2018年辽宁省丹东市中考数学试卷（解析版）
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________
一、单选题（共8小题）
1.如图所示，该几何体的主视图为（ ）
A．C．
B．D．
2.下列计算结果正确的是（ ） A．a2•a＝a2 C．（a2b）2＝a4b2
B．2a2+a2＝2a2 D．（a+b）2＝a2+b2
3.一组数据8，6，4，x，3，2的唯一众数为8，则这组数据的中位数是（ ） A．6
B．5 C．4 D．3
4.计算|1﹣A．
|＝（ ）
B．
C．
D．
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE的周长为10，且BC＝4，则AB的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
6.不等式组A．x＜﹣2
的解集是（ ） B．x≤3
C．﹣2＜x≤3
D．﹣2＜x＜3
7.如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAO，则AB的长为（ ）
A．3
B．4 C． D．
8.平面直角坐标系中，二测函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：①abc＜0；②c+2a＞0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≤am2+bm（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数是（ ）
A．2
B．3 C．4 D．5
二、填空题（共8小题）
9.在函数y＝
中，自变量x的取值范围是 ．
10.反比例函数y＝
的图象经过点（﹣1，2），则实数k＝ ．
11.地球上陆地面积约为148000000km2．则数据148000000用科学记数法表示为 ．
12.已知线段AB的长为10，在线段AB上任取一点P（点P与点A不重合），以AP为边作正方形APQR，则正方形APQR的面积不超过25的概率是 ．
13.在△ABC中，点M，N分别是边AC和BC的中点，△CMN的面积等于1，则四边形MNBA的面积是 ．
14.在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），动点P在直线y＝﹣的坐标是 ﹣ ﹣ ．
x上，若△APO为等腰三角形，则点P
15.按一定规律排成的一列数依次为：，10个数是 ．
，，，，，…按此规律排下去，这列数中的第
16.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝18，点P是BC边上的动点，连接AP，将△ACP沿着直线AP翻折后得到△AEP，当PE⊥BC时，BP的长是 ．
三、解答题（共10小题）
17.先化简，再求值：
，其中a＝．
18.如图，网格中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣3，1）．先将△ABC沿一个确定方向平移，得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2）；再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，点A1的对应点为A2． （1）画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标； （2）画出△A2B2C2，并直接写出cosB的值．
19.某校有体育、音乐、书法、舞蹈四个活动小组，要求学生全员参加，每人限报一个小组．校学生会随机
抽查了部分学生，对学生参加活动小组的情况进行一次统计，将所收集的数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次共抽查了多少学生？
（2）补全条形统计图并求出扇形统计图中“书法”所占圆心角的度数；
（3）已知该校共有1236名学生，请根据调查的结果估计该校参加书法活动小组的学生人数．
20.某水果商从批发市场用8万元购进一批大樱桃若干千克，很快销售一空．于是该水果商又用17.6万元购进第二批大樱桃，所购质量是第一批的3倍，但每千克便宜了4元．求该水果商购进第一批大樱桃每千克多少元？
21.在一个不透明的布袋里，装有完全相同的3个小球，小球上分别标有数字1，2，5；先从袋子里任意摸出1个球，记其标有的数字为x，不放回；再从袋子里任意摸出一个球，记其标有的数字为y，依次确定有理数．
（1）请用画树状图或列表的方法，写出的所有可能的有理数； （2）求有理数为整数的概率．
22.如图，直线AD经过⊙O上的点A，△ABC为⊙O的内接三角形，并且∠CAD＝∠B． （1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠CAD＝30°，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
23.如图，小明利用长为2m的标尺ED测量某建筑物BC的高度，观测点A、标尺底端D与建筑物底端C在同一条水平直线上，标尺ED⊥AC．从点A处测得建筑物顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB
上；从点D处测得建筑物顶端B的仰角为38.5°，求建筑物BC的高度．（参考数据sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.70，tan38.5°≈0.80）
24.某商场销售一种小商品，每件进货价为190元，调查发现，当销售价为210元时，平均每天能销售8件；当销售价每降低2元时，平均每天就能多销售4件，设每件小商品降价x元，平均每天销售y件． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商场要想使这种小商品平均每天的销售利润达到280元，求每件小商品的销售价应定为多少元？ （3）设每天的销售总利润为w元，求w与x之间的函数关系式；每件小商品降价多少元时，每天的总利润最大？最大利润是多少？
25.如图△ABC为等边三角形，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，延长AB分别交CE、DE的延长线于点F，N，CH⊥AF于点H，EM⊥AF于点M，连接AE． （1）判断△CHB和△BME是否全等，并说明理由； （2）求证：AE2＝AC•AF； （3）已知AB＝
，若点P是直线AF上的动点，请直接写出△CEP周长的最小值．
26.如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线y＝ax2+bx+
（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C（﹣1，0），抛物线的顶点为D （1）求出A，B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（3）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；
（4）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．
2018年辽宁省丹东市中考数学试卷（解析版）
参考答案
一、单选题（共8小题）
1.【分析】 找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】 解：从正面看两个矩形，中间的线为虚线，
故选：B．
【知识点】简单组合体的三视图
2.【分析】 根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、乘法公式以及同底数幂的乘法解答即可． 【解答】 解：A、a2•a＝a3，错误；
B、2a2+a2＝3a2，错误； C、（a2b）2＝a4b2，正确； D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，错误； 故选：C．
【知识点】同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式
3.【分析】 根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数据叫做众数得出x的值，将数据从小到大排列可得出中位数．
【解答】 解：∵数据8，6，4，x，3，2的唯一众数为8，
∴x＝8，
将数据从小到大排列为2，3，4，6，8，8，
则中位数是
故选：B．
【知识点】中位数、众数
4.【分析】 根据绝对值和实数的估计解答解答． 【解答】 解：∵1＜＜2，
∴1﹣＜0，
∴|1﹣|＝﹣1， 故选：D．
【知识点】实数的性质
5.【分析】 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】 解：∵AB的垂直平分线DE，
∴AE＝CE，
＝5．
∵△BCE的周长为10，BC＝4， ∴4+BE+CE＝10， ∵AE＝BE，
∴AE+BE＝10﹣4＝6，
∴AB＝6． 故选：D．
【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质
6.【分析】 分别解两个不等式得到x＜﹣2和x≤3，然后根据同小取小确定不等式组的解集． 【解答】 解：
解①得x＜﹣2， 解②得x≤3，
所以不等式组的解集为x＜﹣2． 故选：A．
【知识点】解一元一次不等式组
7.【分析】 由矩形的性质可得AO＝CO＝BO＝DO，可证△ABE≌△AOE，可得AO＝AB＝BO＝DO，由
勾股定理可求AB的长． 【解答】 解：∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝CO＝BO＝DO， ∵AE平分∠BAO
∴∠BAE＝∠EAO，且AE＝AE，∠AEB＝∠AEO，
∴△ABE≌△AOE（ASA） ∴AO＝AB，且AO＝OB ∴AO＝AB＝BO＝DO， ∴BD＝2AB，
∵AD2+AB2＝BD2， ∴36+AB2＝4AB2，
∴AB＝2 故选：C．
【知识点】矩形的性质
8.【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】 解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，
对称轴x＝∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误； ②由对称轴可知：
＝﹣1，
＜0，
，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝a+b+c＝0， ∴c+3a＝0，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②错误；
③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确； ④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c， ∴x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c≥a﹣b+c， 即am2+bm≥a﹣b，故④正确； ⑤抛物线与x轴有两个交点， ∴△＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确； 故选：B．
【知识点】二次函数图象与系数的关系
二、填空题（共8小题）
9.【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知x﹣1≥0；分母不等于0，可
知：x﹣2≠0，则可以求出自变量x的取值范围．
【解答】 解：根据题意得：解得：x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
【知识点】函数自变量的取值范围
10.【分析】
把点（﹣1，2）代入反比例函数y＝
得到关于k的一元一次方程，解之即可．得：
，
【解答】 解：把点（﹣1，2）代入反比例函数y＝
＝2，
解得：k＝0， 故答案为：0．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
11.【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于148000000有9位，所以可以确定n＝9﹣1＝8． 【解答】 解：148 000 000＝1.48×108km2．
故答案为：1.48×108．
【知识点】科学记数法—表示较大的数
12.【分析】 由正方形的面积得出其边长AP的长度不超过5，再除以线段AB的长度即可得． 【解答】 解：∵正方形APQR的面积不超过25，
∴其边长AP的长度不超过5， ∵线段AB的长为10，
∴正方形APQR的面积不超过25的概率是，
故答案为：．
【知识点】正方形的判定与性质、几何概率
13.【分析】 利用三角形的中位线定理以及相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】 解：∵M，N分别为AC，BC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN∥AB，且AB＝2MN， ∴△CMN∽△CAB， ∴
＝（
）2＝4，
∴S△CAB＝4S△CMN＝4，
∴S四边形ABNM＝S△CAB﹣S△CMN＝4﹣1＝3． 故答案为：3．
【知识点】三角形的面积
14.【分析】
先画出符合的P点，再解直角三角形求出边OW、OR、P1W、P2R，即可得出答案．
【解答】 解：
如图所示直线y＝﹣x的图象是直线EF， 当x＝1时，y＝﹣，
∵tan∠MOF＝
，
∴∠MOF＝60°＝∠AOE，
所以存在P1、P2两个点，△AOP是等腰三角形，且△AP1O是等边三角形， 过P1作P1W⊥x轴于W，过P2作P2R⊥x轴于R， ∵A（﹣2，0），
∴OA＝OP1＝OP2＝2，
∴OW＝OR＝1，P1W＝P2R＝，
即P点的坐标为（﹣1，）或（1，﹣）， 故答案为：（﹣1，）或（1，﹣）．
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定与性质
15.【分析】 根据题目给出数列的规律即可求出答案．
【解答】 解：分子可以看出：，，，，……，
故第10个数的分子为，
分母可以看出：第奇数个分母是其个数的平方加1，例如：12+1＝2，32+1＝10，52+1＝26， 第偶数个分母是其个数的平方减1，例如：22﹣1＝3，42﹣1＝15，62﹣1＝35，
故这列数中的第10个数是：
＝
．
故答案为：．
【知识点】算术平方根、规律型：数字的变化类
16.【分析】
通过折叠，找到对应线段AC＝AE，然后利用等腰三角形三线合一性质，作高线，构造直角三角形AEF，然后根据勾股定理列方程．
【解答】 解：如图所示，过点A向BC作垂线交BC于G点，过点E向射线AG作垂线，交于F点．
设BP＝x，因为折叠，所以PE＝x，AE＝AB＝10， ∵△ABC为等腰三角形，且AC＝10，BC＝18，
∴GC＝9 ∴AG＝
在Rt△AEF中，
∵AE＝10，AF＝AG+GF＝x+∴AE2＝EF2+AF2 ∴
∴x1＝0（舍）
，EF＝PG＝9﹣x，
＝
，
当点P位于GC上时，
∵△APE和△APC关于AP成轴对称， ∴∠APE＝∠APC， 又∵PE⊥BC，
∴∠APE＝∠APC＝135°，∠APG＝45°， ∴∠PAG＝45°，
∴PG＝AG＝， ∴BP＝BG+PG＝9+， 故答案为：或9+．
【知识点】等腰三角形的性质、翻折变换（折叠问题）、勾股定理
三、解答题（共10小题）
17.【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】 解：
＝[＝＝当a＝原式＝
，
﹣•
]•
时，
＝
．
【知识点】分式的化简求值
18.【分析】
（1）利用B点、B1点的坐标变换得到△ABC的平移规律，然后利用此规律写出A1、C1点的坐标，然后描点得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，然后把∠B放到一个直角边分别为2和3的直角三角形中，利用余弦的定义计算cosB的值．
【解答】 解：（1）如图，△A1B1C1为所作；点A1的坐标为（4，4）；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
cosB＝
＝
．
【知识点】作图-旋转变换、解直角三角形、作图-平移变换
19.【分析】
（1）用参加舞蹈的人数除以舞蹈所占的比例即可求出抽查了多少学生；
（2）用（1）的结果减去其他三项活动人数即可得出参加书法人数，用参加书法人数所占比例乘360°即可得出“书法”所占圆心角的度数；
（3）用总人数乘参加书法人数所占比例即可估计该校参加书法活动小组的学生人数．
【解答】 解：（1）60÷25%＝240（人），
故本次共抽查了240名学生；
（2）240﹣100﹣40﹣60＝40（人），扇形统计图中“书法”所占圆心角的度数为：
，
；
（3）
（人），
故该校参加书法活动小组的学生人数大约有206人．
【知识点】用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图、全面调查与抽样调查
20.【分析】
设该水果商购进第一批大樱桃每千克x元，根据两次购进水果的质量的倍数为3列出方程并解答．
【解答】 解：设该水果商购进第一批大樱桃每千克x元，则该水果商购进第二批大樱桃每千克（x﹣4）
元，
依题意得：
×3＝
解得x＝15
经检验x＝15是所列方程的根，且符合题意． 答：该水果商购进第一批大樱桃每千克15元．
【知识点】分式方程的应用
21.【分析】
（1）根据要求画出树状图即可． （2）利用概率公式求解即可．
【解答】 解：（1）树状图如图所示．
的所有可能的有理数：，，2，，5.．
（2）有理数为整数的概率＝＝．
【知识点】概率公式、列表法与树状图法
22.【分析】
（1）作直径AE，连接CE，求出∠OAD＝90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出△OAC是等边三角形，再分别求出△OAC和扇形OCA的面积，即可得出答
案．
【解答】 解：（1）直线AD与⊙O的位置关系是相切，
理由是：作直径AE，连接CE， ∵AE为直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠E+∠EAC＝90°， ∵∠B＝∠DAC，∠B＝∠E， ∴∠E＝∠DAC，
∴∠EAC+∠DAC＝90°， 即OA⊥AD， ∵OA过O，
∴直线AD与⊙O的位置关系是相切；
（2）连接OC，过O作OF⊥AC于F，则∠OFA＝90， ∵∠CAD＝30°，∠DAO＝90°， ∴∠OAC＝60°， ∵OC＝OA＝1，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC＝OA＝1，∠AOC＝60°， ∵OA＝OC，OF⊥AC， ∴AF＝FC＝，
由勾股定理得：OF＝＝，
∴阴影部分的面积为﹣＝﹣．
【知识点】直线与圆的位置关系、圆周角定理、扇形面积的计算、三角形的外接圆与外心
23.【分析】
由ED与BC都和AC垂直，得到ED与BC平行，得到三角形AED与三角形ABC相似，由相似得比例，在直角三角形AED中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形BDC中，利用锐角三角函数定义求出BC的长即可．
【解答】 解：∵ED⊥AC，BC⊥AC，
∴ED∥BC，
∴△AED∽△ABC， ∴
＝
，
在Rt△AED中，DE＝2米，∠A＝22°， ∴tan22°＝
，即AD＝
＝5米， ，即tan38.5°＝
＝0.8①，
在Rt△BDC中，tan∠BDC＝∵tan22°＝
＝
＝0.4②，
联立①②得：BC＝4米．
答：建筑物BC的高度为4米．
【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
24.【分析】
（1）根据销售单价是210元时平均每天销售量是8件，而销售价每降低2元，平均每天就可以多售出4件，即可得出关系式；
（2）利用每件商品利润×销量＝总利润，得出关系式求出即可；
（3）由题意得出：w＝（210﹣190﹣x）（8+2x）进而得出二次函数的最值即可得出答案．
【解答】 解：（1）∵设每件小商品降价x元，平均每天销售y件，
∴y与x间的函数关系式为：y＝8+2x；
（2）（210﹣190﹣x）（8+2x）＝280， 解得：x1＝10，x2＝6，
∴每件小商品的销售价应定为204元或200元时，每天的销售利润达到280元．
（3）由题意得出：w＝（210﹣190﹣x）（8+2x）＝﹣2（x﹣8）2+288． a＝﹣2＜0，故当x＝8时，w有最大值288，
综上所述，每件商品的降价8元时，每天可获得最大利润，最大的月利润是288元．
【知识点】二次函数的应用、一元二次方程的应用
25.【分析】 （1）由正方形可知BC＝BE，∠CBE＝90°，由一线三垂直易证△CHB≌△BME（AAS）；
（2）由等边三角形、正方形性质可知∠HCF＝75°，所以∠F＝15°，由AB＝BE，∠
EBF＝30°，可知∠AEB＝15°，故∠AEB＝∠F，故△ABE∽△AFE，根据相似三角形性质及AB＝AC可得AE2＝A•AF；
（3）△CEP周长的最小值即PC+PE最小．作E点对称点G，连接CG交AF于P，P
点即为所求最小值的点，PE+PC＝CG，然后构造直角三角形求出CG、CE，即可求出△CEP周长的最小值．
【解答】 （1）解：△CHB≌△BME（AAS）．
理由如下：∵在正方形BCDE中，BC＝BE，∠CBE＝90°， ∴∠EBM+∠CBH＝90°， ∵CH⊥AF，EM⊥AF， ∴∠CHB＝∠BME＝90， ∴∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠HCB＝∠MBE， 在△CHB和△BME中
．
∴△CHB≌△BME（AAS）．
（2）证明：∵△ABC为等边三角形，CH⊥AB，
∴∠BCH＝30°，
又∵在正方形BCDE中，∠BCD＝90°，CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝45°， ∴∠HCF＝75° ∴∠F＝15°， ∵AB＝BC＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠EBF＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴∠AEB＝15°， ∴∠AEB＝∠F，
又∵∠EAB＝∠FAE， ∴△ABE∽△AFE ∵
，
又∴AB＝AC， ∴AE2＝AB•AF．
（3）解：作E点关于AF的对称点E′，连接GC，交AF与P，三角形CPE即为所求作三角形，
作GO⊥CH交CH延长线与点O，
∵△ABC为等边三角形，CH⊥AB，AB＝∴∠CBH＝60°，BH＝
，CH＝
，
，
由（1）可知△CHB≌△BME，
∴EM＝，BM＝，
∵∠OHM＝∠HMG＝∠O＝90°，故四边形OHMG为正方形， ∴HO＝MG＝EM＝
，OG＝HM＝HB+BM＝
＝＝2，
+2＝3+
，
，
，
∴在Rt△COG中，CG＝在Rt△CEB中，CE＝
∴△CEP周长的最小值＝CE+PE+PC＝CG+CE＝
【知识点】平面展开-最短路径问题、相似形综合题
26.【分析】
（1）令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝3，即可求解；
（2）将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，即
可求解；
（3）E到直线AB的距离＝EF＝EHsin∠FEH＝EHcos∠BAC，即可求解； （3）分当点P在y轴和x轴上两种情况，分别求解即可．
【解答】 解：（1）令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝3，
即点AB的坐标分别为（3，0）、（0，）；
（2）将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+，
定点D的坐标为（1，3）；
（3）过点E作EH∥y轴交AB于点H，过点E作EF⊥AB，
E到直线AB的距离＝EF＝EHsin∠FEH＝EHcos∠BAC＝（﹣x2+x++x﹣）×＝﹣x2+，
当x＝时，EF有最大值为
；
（3）①当点P在y轴上时，
过点P作⊥DM交于点M，作PN⊥BD交于点N，作BL⊥DM交于点M，则：PM＝PN＝1， 将点B、D坐标代入一次函数表达式并解得，函数表达式为：y＝x+，
则点H坐标（﹣3，0），tan∠DBL＝BP＝
＝，
＝，则tan∠PBN＝，
故点P（0，1）；
②当点P在x轴上时，
同理可得点P的坐标为（，0）； 故：点P的坐标为（0，1）或（，0）．
【知识点】二次函数综合题
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