5个， 故选B．
根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答．
此题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和．
9.答案：𝐵
解析：解：∵𝑥2+1≥2𝑥，要求代数式𝑥2+1的最大值， ∴𝑥必须大于0， ∴𝑥2+1≤2𝑥，即∴
𝑥𝑥
𝑥
𝑥𝑥2+11
𝑥
≤， 2
1
的最大值为2， 𝑥2+1
故选：𝐵．
由𝑥2+1≥2𝑥，要求代数式𝑥2+1的最大值，推出𝑥必须大于0，可得𝑥2+1≤2𝑥，即𝑥2+1≤2； 本题考查数与式，完全平方公式等知识，理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
1
10.答案：𝐶
解析：
此题考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找出等量关系：侧面积为272𝑐𝑚2，列出方程求解即可．可设截去正方形的边长为𝑥𝑐𝑚，对于该长方形铁皮，四个角各截去一个边长为𝑥厘米的小正方形，长方体底面的长和宽分别是(30−2𝑥)厘米和(20−2𝑥)厘米，侧面积为2𝑥[(30−2𝑥)+(20−2𝑥)]𝑐𝑚2，现在要求长方体的侧面积为272𝑐𝑚2，令二者相等求出𝑥的值即可． 解：设截去正方形的边长为𝑥𝑐𝑚，依题意有 2𝑥[(30−2𝑥)+(20−2𝑥)]=272， 解得𝑥1=4，𝑥2=8.5．
答：截去正方形的边长是4𝑐𝑚或8.5𝑐𝑚． 故选C．
11.答案：9或9(√3+1)
解析：解：①如图1，延长𝐸𝐴交𝐷𝐶于点𝐹， ∵菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为24，
∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=6， ∵∠𝐴𝐵𝐶=60°，
∴三角形𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴∠𝐵𝐴𝐶=60°，
当𝐸𝐴⊥𝐵𝐴时，△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐵=𝐴𝐶=6，∠𝐸𝐴𝐶=90°+60°=150°， ∴∠𝐹𝐴𝐶=30°， ∵∠𝐴𝐶𝐷=60°， ∴∠𝐴𝐹𝐶=90°， ∴𝐶𝐹=𝐴𝐶=3，
21
则△𝐴𝐶𝐸的面积为：2𝐴𝐸×𝐶𝐹=2×6×3=9；
11
②如图2，过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐸𝐶于点𝐹， 由①可知：
∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐸𝐵𝐴+∠𝐴𝐵𝐶=90°+60°=150°， ∵𝐴𝐵=𝐵𝐸=𝐵𝐶=6， ∴∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵𝐶𝐸=15°，
∴∠𝐴𝐸𝐹=45°−15°=30°，∠𝐴𝐶𝐸=60°−15°=45°， ∴𝐴𝐹=2𝐴𝐸，𝐴𝐹=𝐶𝐹=√2𝐴𝐶=3√2，
2∵𝐴𝐵=𝐵𝐸=6， ∴𝐴𝐸=6√2，
∴𝐸𝐹=√𝐴𝐸2−𝐴𝐹2=3√6，
∴𝐸𝐶=𝐸𝐹+𝐹𝐶=3√6+3√2
则△𝐴𝐶𝐸的面积为：2𝐸𝐶×𝐴𝐹=2×(3√6+3√2)×3√2=9(√3+1)．
1
1
1
故答案为：9或9(√3+1)．
分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
12.答案：3000×(1+𝑥)2=5000
解析：解：设教育经费的年平均增长率为𝑥， 则2011的教育经费为：3000×(1+𝑥) 2012的教育经费为：3000×(1+𝑥)2． 那么可得方程：3000×(1+𝑥)2=5000． 故答案为：3000×(1+𝑥)2=5000．
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，参照本题，如果教育经费的年平均增长率为𝑥，根据2010年投入3000万元，预计2012年投入5000万元即可得出方程．
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
13.答案：3 解析：解：列表如下，
2
1 2 3 1 2 3 3 4 5 3 4 5 由上图可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出数字之和为奇数的有4种结果， ∴两次抽出数字之和为奇数的概率为6=3， 故答案为：3．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
2
4
2
14.答案：2√5 解析：解：如图，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶于点𝐹，连接𝐴𝐶，𝐷𝐵交于点𝑂，
则𝐷𝐸=𝐷𝐹，
由题意得：𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐵𝐶//𝐴𝐷， ∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形 ∵𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐶⋅𝐷𝐹=𝐴𝐵⋅𝐷𝐸． 又∵𝐷𝐸=𝐷𝐹． ∴𝐵𝐶=𝐴𝐵，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形；
∴𝑂𝐵=𝑂𝐷=2，𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷．
∴𝐴𝑂=√𝐴𝐵2−𝐵𝑂2=√5 ∴𝐴𝐶=2𝐴𝑂=2√5 故答案为：2√5 过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶于点𝐹，首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．然后依据勾股定理求得𝑂𝐵的长，从而可得到𝐵𝐷的长．
本题考查了菱形的判定、解直角三角形以及四边形的面积，证得四边形为菱形是解题的关键．
15.答案：解：(1)2𝑥2−4𝑥−9=0
2𝑥2−4𝑥=9 𝑥2−2𝑥= 2
𝑥2−2𝑥+1=+1
299
(𝑥−1)2=𝑥−1=±𝑥1=1+
112
√22 2
√22，𝑥22
=1−
√22． 2
(2)2𝑥2−7𝑥−2=0，
𝑎=2，𝑏=−7，𝑐=−2， 𝑏2−4𝑎𝑐=49+16=65， 𝑥=
7±√65
47+√654
𝑥1=，𝑥2=
7−√654
．
解析：(1)利用配方法求得方程的解即可； (2)利用公式法求得方程的解．
此题考查用公式法和配方法解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键．
16.答案：证明：(1)∵𝐴𝐹⊥𝐶𝐷于𝐹，𝐶𝐹=𝐷𝐹，
∴△𝐴𝐶𝐷为等腰三角形． ∴𝐴𝐶=𝐴𝐷．
(2)∵𝐴𝐶=𝐴𝐷，𝐴𝐵=𝐴𝐸，𝐵𝐶=𝐸𝐷， ∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷(𝑆𝑆𝑆)． ∴∠𝐵=∠𝐸．
解析：(1)已知𝐴𝐹⊥𝐶𝐷于𝐹，𝐶𝐹=𝐷𝐹，则可以判定△𝐴𝐶𝐷为等腰三角形，即𝐴𝐶=𝐴𝐷．
(2)由第一问知𝐴𝐶=𝐴𝐷，则可以利用𝑆𝑆𝑆判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，根据全等三角形的对应角相等，即可得到：∠𝐵=∠𝐸．
17.答案：解：(1)如图①中，△𝐴𝐵𝐶即为所求作．
(2)如图②中，△𝐷𝐸𝐹即为所求作．
解析：(1)画边长分别为3，4，5的直角三角形即可． (2)画边长为2√2，2√2，4的直角三角形即可．
本题考查作图−应用与设计，无理数，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.答案：解：(1)把𝑥=−1代入𝑥2+𝑚𝑥+3=0，
得：1−𝑚+3=0，
∴𝑚=4；
(2)把𝑚=4代入𝑥2+𝑚𝑥+3=0， 即𝑥2+4𝑥+3=0， (𝑥+3)(𝑥+1)=0， 解得：𝑥1=−3，𝑥2=−1．
解析：(1)将𝑥=−1代入可得关于𝑚的方程，解方程即可得出答案； (2)将𝑚代入方程，解方程即可得出答案．
本题主要考查一元二次方程的解的定义和解一元二次方程的能力，熟练掌握方程的解得定义和解方程的方法是解题的关键．
19.答案：证明：(1)∵平行四边形𝐷𝐵𝐶𝐸，
∴𝐶𝐸//𝐵𝐷，𝐶𝐸=𝐵𝐷， ∵𝐷为𝐴𝐵中点， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐷，
∴𝐶𝐸//𝐴𝐷，𝐶𝐸=𝐴𝐷， ∴四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为平行四边形， 又𝐵𝐶//𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴𝐴𝐶⊥𝐷𝐸，
故四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为菱形；
(2)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∵𝐴𝐵=16，𝐴𝐶=12， ∴𝐵𝐶=4√7，
∵𝐷为𝐴𝐵中点，𝐹也为𝐴𝐶的中点， ∴𝐷𝐹=2√7，
∴四边形𝐴𝐷𝐶𝐸的面积=𝐴𝐶×𝐷𝐹=24√7； (3)应添加条件𝐴𝐶=𝐵𝐶． 证明：∵𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐷为𝐴𝐵中点，
∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐵(三线合一的性质)，即∠𝐴𝐷𝐶=90°．
∵四边形𝐵𝐶𝐸𝐷为平行四边形，四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为平行四边形， ∴𝐷𝐸=𝐵𝐶=𝐴𝐶，∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐴𝐶𝐵=90°．
∴四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为正方形．(对角线互相垂直且相等的四边形是正方形)
解析：(1)由题意容易证明𝐶𝐸平行且等于𝐴𝐷，又知𝐴𝐶⊥𝐷𝐸，所以得到四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为菱形； (2)根据解三角形的知识求出𝐴𝐶和𝐷𝐹的长，然后根据菱形的面积公式求出四边形𝐴𝐷𝐶𝐸的面积； (3)应添加条件𝐴𝐶=𝐵𝐶，证明𝐶𝐷⊥𝐴𝐵且相等即可．
本题主要考查正方形的判定、菱形的判定与性质和勾股定理等知识点，此题是道综合体，有一定的难度，解答的关键还是要能熟练掌握各种四边形的基本性质．
20.答案：解：(1)①③
(2)从1、3、5、7中任意抽出三根木棒有：1、3、5；1、3、7；3、5、7；1、5、7，共4种情况， 而能组成三角形有3、5、7一种情况，所以抽出的三根木棒恰好能组成三角形的概率是4． 解析：
解：(1)第一根抽出的是3的可能性是4；抽出的三根木棒恰好能组成三角形是随机事件． 故答案为：①③； (2)见答案
(1)根据概率公式和随机事件的定义进行判断；
(2)用列举法得到从1、3、5、7中任意抽出三根木棒共有4种可能，根据三角形三边的关系得到其中3种可组成三角形，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出𝑛，再从中选出符合事件𝐴或𝐵的结果数目𝑚，求出概率．
1
1
21.答案：解：(1)设王波第2次购买的商品原价是𝑥元．
当100<𝑥≤300时，0.9𝑥=252， 解得：𝑥=280；
当𝑥>300时，0.8𝑥=252， 解得：𝑥=315．
答：王波第2次购买的商品原价是280元或315元．
(2)第2次购买的商品原价是280元时，80+252−(80+280)×0.8=44(元)； 第2次购买的商品原价是315元时，80+252−(80+315)×0.8=16(元)． 答：王波一次性购买比分两次购买可节省44元或16元．
解析：(1)设王波第2次购买的商品原价是𝑥元，分100<𝑥≤300和𝑥>300两种情况，根据付款金额=原价×折扣率，即可得出关于𝑥的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)分第2次购买的商品原价是280元及第2次购买的商品原价是315元两种情况，利用节省的钱数=分两次购买所需费用−一次性购买所需费用，即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，列式计算．
22.答案：解：共有5种可能的结果数，它们是：2、6、10；4、6、10；6、6、10；8、6、10；10、
6、10，
其中这三条线段能构成等腰三角形的结果数2种，分别是6、6、10和10、6、10， 所以这三条线段能构成等腰三角形的概率是5．
解析：利用列举法展示所有可能的结果数，根据等腰三角形的判定找出结果数，然后根据概率公式计算即可．
本题考查的是概率公式及等腰三角形的判定定理，熟记概率公式是解答此题的关键．
2
23.答案：解：(1)∵√𝑎−3𝑏+(𝑎+𝑏−4)2=0，
∴{
𝑎−3𝑏=0
，
𝑎+𝑏−4=0
𝑎=3解得{，
𝑏=1∴𝐴(2,2√3)，𝐵(4,0)， ∴𝐴𝑂=√22+(2√3)2=4， 又∵𝐴𝐵=4， ∴𝐴𝑂=𝐴𝐵；
(2)∵∠𝐶𝐴𝐷=∠𝑂𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐵𝐴𝐶=∠𝑂𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐶， 即∠𝑂𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷， 在△𝑂𝐴𝐶和△𝐵𝐴𝐷中， 𝑂𝐴=𝐴𝐵
{∠𝑂𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷， 𝐴𝐶=𝐴𝐷
∴△𝑂𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐷(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐴𝐵𝐷；
(3)点𝑃在𝑦轴上的位置不发生改变． 证明：由(1)可得，𝐴𝐵=𝐵𝑂=𝐴𝑂=4，
∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝐵𝑂=60°， 由(2)知△𝐴𝑂𝐶≌△𝐴𝐵𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝑂𝐵=60°， ∴∠𝑂𝐵𝑃=60°， ∵∠𝑃𝑂𝐵=90°， ∴∠𝑂𝑃𝐵=30°，
∴𝑅𝑡△𝐵𝑂𝑃中，𝐵𝑃=2𝑂𝐵=8，
∴𝑂𝑃=√82−42=4√3，即𝑂𝑃长度不变， ∴点𝑃在𝑦轴上的位置不发生改变．
(1)根据算术平方根和平方的非负性质即可求得𝑎、𝑏的值，𝐵点坐标，𝐴𝐵解析：进而求得𝐴，求得𝑂𝐴，长度即可；
(2)易证∠𝑂𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷，即可证明△𝑂𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐷，根据全等三角形的性质，可得对应角相等； (3)点𝑃在𝑦轴上的位置不发生改变，先判定△𝐴𝑂𝐵是等边三角形，易证∠𝑂𝐵𝑃=60°，根据𝑂𝐵长度固定和∠𝑂𝑃𝐵=30°，即可求得𝑂𝑃的长为定值．
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质以及全等三角形对应边相等的性质的运用，本题中熟知全等三角形的判定定理，判定△𝑂𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐷是解题的关键．
24.答案：解：(1)𝑦=1.75𝑥+4.5(
=1.75𝑥+=6.25𝑥+
900𝑥900𝑥
100𝑥
×2+𝑥)，
+4.5𝑥， (0<𝑥≤25)；
900𝑥
(2)当𝑦=150时，6.25𝑥+=150
整理得：𝑥2−24𝑥+144=0 解得：𝑥1=𝑥2=12
经检验，𝑥=12是原方程的解，且符合题意． 答：应利用旧围栏12米．
解析：(1)设利用旧围栏𝐶𝐹的长度为𝑥米，那么新围栏就有(知，可求出𝑦与𝑥的函数关系式． (2)𝑦=150代入(1)的函数式可求出𝑥．
100𝑥
×2+𝑥)米，根据新旧围栏的价格已
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意能力，关键是根据面积已知，新旧围栏钱数已知，设出旧围栏数为𝑥，可列出𝑦于𝑥的函数式，然后把𝑦=150代入可求结果．
25.答案：证明：(1)∵将△𝐴𝐵𝐶沿线段𝐴𝐵向右平移得到△𝐷𝐸𝐹，
∴𝐴𝐵=𝐷𝐸，𝐴𝐷=𝐵𝐸=𝐶𝐹，𝐴𝐵//𝐶𝐹， ∵𝐴𝐷=𝐵𝐷， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐹， ∵𝐴𝐵//𝐶𝐹，
∴四边形𝐶𝐷𝐵𝐹是平行四边形； (2)①∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐷=𝐵𝐷， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐷，
21
由(1)知四边形𝐶𝐷𝐵𝐹是平行四边形， ∴四边形𝐶𝐷𝐵𝐹是菱形； ②∵𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐷， ∴𝐶𝐷⊥𝐵𝐷，∠𝐶𝐷𝐵=90°， 由(1)知四边形𝐶𝐷𝐵𝐹是平行四边形， ∴四边形𝐶𝐷𝐵𝐹是矩形； ③∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐷=𝐵𝐷， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐷，
21
∵𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐷， ∴𝐶𝐷⊥𝐵𝐷，∠𝐶𝐷𝐵=90°， 由(1)知四边形𝐶𝐷𝐵𝐹是平行四边形， ∴四边形𝐶𝐷𝐵𝐹是正方形．
解析：(1)根据平移的性质和平行四边形的判定解答即可； (2)①根据菱形的判定解答即可； ②根据矩形的判定解答即可； ③根据正方形的判定解答即可．
此题考查四边形综合题，关键是根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定解答．
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