高考数学(一轮复习)最基础考点：分段函数

专题3 分段函数

分段函数的定义域、值域、单调性

★★★

○○○○

1．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

2．分段函数的相关结论

(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

分段函数求值的解题思路

求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

1－x，x≥0，

(1)设f(x)＝x2，x<0，

A．－1 1C. 2

则f(f(－2))＝( )

1B. 43D. 2

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1x2，x≥4，

(2)(·张掖高三模拟)已知函数f(x)＝

fx＋1，x<4，1

A. 41C. 2

则f(1＋log25)的值为( )

11＋log25 B. 2

D.1 20

log2x，x>0，

1.(·西安模拟)已知函数f(x)＝2

x，x≤0，

A．－1或2 C．－1

若f(4)＝2f(a)，则实数a的值为( )

B．2 D．－2

[解析] f(4)＝log24＝2，因而2f(a)＝2，即f(a)＝1，当a>0时，f(a)＝log2a＝1，因而a＝2，当a≤0时，f(a)＝a＝1，因而a＝－1，故选A. [答案] A

e，x<1，

2.设函数f(x)＝1

x，x≥1，3[解析]当x<1时，由e

x－1x－1

2

则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．

1

≤2得x≤1＋ln 2，∴x<1；当x≥1时，由x≤2得x≤8，∴1≤x≤8.综上，符

3

合题意的x的取值范围是x≤8. [答案] (－∞，8]

－x＋2x，x≤0，

3．(·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝

lnx＋1，x>0.

2

若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )

A．(－∞，0] B．(－∞，1) C．[－2,1] D．[－2,0]

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解析：选D y＝|f(x)|的图象如图所示，y＝ax为过原点的一条直线，当|f(x)|≥ax时，必有k≤a≤0，其中k是y＝x－2x(x≤0)在原点处的切线的斜率，显然，k＝－2.所以a的取值范围是[－2,0]．

2

x1．已知函数f(x)＝1－2，x≤0，

x2

，x>0，

则f(f(－1))＝( )

A．2 B．1 C.14

D.12

解析：选C 由题意得f(－1)＝1－2－1

＝11212212，则f(f(－1))＝f＝＝4.

2．已知f(x)＝3sin πx，x≤0，

fx－1＋1，x>0，

则f23

的值为( ) A.1

2 B．－12 C．1

D．－1

解析：选B f23＝f－13＋1＝3sin－π3

＋1＝－12. ．已知f(x)＝log3x，x＞0，

3ax＋b，x≤0，

且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝(A．－2 B．2 C．3

D．－3

解析：选B 由题意得f(0)＝a0

＋b＝1＋b＝2， 解得b＝1.f(－1)＝a－1＋b＝a－1

＋1＝3，解得a＝12. 则f(x)＝

log3x，x>0，1x

2

＋1，x≤0，

故f(－3)＝12－3



＋1＝9，

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)

从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.

3x－1，x＜1，

4．设函数f(x)＝x2， x≥1，2A.，1 32C.，＋∞ 3

则满足f(f(a))＝2

f(a)

的a的取值范围是( )

B．[0,1] D．[1，＋∞)

2x＋1，x≥0，5．已知函数f(x)＝2

3x，x<0，

且f(x0)＝3，则实数x0的值为________．

2

解析：由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0时，f(x0)＝3x0＝3，所以x0＝－1.所以实数x0的值为－1或1. 答案：－1或1

1x＋1，x≤0，

6．已知f(x)＝2

2－x－1，x＞0，

使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．

x≤0，

解析：由题意知1

x＋1≥－12

x＞0，

或

－x－1

2

≥－1，

解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]

1＋log22－x，x<1，

7．(·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x－1

2，x≥1，

A．3 B．6 C．9

D．12

则f(－2)＋f(log212)＝( )

解析：选C ∵－2<1，∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵log212>1，∴f(log212)＝2log21212

－1＝＝6.∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.

2

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2－2，x≤1，

8．(·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝

－log2x＋1，x>1，

7A．－

43C．－

4

5 B．－ 41 D．－ 4

x－1

且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )

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