基于MATLAB的齿轮间隙非线性动力学仿真研究

58󰀁󰀁

Electro-MechanicalEngineering

󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁

2008年第24卷第5期2008.Vo.l24No.5

基于MATLAB的齿轮间隙非线性动力学仿真研究

圣国梁

(南京电子技术研究所,󰀁江苏南京210013)

*

摘󰀁要:齿轮传动在雷达天线座传动系统中被广泛采用,目前正向着高速、低噪、轻质、精密的方向发展。

针对雷达天线座齿轮传动系统的特点,以其末级一对渐开线直齿轮副为研究对象建立了齿轮间隙非线性单自由度数学模型,利用MATLAB/Simulink对齿轮间隙非线性动力学模型进行数值仿真求解,研究了在不同齿侧间隙情况下,系统的非线性动力学响应特性,并为今后在工程实践中合理设计齿轮间隙提供理论依据。

关键词:齿轮传动;齿轮动力学;间隙非线性;MATLAB

中图分类号:TH132.41;TP391.9󰀁󰀁文献标识码:A󰀁󰀁文章编号:1008-5300(2008)05-0058-03

SmiulatedStudyontheGearGapNon󰀁linearDynamicsBasedonMATLAB

SHENGGuo󰀁liang

(NanjingResearchInstituteofElectronicsTechnology,󰀁Nanjing210013,China)

Abstract:Geardriveiswidelyusedintheradarantennapedestaltransmissionsystem.Atpresentitisdevelo󰀁pingtowardhighspeed,lownoise,thelightweightandhighprecision.Thisarticlefocusesattheradaranten󰀁napedestalgeardrivesystemcharacteristics,andestablishesagearclearancenon󰀁linearitysingledegreeoffreedommathematicalmode,ltakingitslastpairofinvolutespurgearastheobjectofstudy,carriedoutthenumericalsimulationandsolutionusingMATLAB/Simulinktothegeargapnon󰀁lineardynamicsmode,litalsostudiedsystemnon󰀁lineardynamicsresponsecharacteristicsforthedifferentgeargapandprovidedatheoreticalbasisfordesigningreasonablegeargapinthefutureengineeringpractice.Keywords:geardrive;geardynamics;clearance󰀁typenonlinearity;MATLAB

0󰀁引󰀁言

齿轮传动是应用最为广泛的一种机械传动形式。为了满足航空航天、军工及机器人等技术发展的需要,对于齿轮传动的精度、振动和噪声等特性提出了更为苛刻的要求,采用传统的线性分析和控制理论己难以满足这一要求。在雷达天线座齿轮传动系统中,由于齿侧间隙、支承间隙、时变刚度等因素的存在,导致系统产生强非线性振动,这种振动会对雷达机械传动系统的工作性能和可靠性产生很大影响,如导致传动误差增大,使伺服跟踪系统产生自激振荡等。对齿轮间隙非线性系统,传统的线性分析和控制是对其进行的一种近似处理,只有对齿轮传动系统实施非线性分析和非线性控制才能获得精度高,振动小和噪声低等性能的齿轮传动系统。

[1-4]

1󰀁动力学模型和微分方程的建立

雷达天线座的方位、俯仰齿轮传动系统结构相似,其传动链均由电机-减速器-末级齿轮副构成,根据设计需要可采用单链或双链驱动。末级齿轮副的特点是采用半开式传动,油脂润滑,齿轮通常为圆柱渐开线直齿,齿轮精度高,模数和速比较大。合理设计末级齿轮副侧隙的大小对提高雷达伺服系统的动态特性和结构谐振频率至关重要。为此,以雷达齿轮传动系统末级齿轮副为研究对象,着重考虑了齿侧间隙,对其进行间隙非线性动力学的研究。单对齿轮系统动力学模型如图1所示。

图1中rb1、rb2为主,从齿轮的基圆半径;I1、I2为两齿轮的转动惯量;󰀁󰀁1、2为两齿轮的扭转角位移;T1、T2为作用在主动齿轮和被动齿轮上的扭矩;Cg为齿轮

*收稿日期:2008-05-18

第5期圣国梁:基于MATLAB的齿轮间隙非线性动力学仿真研究

󰀂󰀂

󰀁

59(3)

啮合的阻尼系数;k(󰀂)为齿轮的啮合刚度;e(󰀂)为齿轮啮合的综合误差。

x1=x2

x2=-2#x2-f(x1)+Pm+Pacos(󰀂!t+∀0)

式中,x1为系统的间隙(也即是系统的传递误差)的量刚一化后的位移,x2为量刚一化后的速度。当给定系统在某一时刻的位移和速度时,从此时刻起系统的以后的状态便可以由式(3)确定。

MATLAB/Simulink是对现实世界动态系统进行

图1󰀁单对齿轮系统动力学模型

[5]

建模、仿真和综合分析的环境工具。Simulink建模与一般程序建模相比更为直观,操作也更为简单,不必记忆各种命令参数,只要用鼠标点击就能够完成非常复杂的建模工作。Simulink是建立在MATLAB数值计

(1)

算、图形和编程功能之上,以方框图建模的接口方式提供一个系统级设计环境。雷达齿轮传动末级齿轮副的间隙非线性动力学系统的Simulink仿真模型如图2所示。

系统的动力学方程经简化后可写为如下形式:

..

x+2 x+f(x)=Pm+Pacos(!󰀂t+∀0)

󰀂

假设:齿轮的激励仅由一平均分量和一单频的交

变分量组成,并忽略轮齿啮合刚度的时变性,即以齿轮副的平均啮合刚度来代替。式中f是具有齿侧间隙时轮齿啮合力的非线性函数,其中齿侧间隙是指在啮合线上度量的侧隙。设齿轮副的侧隙为2b,则f具有分段线性特征的间隙非线性函数可表示为:

x-b

f(x)=

0x+b

x>b-b x bx<-b

(2)

由于齿侧间隙反映在齿轮动力学方程中是强非线性项,其动态响应表现了典型的非线性系统的响应特性,因此,齿轮系统的这种研究属于非线性动力学的范畴。

图2󰀁齿轮间隙非线性动力学系统仿真模型

3󰀁利用MATLAB/Simulink仿真求解

利用MATLAB/Simulink可以很方便地对雷达齿轮传动末级齿轮副的间隙非线性系统动力学特性进行分析,主要包括:(1)时域分析;(2)相平面图分析;(3)Poincare截面图分析;(4)谱分析等;通过MATLAB的数值分析和图形输出功能,可以很直观地看出系统的结构和几何参数等对这些性能的影响,通过进行参数灵敏度分析,定量了解各类参数的灵敏度程度,为结构的设计或设计改进提供帮助,或在此基础上进行齿轮系统的动态优化设计。限于篇幅,下面仅利用MAT󰀁LAB/Simulink对齿轮间隙非线性系统在齿侧间隙b变化时仿真求解后输出几组动态特性图形。

由图3~图6分析计算结果比较可以看出,在无间隙时,系统为线性系统,其稳态响应为简谐响应,随着间隙的增加,响应的非周期性和非线性程度加强,响应的非周期现象更加显著,而且频谱也逐渐由离散转向连续。若对齿侧间隙进一步细化分析可见,当齿侧间隙变化引起齿轮传动的齿轮副啮合状态在单面冲

2󰀁建立MATLAB/Simulink仿真模型

非线性动力系统研究的方法很多,大体可分为解析方法和数值方法两类;间隙非线性是一种不连续、不可微的函数,具有强非线性的性质。因此,绝大多数研究均采用数值仿真法求解。数值法的优点在于方便在电子计算机上进行求解,可以全面得到系统的动态响应,且求解非线性微分方程所需的计算工作量相对较小,其中误差主要来源于数值积分,故不难估计并控制它至足够小。基于以上的分析且考虑到本齿轮系统的特点,通常采用MATLAB/Simulink的ode45函数(四阶变步长Runge󰀁Kutta方法)进行仿真计算。

为方便利用MATLAB/Simulink对上面的齿轮系统间隙非线性动力学方程进行求解,需要将方程式(1)由二阶常微分方程演化成一阶方程形式,首先引入状态变量x1=x,x2=x1,则方程式(1)演化成以下两个一阶微分方程组:

󰀂

60

电子机械工程第24卷

态出现。此时如果系统响应是什么样的状态,就会保留其响应类型,或规则运动或为混沌运动,最多只是一些量上的变化,不会有质的变化。重载和轻载时的情况相比,一个重要区别在于重载条件下系统没有出现混沌响应。

图6󰀁齿侧间隙b=10时的系统响应

4󰀁结束语

对于齿轮间隙之类的强非线性系统,可以利用MATLAB/Simulink对其非线性动力学方程进行仿真建模数值求解,并从系统的时域响应图、相平面图、Poin󰀁care截面图、功率谱等定性地判断齿轮间隙等参数变化对系统的动力学特性的影响,为今后在工程实践中合理设计齿轮间隙提供理论依据。参考文献:

[1]󰀁李润方,王建军.齿轮系统动力学一振动、冲击、噪声

[M].北京:科学出版社,1997

[2]󰀁杨宏斌,等.齿轮非线性振动研究综述[J].中国机械工

程,1999(7):807-810

[3]󰀁杨建明.机构及机械传动系统的非线性动力学研究综述

[J].桂林电子工业学院学报,2001(6):42-47[4]󰀁王建军,李润方,等.齿轮系统非线性振动研究进展

[J].力学进展,2005(2):37-47

[5]󰀁黄永安,等著.MATLAB7.0/Simulink6.0建模仿真开发

与高级工程应用[M].北京:清华大学出版社,2006

击、无冲击、双面冲击之间转化时,相应地,系统响应就

会发生分岔或突变。在一定的齿侧间隙范围内,间隙的改变对系统的动态特性只有一些量上的改变,没有质的影响,齿轮副之间的啮合将保持在特定的啮合状态。但在一些临界点处,响应对齿侧间隙是非常敏感的。总体来讲,假如在齿侧间隙较小时齿轮副的啮合状态出现齿背冲击,那么,随着齿侧间隙的不断增大,会趋向仅发生脱啮的单边冲击状态。当齿侧间隙达到某一上限值时,齿轮副的啮合状态将保持单边冲击状态或无冲击状态,并且系统的响应也不再发生大的变化。因为即使再增大间隙,系统也不会有别的冲击状

作者简介:圣国梁(1974-),男,工程师,主要从事雷达天线座机械传动设计工作。