高中数学公式大全(高考必备)

1。 元素与集合的关系

xAxCUA，xCUAxA。 2。德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB。

3。包含关系

ABAABBABCUBCUA ACUBCUABR

4。容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC)。

nnn 5．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1

个；非空的真子集有2–2个。

6.二次函数的解析式的三种形式

（1)一般式f(x)axbxc(a0); （2）顶点式f(x)a(xh)k(a0)； (3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0). 7。解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式

22nNf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

f(x)NMNMN0 ||f(x)Mf(x)2211. f(x)NMN8。方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后

2者的一个必要而不是充分条件.特别地， 方程axbxc0(a0)有且只有一个实根在

kk2b(k1,k2)内，1等价于f(k1)f(k2)0，或f(k1)0且k1,或f(k2)0且

2a2k1k2bk2。 22a9。闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x2b处及区2a，

则

间的两端点处取得，具体如下：

（

1

）

当

a

〉

0

时

,

若

xbp,q2af(x)minf(xb),f(x)maxmaxf(p),f(q)； 2abp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q),f(x)minminf(p),f(q). 2abp,q，则f(x)minminf(p),f(q)，若(2)当a<0时，若x2axbp,q，则f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q)。 2a10.一元二次方程的实根分布

依据:若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根 . 设f(x)x2pxq，则

p24q0（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或p；

m2f(m)0f(n)0(2）方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或p24q0或

mpn2f(m)0f(n)0或； af(n)0af(m)0p24q0（3）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或p 。

m211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1）在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数）恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).

（2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数）恒成立的充要条件是f(x,t)man0(xL).

a0a042（3)f(x)axbxc0恒成立的充要条件是b0或2。

b4ac0c012。真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13。常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有n个 小于 不小于 至多有n个 对所有x, 存在某x， 成立 不成立 p或q 对任何x， 不成立

存在某x, 成立 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n1)个 至少有(n1）个 p且q p且q p或q 14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15。充要条件

（1）充分条件:若pq，则p是q充分条件。

（2）必要条件:若qp，则p是q必要条件.

（3)充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件。

注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性

（1）设x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数。 (x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2（2）设函数yf(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,则f(x)为增函数;如果f(x)0，则f(x)为减函数.

17。如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内，和函数f(x)g(x)也是减函数； 如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数yf[g(x)]是增函数。

(x1x2)f(x1)f(x2)018．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数yf(x)是偶函数,则f(xa)f(xa);若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa)。

20。对于函数yf(x)（xR),f(xa)f(bx)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数x称。

21。若f(x)f(xa)，则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称; 若

abab；两个函数yf(xa)与yf(bx) 的图象关于直线x对22a2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数。

nn122．多项式函数P(x)anxan1xa0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项（即偶数项）的系数全为零. 23。函数yf(x)的图象的对称性

(1）函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x)。

(2）函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx) 2f(abmx)f(mx)。

24。两个函数图象的对称性

（1）函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴）对称。 （2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x（3）函数yf(x)和yf1ab对称。 2m(x)的图象关于直线y=x对称.

25。若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图

象.

26．互为反函数的两个函数的关系

f(a)bf1(b)a。

27。若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y11[f(x)b]，并不是ky[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函数。 k28。几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

（2)指数函数f(x)a，f(xy)f(x)f(y),f(1)a0。

（3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1). （4)幂函数f(x)x，f(xy)f(x)f(y),f(1)。

(5）余弦函数f(x)cosx，正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

'xf(0)1,limx0g(x)1. x29。几个函数方程的周期(约定a〉0）

（1）f(x)f(xa),则f(x)的周期T=a； (2)f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)， f(x)1或f(xa)(f(x)0)，

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1)，则f(x)的周期T=2a; 21(f(x)0),则f(x)的周期T=3a； (3）f(x)1f(xa)f(x1)f(x2)（4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则

1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；

（5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)，则f(x)的周期T=5a；

或f(xa)(6）f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a. 30。分数指数幂 (1)amnmn1n（2）aam1m(a0,m,nN，且n1）. an（a0,m,nN，且n1）.

31．根式的性质

n（1）(na)a.

（2）当n为奇数时，nana； 当n为偶数时,nan|a|（1） aaarsrsrrrrsrsa,a0.

a,a032．有理指数幂的运算性质

(a0,r,sQ)。

(2） (a)a(a0,r,sQ). （3）(ab)ab(a0,b0,rQ).

注: 若a＞0，p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用。

33.指数式与对数式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

34.对数的换底公式

logmN （a0,且a1,m0，且m1， N0）。

logmann推论 logamblogab(a0，且a1，m,n0，且m1,n1， N0）。

mlogaN35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

（1）loga(MN)logaMlogaN；

MlogaMlogaN; Nn(3）logaMnlogaM(nR)。

（2） loga2236。设函数f(x)logm(axbxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为

R,则a0，且0；若f(x)的值域为R，则a0，且0。对于a0的情形，

需要单独检验.

37。 对数换底不等式及其推广

1，则函数ylogax(bx) a11 （1）当ab时，在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数.

aa11)和(,)上ylogax(bx)为减函数。 ， （2）当ab时，在(0,aa 若a0，b0,x0,x推论：设nm1，p0，a0，且a1，则

（1)logmp(np)logmn. (2）logamloganloga2mn。 238。 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有

yN(1p)x.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n1s1,（ 数列{an}的前n项的和为sna1a2ansnsn1,n240.等差数列的通项公式

an)。

ana1(n1)ddna1d(nN*);

其前n项和公式为

n(a1an)n(n1)na1d 22d1n2(a1d)n。 22sn41.等比数列的通项公式

ana1qn1a1nq(nN*); q其前n项的和公式为

a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q11q或sn. na,q1142。等比差数列an:an1qand,a1b(q0)的通项公式为

b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n项和公式为

nbn(n1)d,(q1)sn。 d1qnd(b)n,(q1)1qq11q43。分期付款（按揭贷款)

ab(1b)n每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b)。 n(1b)144．常见三角不等式

（1)若x(0,2)，则sinxxtanx。 )，则1sinxcosx2. （2) 若x(0,2(3) |sinx||cosx|1。

45.同角三角函数的基本关系式

sin2cos21,tan=

46.正弦、余弦的诱导公式

sin,tancot1。 cos(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) nn(1)2sin,sin() n12(1)2cos,

nn(1)2cos, cos()n12(1)2sin,47.和角与差角公式

sin()sincoscossin；

cos()coscossinsin；

tantantan()。

1tantansin()sin()sin2sin2（平方正弦公式); cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决

b定,tan ）。

a48.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2。

2tan. tan221tan49。 三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin()sin()。

33cos34cos33cos4coscos()cos()333tantan3tan3tantan()tan()。 213tan3350。三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x),x∈R（A，ω，为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T。

2；函数ytan(x)，xk2,kZ(A，ω,为常数，

且A≠0,ω＞0）的周期T51。正弦定理

. abc2R。 sinAsinBsinC52。余弦定理

a2b2c22bccosA； b2c2a22cacosB； c2a2b22abcosC。

53。面积定理

111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111(2）SabsinCbcsinAcasinB.

2221(3）SOAB(|OA||OB|)2(OAOB)2. 2（1)S54.三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB)。 222k55. 简单的三角方程的通解

sinxaxk(1)arcsina(kZ,|a|1). cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR)。

特别地，有

sinsink(1)k(kZ)。

coscos2k(kZ)。

tantank(kZ)。

56.最简单的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ。

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ. cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.

cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.

tanxa(aR)x(karctana,k2),kZ。

tanxa(aR)x(k2,karctana),kZ.

57。实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么

（1） 结合律:λ（μa)=(λμ）a； (2）第一分配律：（λ+μ）a=λa+μa； (3)第二分配律:λ（a+b）=λa+λb。 58。向量的数量积的运算律： （1) a·b= b·a (交换律）；

(2)(a)·b= （a·b)=a·b= a·(b）； （3）(a+b)·c= a ·c +b·c。

59。平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且b0,则ab(b0)x1y2x2y10. 53. a与b的数量积(或内积) a·b=|a｜｜b｜cosθ． 61. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度｜a｜与b在a的方向上的投影｜b｜cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算

(1）设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1x2,y1y2)。

（2）设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a—b=(x1x2,y1y2)。 （3）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABOBOA(x2x1,y2y1)。

（4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).

（5）设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2)。 63.两向量的夹角公式

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1)，b=(x2,y2))。

64。平面两点间的距离公式 dA,B=|AB|ABAB (x2x1)2(y2y1)2（A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65。向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则 A|｜bb=λa x1y2x2y10。 ab（a0）a·b=0x1x2y1y20。 66.线段的定比分公式

设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分点,是实数，且PP1PP2,则

x1x2OPOP21 OP1y1y2111（)。 t(1t)OPOPtOP121xy67。三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则△ABC的重心的坐标是G(x1x2x3y1y2y3,)。 3368。点的平移公式

''xxhxxh''OPOPPP . ''yykyyk注:图形F上的任意一点P（x,y）在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的

'''''坐标为(h,k)。 69。“按向量平移”的几个结论

(1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(xh,yk).

（2） 函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为yf(xh)k。

（3） 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C，若C的解析式yf(x)，则C的函数解析式为yf(xh)k.

(4）曲线C：f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C，则C的方程为

'''''''f(xh,yk)0。

（5） 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y)。

70。 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则 （1）O为ABC的外心OAOBOC。 (2）O为ABC的重心OAOBOC0。

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA. (4)O为ABC的内心aOAbOBcOC0. (5)O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC。 71。常用不等式：

(1）a,bRab2ab（当且仅当a＝b时取“=”号）．

22222ab． ab(当且仅当a＝b时取“=\"号）

2333（3）abc3abc(a0,b0,c0).

（2)a,bR(4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

(5)ababab. 72。极值定理

已知x,y都是正数,则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p； (2)若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值推广 已知x,yR,则有(xy)(xy)2xy （1）若积xy是定值，则当|xy|最大时，|xy|最大； 当|xy|最小时，|xy|最小。

（2)若和|xy|是定值,则当|xy|最大时， |xy|最小; 当|xy|最小时， |xy|最大。

73。一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a与

2212s。 422ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之

间。简言之：同号两根之外,异号两根之间。

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2); xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)。

74。含有绝对值的不等式 当a〉 0时，有

xax2aaxa。

2xax2a2xa或xa。

75。无理不等式

f(x)0(1）f(x)g(x)g(x)0 。

f(x)g(x)f(x)0f(x)0（2）f(x)g(x)g(x)0。 或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0(3)f(x)g(x)g(x)0。

f(x)[g(x)]276.指数不等式与对数不等式 （1）当a1时，

af(x)ag(x)f(x)g(x)；

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)（2)当0a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)77。斜率公式

ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)).

x2x178.直线的五种方程

(1）点斜式 yy1k(xx1) （直线l过点P． 1(x1,y1)，且斜率为k）(2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距）。

yy1xx1(y1y2）(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) （x1x2）).

y2y1x2x1xy(4)截距式 1（a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)

ab（5）一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0）。

(3）两点式

79.两条直线的平行和垂直

（1)若l1:yk1xb1,l2:yk2xb2 ①l1||l2k1k2,b1b2; ②l1l2k1k21.

（2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零，

A1B1C1； A2B2C2②l1l2A1A2B1B20；

①l1||l280.夹角公式

k2k1|.

1k2k1(l1:yk1xb1,l2:yk2xb2，k1k21）

ABA2B1|. (2）tan|12A1A2B1B2（l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，A1A2B1B20).

(1）tan|直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是81。 l1到l2的角公式

. 2k2k1。

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，k1k21）

ABA2B1(2)tan12.

A1A2B1B2（l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20）。

（1）tan直线l1l2时,直线l1到l2的角是

。 282．四种常用直线系方程

（1）定点直线系方程:经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线

xx0），其中k是待定的系数； 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0，其中A,B是待定的系数．

（2）共点直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（除l2），其中λ是待定的系数．

（3）平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0（0),λ是参变量．

(4）垂直直线系方程：与直线AxByC0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是BxAy0，λ是参变量．

83.点到直线的距离

AB84。 AxByC0或0所表示的平面区域

设直线l:AxByC0,则AxByC0或0所表示的平面区域是：

若B0，当B与AxByC同号时,表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域。简言之，同号在上,异号在下。

若B0，当A与AxByC同号时,表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域。 简言之，同号在右，异号在左。

85。 (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域

d|Ax0By0C|22(点P(x0,y0),直线l:AxByC0）.

设曲线C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），则

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是： (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分； (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分。

86。 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 (xa)(yb)r。

（2）圆的一般方程 xyDxEyF0（D2E24F＞0）.

22222xarcos.

ybrsin(4）圆的直径式方程 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)）.

（3）圆的参数方程 87。 圆系方程

(1）过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直线AB的方程，λ是待定的系数．

22（2）过直线l：AxByC0与圆C：xyDxEyF0的交点的圆系方

程是xyDxEyF(AxByC)0，λ是待定的系数．

2222（3） 过圆C1：xyD1xE1yF10与圆C2：xyD2xE2yF20的

222222交点的圆系方程是xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0，λ是待定

的系数．

88.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种 若d(ax0)(by0)，则

22222dr点P在圆外；dr点P在圆上;dr点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种：

222dr相离0； dr相切0; dr相交0。

其中dAaBbCAB22。

90。两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1,r2，O1O2d

dr1r2外离4条公切线； dr1r2外切3条公切线；

r1r2dr1r2相交2条公切线; dr1r2内切1条公切线; 0dr1r2内含无公切线.

91。圆的切线方程

（1）已知圆xyDxEyF0．

①若已知切点(x0,y0)在圆上,则切线只有一条，其方程是

22D(x0x)E(y0y)F0. 22D(x0x)E(y0y)当(x0,y0)圆外时， x0xy0yF0表示过两个切点

22 x0xy0y的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0),再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．

（2)已知圆xyr．

2①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0xy0yr；

222②斜率为k的圆的切线方程为ykxr1k2。

xacosx2y292.椭圆221(ab0)的参数方程是。

abybsinx2y293。椭圆221(ab0)焦半径公式

aba2a2PF1e(x),PF2e(x).

cc94．椭圆的的内外部

22x0y0x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部221。

abab22x0y0x2y2（2)点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部221。

abab95。 椭圆的切线方程

x2y2xxyy(1）椭圆221(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021。

ababx2y2 (2）过椭圆221(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y21. 2abx2y2 (3）椭圆221(ab0)与直线AxByC0相切的条件是

abA2a2B2b2c2.

x2y296。双曲线221(a0,b0)的焦半径公式

aba2a2PF1|e(x)|，PF2|e(x)|。

cc97.双曲线的内外部

22x0y0x2y2(1）点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部221.

abab22x0y0x2y2(2)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部221.

abab98。双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b（1）若双曲线方程为221渐近线方程:220yx。

ababax2y2xyb （2）若渐近线方程为yx0双曲线可设为22。

ababax2y2x2y2 (3）若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x

abab轴上,0，焦点在y轴上)。

99。 双曲线的切线方程

x2y2xxyy （1）双曲线221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021。

ababx2y2 （2)过双曲线221(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y21. 2abx2y2 （3）双曲线221(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是

abA2a2B2b2c2.

2100. 抛物线y2px的焦半径公式

p2抛物线y2px(p0)焦半径CFx0.

2pp过焦点弦长CDx1x2x1x2p。

222y22101。抛物线y2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt,2pt)或 P(x,y)，其

2p2中 y2px.

b24acb2)(a0)的图象是抛物线：102.二次函数yaxbxca(x（1）顶2a4ab4acb2b4acb21,)；(2）焦点的坐标为(,);（3）准线方程是点坐标为(2a4a2a4a4acb21y.

4a2103。抛物线的内外部

(1)点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0)。 点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0)。 （2)点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0)。 点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0). （3）点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0). 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0).

222222222222（4) 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0). 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0)。 104. 抛物线的切线方程

2(1）抛物线y2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0)。

2 （2)过抛物线y2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx0).

2222 (3)抛物线y2px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB2AC。

105。两个常见的曲线系方程

（1)过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是

22f1(x,y)f2(x,y)0（为参数）.

x2y221，其中kmax{a2,b2}。当（2）共焦点的有心圆锥曲线系方程2akbkkmin{a2,b2}时，表示椭圆; 当min{a2,b2}kmax{a2,b2}时，表示双曲线。

106。直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB(x1x2)2(y1y2)2或

AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2（弦端点

ykxb2A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程 消去y得到axbxc0，0，为直

F(x,y)0线AB的倾斜角,k为直线的斜率）.

107。圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0。 (2)曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是

F(x2A(AxByC)2B(AxByC),y)0。

A2B2A2B2222108.“四线”一方程

2对于一般的二次曲线AxBxyCyDxEyF0，用x0x代x，用y0y代y，

用

x0yxy0xxyy代xy,用0代x，用0代y即得方程 222xyxy0xxyyAx0xB0Cy0yD0E0F0，曲线的切线，切点弦,中点

222弦，弦中点方程均是此方程得到。

109．证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行; （3）转化为线面平行; （4）转化为线面垂直; (5）转化为面面平行.

110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1)转化为直线与平面无公共点； （2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行。

111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点; （2）转化为线面平行; (3)转化为线面垂直。

112．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；

(3）转化为线与另一线的射影垂直; （4)转化为线与形成射影的斜线垂直。 113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行; （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.

115。空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1）加法交换律:a＋b=b＋a．

（2）加法结合律:（a＋b）＋c=a＋（b＋c）． （3）数乘分配律:λ（a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

117。共线向量定理

对空间任意两个向量a、b（b≠0 ），a∥b存在实数λ使a=λb．

P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线。

118。共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y，使paxby． 推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对x,y，使MPxMAyMB， 或对空间任一定点O，有序实数对x,y,使OPOMxMAyMB。

119。对空间任一点O和不共线的三点A、B、C,满足OPxOAyOBzOC（xyzk），则当k1时,对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k1时，若O平面ABC,则P、A、B、C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．

A、B、 C、D 四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC

OD(1xy)OAxOByOC(O平面ABC）。

120.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x，y，z,使OPxOAyOBzOC。

121。射影公式

已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量。作A点在l上的射影A，作B点在l上的射影B，则

''A'B'|AB|cos122.向量的直角坐标运算

设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3)则 (1）a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

（2）a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)； （3）λa＝(a1,a2,a3) （λ∈R）； （4）a·b＝a1b1a2b2a3b3； 123。设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

ABOBOA= (x2x1,y2y1,z2z1)。

124．空间的线线平行或垂直 设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则

x1x2abab(b0)y1y2；

zz21abab0x1x2y1y2z1z20.

125。夹角公式

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则 cos2222222推论 (a1b1a2b2a3b3)(a1a2a3)(b1b2b3)，此即三维柯西不等式。

126。 四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中， AC与BD所成的角为，则

|(AB2CD2)(BC2DA2)|cos。

2ACBD127．异面直线所成角

cos|cosa,b|

=

|ab||a||b||x1x2y1y2z1z2|xyzx2y2z2212121222

b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量） （其中(090)为异面直线a,128。直线AB与平面所成角

ABm（m为平面的法向量）。

|AB||m|129.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角，另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2，A、B为ABC的两个内角，则

arcsinsin21sin22(sin2Asin2B)sin2.

特别地，当ACB90时，有

sin21sin22sin2。

130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC，BC与平面成的角分别是1、2，A、B为ABO的两个内角，则

''tan21tan22(sin2A'sin2B')tan2。

特别地,当AOB90时，有

sin21sin22sin2。 131。二面角l的平面角

arccosmnmn或arccos(m,n为平面,的法向量）。

|m||n||m||n|132。三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC,垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则coscos1cos2。

133。 三射线定理

若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1，2，与二

2222面角的棱所成的角是θ，则有sinsinsin1sin22sin1sin2cos ；

|12|180(12)（当且仅当90时等号成立）。

134。空间两点间的距离公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2),则

ABAB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2。

135。点Q到直线l距离

1h(|a||b|)2(ab)2（点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA,向量

|a| dA,B=|AB|b=PQ）。

136。异面直线间的距离

d|CDn|(l1,l2是两异面直线,其公垂向量为n,C、D分别是l1,l2上任一点，d为|n|l1,l2间的距离）.

137。点B到平面的距离

|ABn|（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线,A）。 d|n|138.异面直线上两点距离公式

dh2m2n22mncos.

dh2m2n22mncosEA',AF。

dh2m2n22mncos（EAA'F)。

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h。在直线a、b上分别取两点E、F，AEm,AFn，EFd)。 139。三个向量和的平方公式

(abc)2abc2ab2bc2ca

222222''abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a

140。 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3,夹角分别为1、2、3,则有

l2l12l22l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232。

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）。

141. 面积射影定理

S'S。

cos(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为). 142. 斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l，侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则

①S斜棱柱侧c1l。 ②V斜棱柱S1l.

143．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行。 144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145。欧拉定理(欧拉公式)

VFE2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）.

（1）E=各面多边形边数和的一半。特别地，若每个面的边数为n的多边形,则面数F与棱数E的关系:E'1nF; 21mV。 2（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系:E146。球的半径是R，则

43R， 32其表面积S4R．

其体积V147。球的组合体

（1)球与长方体的组合体：

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长， 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长。 （3） 球与正四面体的组合体：

棱长为a的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积

66a，外接球的半径为a。 1241V柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高).

31V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高)。

3149.分类计数原理(加法原理） Nm1m2mn。 150。分步计数原理（乘法原理） Nm1m2mn。 151.排列数公式

Anm=n(n1)(nm1)=

注：规定0!1。 152.排列恒等式

mm1(1)An(nm1)An;

n！*

.(n,m∈N,且mn)．

(nm)！nmAn1； nmmm1（3）AnnAn1；

（2)Anmnn1n(4)nAnAn1An； mmm1（5）An1AnmAn.

(6） 1!22!33!153。组合数公式

mnnn!(n1)!1.

n！Anmn(n1)(nm1)*

C=m==（n∈N,mN,且mn)。

m！(nm)！12mAm154。组合数的两个性质 （1)Cn=Cnmmnm ； =Cn1。

m(2） Cn+Cnm10注:规定Cn1。

155.组合恒等式

nm1m1Cn; mnmm(2）CnCn1；

nmnm1m（3）CnCn1；

m（1）Cnm (4）

Cr0rrnrn=2;

nrrrr1（5）CCr1Cr2CnCn1。 012rnn（6）CnCnCnCnCn2. 135024n1（7）CnCnCnCnCnCn2。 123nn1 （8）Cn2Cn3CnnCnn2。 r0r110rrr（9）CmCnCmCnCmCnCmn. 021222n2n(10)(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n。

156.排列数与组合数的关系

mmAnm！Cn 。

157．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. (1）“在位”与“不在位”

m1mm1①某（特)元必在某位有An1种；②某（特)元不在某位有AnAn1（补集思1m1m1m1想)An1An1（着眼位置）An1Am1An1（着眼元素）种。

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：k(kmn)个元在固定位的排列有AkAnk种。

②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Ank1Ak种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空:两组元素分别有k、h个（kh1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有AhAh1种。

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法？

nAmn1当nm1时，无解；当nm1时，有nCm1种排法.

Anhknk1kkmk（4）两组相同元素的排列:两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cmn. 158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题）将相异的m、n个物件等分给m个人,各得n件,其分配方法数共有NCmnCmnnCmn2nC2nCnnnnnnn(mn)!。 (n!)m（2）（平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有

nnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCnN. mm!m!(n!)（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人，物件

必须被分完，分别得到n1，n2，…，nm件，且n1,n2，…,nm这m个数彼此不相等,则其分

nmn1n2配方法数共有NCpCpn1...Cnmm!p!m!。

n1!n2!...nm!(4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+nmn1n2CpCpn1...Cnmm!+nm)个物体分给m个人,物

件必须被分完，分别得到n1，n2，…，nm件,且n1，n2，…，nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有Np!m!.

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)(5）(非平均分组无归属问题）将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的

n1,n2,…，nm件无记号的m堆，且n1，n2，…，nm这m个数彼此不相等,则其分配方法数

p!有N。

n1!n2!...nm!(6)（非完全平均分组无归属问题）将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的

n1,n2,…,nm件无记号的m堆,且n1，n2,…，nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则

p!其分配方法数有N。

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）（限定分组有归属问题)将相异的p（pn1+n2++nm）个物体分给甲、乙、

丙，……等m个人，物体必须被分完,如果指定甲得n1件,乙得n2件，丙得n3件,…时，则无论n1，n2，…，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

nmn1n2NCpCpn1...Cnmp!。

n1!n2!...nm!159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题：信n封信与n个信封全部错位的组合数为

1111(1)n]。 2!3!4!n!推广： n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为 f(n)n![1234f(n,m)n!Cm(n1)!Cm(n2)!Cm(n3)!Cm(n4)!(1)C(np)!ppm(1)C(nm)!pCm(1)pAnpmmm

1234CmCmCmCmn![11224AnAnAnAnmCm(1)m].

Anm160．不定方程x1+x2+(1)方程x1+x2+（2) 方程x1+x2+（3） 方程x1+x2+n1+xnm的解的个数

n1+xnm（n,mN）的正整数解有Cm个. 11+xnm(n,mN)的非负整数解有 Cnn个。 m1+xnm(n,mN）满足条件xik（kN,2in1）

的非负整数解有Cm1(n2)(k1)个.

(4） 方程x1+x2+161。二项式定理

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb ;

+xnm（n,mN)满足条件xik(kN，2in1）

2n1(1)n2CnnCm1(n2)k个。 2n11n12n1的正整数解有CnCCCCm1n2mnk2n2mn2k3二项展开式的通项公式

rnrrTr1Cnab(r0，1，2，n).

162。等可能性事件的概率

P(A)m。 n163。互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P（A）＋P（B)．

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P（A1＋A2＋…＋An）=P(A1）＋P（A2)＋…＋P（An）． 165。独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B）= P（A）·P（B）。

166.n个独立事件同时发生的概率 P（A1· A2·…· An)=P（A1）· P（A2)·…· P(An）． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

kkPn(k)CnP(1P)nk.

168。离散型随机变量的分布列的两个性质

)； （1)Pi0(i1,2,（2）P1P2169.数学期望

1。 xnPn

Ex1P1x2P2170.数学期望的性质

(1)E(ab)aE()b. （2)若～B(n,p)，则Enp。

（3) 若服从几何分布,且P(k)g(k,p)q171。方差

k1p，则E1。 pDx1Ep1x2Ep2172.标准差

22xnEpn2

=D.

173.方差的性质

（1）Daba2D;

（2）若～B(n,p)，则Dnp(1p).

（3） 若服从几何分布,且P(k)g(k,p)qk1p，则Dq。 p2174.方差与期望的关系

DE2E。

175。正态分布密度函数

2fx1e26x2262,x,，式中的实数μ，（〉0）是参数，分别表

示个体的平均数与标准差。

176。标准正态分布密度函数

x1fxe2,x,。

262177.对于N(,)，取值小于x的概率

xFx.

Px1x0x2Pxx2Pxx1

2Fx2Fx1

xx12。

178.回归直线方程

nnxixyiyxiyinxybi1ni1n2yabx,其中22. xxxnxiii1i1aybx179。相关系数

rxxyyiii1n(xx)(yy)2iii1i1nn 2xxyyiii1n(xi2nx2)(yi2ny2)i1i1nn. ｜r｜≤1,且|r｜越接近于1,相关程度越大；｜r｜越接近于0，相关程度越小。 180.特殊数列的极限

|q|1（1）limn0nq1q1。

不存在|q|1或q1（2）limak10(kt)knkak1na0nbntbt1nt1at(kt).

tb0bk不存在 (kt)(3）Slima11qnn1qa11q（S无穷等比数列aqn11181。 函数的极限定理

xlimxf(x)axlim0x0f(x)xlimxf(x)a.

0182.函数的夹逼性定理

如果函数f（x),g（x）,h（x）在点x0的附近满足： (1）g(x)f(x)h(x)；

（2）limxxg(x)a,limh(x)a(常数）,

0xx0则limxxf(x)a.

0本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立. 183.几个常用极限

（1)lim1nn0，limnan0（|a|1）

； (2）lim11xxxx0，lim0xxx.

0x0184。两个重要的极限 (1）limsinxx0x1；

x(2）limx11xe（e=2.718281845…）.

185。函数极限的四则运算法则

若limxxf(x)a，limxg(x)b，则

0x0（1)limxxfxgxab；

0（2)limxxfxgxab；

0(3）limfxxxgxabb0。 0186。数列极限的四则运算法则 若limnana,limnbnb,则

（1）limnanbnab;

|q|1)的和）。 （（2）limanbnab；

n(3）limanab0

nbbnnnn（4)limcanlimclimanca( c是常数）。 187.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）

f(x0)yxx0limf(x0x)f(x0)y。 limx0xx0x188。瞬时速度

s(t)limav(t)limss(tt)s(t)。 limt0tt0t189.瞬时加速度

vv(tt)v(t)。 limt0tt0t190。f(x)在(a,b)的导数

dydfyf(xx)f(x). f(x)ylimlimx0x0dxdxxx191. 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率

f(x0),相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0)。

192。几种常见函数的导数 （1） C0（C为常数）.

'n1(2) (xn)nx(nQ).

(3) (sinx)cosx。 (4） (cosx)sinx。 （5） (lnx)11ex;(loga)loga. xxxxxx（6） (e)e； (a)alna.

（1）(uv)uv. （2）(uv)uvuv.

''''''193.导数的运算法则

u'u'vuv'(v0). （3)()vv2194。复合函数的求导法则

''设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在点x处的对应点U处有'''''导数yuf(u),则复合函数yf((x))在点x处有导数，且yxyuux，或写作

fx'((x))f'(u)'(x)。

195。常用的近似计算公式（当x充小时） (1）1x1(2） 、

1n1x;1x1x; 2n(1x)1x(R)；

（3）e1x； （4)ln(1x)x；

x11x; 1x(5）sinxx（x为弧度）; （6）tanxx（x为弧度）； （7)arctanxx（x为弧度)

196。判别f(x0)是极大（小）值的方法 当函数f(x)在点x0处连续时，

（1）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0,则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)是极小值. 197。复数的相等

abicdiac,bd。(a,b,c,dR） 198。复数zabi的模(或绝对值）

|z|=|abi|=a2b2。

199。复数的四则运算法则

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; （2）(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (3）(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i； （4)(abi)(cdi)acbdbcadi(cdi0)。

c2d2c2d2200。复数的乘法的运算律 对于任何z1,z2,z3C,有 交换律:z1z2z2z1.

结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)。 分配律:z1(z2z3)z1z2z1z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d|z1z2|(x2x1)2(y2y1)2（z1x1y1i,z2x2y2i）.

202。向量的垂直

非零复数z1abi，z2cdi对应的向量分别是OZ1,OZ2,则 OZ1OZ2z1z2的实部为零z2222为纯虚数|z1z2||z1||z2| z1|z1z2|2|z1|2|z2|2|z1z2||z1z2|acbd0z1iz2（λ为非

零实数）.

203.实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程axbxc0，

2bb24ac①若b4ac0，则x1,2;

2ab2②若b4ac0,则x1x2;

2a2③若b4ac0，它在实数集R内没有实数根;在复数集C内有且仅有两个共轭

2b(b24ac)i2复数根x(b4ac0).

2a

1．集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2．集合表示方法①列举法 ②描述法 ③韦恩图 ④数轴法 3．集合的运算

⑴ A∩（B∪C）=(A∩B)∪（A∩C) ⑵ Cu(A∩B）=CuA∪CuB Cu(A∪B）=CuA∩CuB 4．集合的性质

⑴n元集合的子集数：2n

真子集数：2n-1；非空真子集数：2n—2 高中数学概念总结 一、 函数

1、 若集合A中有n 个元素，则集合A的所有不同的子集个数为 ，所有非空真子集的个数是 。

二次函数 的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是 。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即 ， 和 （顶点式）。

2、 幂函数 ,当n为正奇数，m为正偶数，m〈n时，其大致图象是

3、 函数 的大致图象是

由图象知，函数的值域是 ，单调递增区间是 ，单调递减区间是 。 二、 三角函数

1、 以角 的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角 的终边上任取一个异于原点的点 ，点P到原点的距离记为 ,则sin = ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = . 2、同角三角函数的关系中，平方关系是： , ， ； 倒数关系是: ， ， ; 相除关系是： ， 。

3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变，符号看象限。如: ， = ， 。

4、 函数 的最大值是 ，最小值是 ，周期是 ,频率是 ,相位是 ，初相是 ；其图象的对称轴是直线 ,凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间：

的递增区间是 ,递减区间是 ; 的递增区间是 ，递减区间是 , 的递增区间是 ， 的递减区间是 。 6、

7、二倍角公式是：sin2 = cos2 = = = tg2 = 。

8、三倍角公式是：sin3 = cos3 = 9、半角公式是：sin = cos = tg = = = 。

10、升幂公式是： 。 11、降幂公式是: 。

12、万能公式：sin = cos = tg = 13、sin( )sin（ )= , cos（ )cos( ）= = 。 14、 = ； = ； = . 15、 = .

16、sin180= 。

17、特殊角的三角函数值：

0 sin 0 1 0 cos 1 0 0

tg 0 1 不存在 0 不存在 ctg 不存在 1 0 不存在 0

18、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圆半径): 19、由余弦定理第一形式， = 由余弦定理第二形式,cosB=

20、△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则： ① ;② ； ③ ；④ ; ⑤ ;⑥

21、三角学中的射影定理：在△ABC 中, ，… 22、在△ABC 中， ，… 23、在△ABC 中：

24、积化和差公式： ① , ② ， ③ ， ④ 。

25、和差化积公式： ① ， ② ， ③ ， ④ 。

三、 反三角函数

1、 的定义域是［—1,1]，值域是 ,奇函数,增函数； 的定义域是[—1，1］，值域是 ,非奇非偶，减函数； 的定义域是R，值域是 ,奇函数，增函数； 的定义域是R，值域是 ，非奇非偶,减函数。 2、当 ;

对任意的 ，有： 当 .

3、最简三角方程的解集：

四、 不等式

1、若n为正奇数，由 可推出 吗? ( 能 ） 若n为正偶数呢？ （ 均为非负数时才能） 2、同向不等式能相减,相除吗 （不能） 能相加吗？ ( 能 )

能相乘吗? （能,但有条件) 3、两个正数的均值不等式是： 三个正数的均值不等式是： n个正数的均值不等式是:

4、两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

6、 双向不等式是：

左边在 时取得等号，右边在 时取得等号。 五、 数列

1、等差数列的通项公式是 ,前n项和公式是: = 。 2、等比数列的通项公式是 ， 前n项和公式是：

3、当等比数列 的公比q满足 〈1时， =S= .一般地，如果无穷数列 的前n项和的极限 存在，就把这个极限称为这个数列的各项和（或所有项的和），用S表示，即S= 。

4、若m、n、p、q∈N，且 ，那么：当数列 是等差数列时,有 ;当数列 是等比数列时，有 。 5、 等差数列 中,若Sn=10，S2n=30，则S3n=60; 6、等比数列 中，若Sn=10，S2n=30,则S3n=70； 六、 复数

1、 怎样计算？（先求n被4除所得的余数, ） 2、 是1的两个虚立方根，并且:

3、 复数集内的三角形不等式是： ，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向)时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。 4、 棣莫佛定理是：

5、 若非零复数 ,则z的n次方根有n个，即：

它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系?

都位于圆心在原点，半径为 的圆上,并且把这个圆n等分。

6、 若 ，复数z1、z2对应的点分别是A、B，则△AOB(O为坐标原点)的面积是 。 7、 = .

8、 复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹： ① 轨迹为一条射线。 ② 轨迹为一条射线。 ③ 轨迹是一个圆。 ④ 轨迹是一条直线。

⑤ 轨迹有三种可能情形：a）当 时，轨迹为椭圆；b）当 时,轨迹为一条线段;c）当 时，轨迹不存在。

⑥ 轨迹有三种可能情形:a)当 时，轨迹为双曲线；b） 当 时,轨迹为两条射线；c) 当 时，轨迹不存在。

七、 排列组合、二项式定理

1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？ 加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关. 2、排列数公式是: = = ;

排列数与组合数的关系是： 组合数公式是： = = ； 组合数性质: = + = = =

3、 二项式定理： 二项展开式的通项公式: 八、 解析几何 1、 沙尔公式：

2、 数轴上两点间距离公式：

3、 直角坐标平面内的两点间距离公式： 4、 若点P分有向线段 成定比λ，则λ=

5、 若点 ，点P分有向线段 成定比λ，则:λ= = ； =

=

若 ，则△ABC的重心G的坐标是 .

6、求直线斜率的定义式为k= ,两点式为k= 。 7、直线方程的几种形式： 点斜式： ， 斜截式： 两点式： , 截距式： 一般式：

经过两条直线 的交点的直线系方程是: 8、 直线 ，则从直线 到直线 的角θ满足: 直线 与 的夹角θ满足：

直线 ，则从直线 到直线 的角θ满足： 直线 与 的夹角θ满足：

9、 点 到直线 的距离:

10、两条平行直线 距离是

11、圆的标准方程是： 圆的一般方程是:

其中,半径是 ,圆心坐标是

思考：方程 在 和 时各表示怎样的图形？ 12、若 ,则以线段AB为直径的圆的方程是

经过两个圆 ,

的交点的圆系方程是：

经过直线 与圆 的交点的圆系方程是： 13、圆 为切点的切线方程是

一般地,曲线 为切点的切线方程是： 。例如，抛物线 的以点 为切点的切线方程是: ，即： 。 注意:这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题,只能按照求切线方程的常规过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种,即： ①判别式法:Δ>0，=0，〈0，等价于直线与圆相交、相切、相离;

②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于半径、小于半径,等价于直线与圆相离、相切、相交.

15、抛物线标准方程的四种形式是：

16、抛物线 的焦点坐标是： ，准线方程是： .

若点 是抛物线 上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径）是: ,过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径)的长是： 。 17、椭圆标准方程的两种形式是： 和 。

18、椭圆 的焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径的长是 。其中 . 19、若点 是椭圆 上一点， 是其左、右焦点,则点P的焦半径的长是 和 。 20、双曲线标准方程的两种形式是： 和 .

21、双曲线 的焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ,通径的长是 ,渐近线方程是 .其中 . 22、与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 。与双曲线 共焦点的双曲线系方程是 。 23、若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1，y1),B（x2，y2)，则弦长为 ； 若直线 与圆锥曲线交于两点A（x1，y1）,B（x2，y2），则弦长为 。

24、圆锥曲线的焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离，对于椭圆和双曲线都有： 。 25、平移坐标轴，使新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标是（h，k），若点P在原坐标系下的坐标是 在新坐标系下的坐标是 ，则 = ， = 。 九、 极坐标、参数方程

1、 经过点 的直线参数方程的一般形式是： 。

2、 若直线 经过点 ，则直线参数方程的标准形式是： .其中点P对应的参数t的几何意义是：有向线段 的数量。

若点P1、P2、P是直线 上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是 则: ；当点P分有向线段 时， ；当点P是线段P1P2的中点时， 。 3、圆心在点 ，半径为 的圆的参数方程是： .

3、 若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为 直角坐标为 ,则 ， ， 。

4、 经过极点,倾斜角为 的直线的极坐标方程是: , 经过点 ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是： , 经过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是： , 经过点 且倾斜角为 的直线的极坐标方程是： 。 5、 圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是 ； 圆心在点 的圆的极坐标方程是 ; 圆心在点 的圆的极坐标方程是 ；

圆心在点 ，半径为 的圆的极坐标方程是 . 6、 若点M 、N ，则 . 十、 立体几何

1、求二面角的射影公式是 ，其中各个符号的含义是： 是二面角的一个面内图形F的面积, 是图形F在二面角的另一个面内的射影, 是二面角的大小。

2、若直线 在平面 内的射影是直线 ,直线m是平面 内经过 的斜足的一条直线， 与 所成的角为 ， 与m所成的角为 ， 与m所成的角为θ，则这三个角之间的关系是 。 3、体积公式：

柱体： ，圆柱体： 。

斜棱柱体积: （其中, 是直截面面积， 是侧棱长); 锥体： ，圆锥体: 。

台体： ， 圆台体： 球体： 。 4、 侧面积：

直棱柱侧面积: ，斜棱柱侧面积： ； 正棱锥侧面积： ,正棱台侧面积： ; 圆柱侧面积： ，圆锥侧面积: ,

圆台侧面积： ，球的表面积： 。 5、几个基本公式：

弧长公式： （ 是圆心角的弧度数， >0)； 扇形面积公式: ；

圆锥侧面展开图(扇形）的圆心角公式: ； 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式: 。

经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为 ,轴截面顶角是θ）:

十一、比例的几个性质 1、比例基本性质： 2、反比定理： 3、更比定理： 5、 合比定理;

6、 分比定理： 7、 合分比定理： 8、 分合比定理：

9、 等比定理：若 ， ，则 。 十二、复合二次根式的化简

当 是一个完全平方数时，对形如 的根式使用上述公式化简比较方便.

⑵并集元素个数:

n（A∪B）=nA+nB—n（A∩B） 5．N 自然数集或非负整数集 Z 整数集 Q有理数集 R实数集 6．简易逻辑中符合命题的真值表 p 非p 真 假 假 真 二．函数

1．二次函数的极点坐标: 函数 的顶点坐标为 2．函数 的单调性： 在 处取极值

3．函数的奇偶性：

在定义域内，若 ，则为偶函数；若 则为奇函数。

1。诱导公式

sin（—a)=—sin(a)

cos（-a）=cos（a)

sin(π2-a）=cos（a）

cos（π2-a)=sin(a)

sin(π2+a）=cos（a）

cos（π2+a)=-sin（a）

sin（π-a)=sin(a）

cos（π-a)=-cos（a)

sin(π+a）=—sin（a)

cos（π+a）=-cos（a）

2。两角和与差的三角函数

sin（a+b)=sin(a）cos（b)+cos（α)sin(b）

cos(a+b）=cos(a）cos（b)—sin(a)sin（b）

sin（a—b）=sin（a)cos(b）—cos(a）sin（b)

cos（a—b）=cos（a）cos(b）+sin（a）sin（b）

tan(a+b）=tan（a)+tan(b)1—tan（a）tan（b)

tan（a-b)=tan（a)—tan（b）1+tan（a)tan（b)

3。和差化积公式

sin(a）+sin（b）=2sin（a+b2)cos（a—b2）

sin(a)？sin(b)=2cos（a+b2）sin(a-b2)

cos（a）+cos(b）=2cos（a+b2）cos（a—b2）

cos(a)-cos(b)=—2sin（a+b2)sin（a—b2)

4。二倍角公式

sin（2a）=2sin(a）cos（b）

cos(2a)=cos2(a）—sin2（a）=2cos2(a)-1=1-2sin2（a）

5.半角公式

sin2(a2）=1—cos（a)2

cos2（a2)=1+cos（a)2

tan（a2）=1-cos（a）sin(a）=sina1+cos(a)

6。万能公式

sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2）

cos(a)=1-tan2（a2)1+tan2（a2)

tan（a）=2tan(a2）1-tan2(a2）

7。其它公式(推导出来的 ）

a？sin(a)+b?cos（a）=a2+b2sin（a+c) 其中 tan（c）=ba

a?sin（a)+b?cos（a)=a2+b2cos（a—c） 其中 tan（c）=ab

1+sin（a）=(sin（a2)+cos（a2）)2

1-sin（a）=（sin（a2）—cos(a2））2

回答者: 吴域ぁ慕紫 - 二级 2007—7—23 21:57

可以下载HTML文件,总结得很好，很方便

http://www.ggjy。net/xspd/xsbk/200408/815.html 数学高考基础知识、常见结论详解

一、集合与简易逻辑： 一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征: 确定性 ， 互异性 , 无序性 . 集合元素的互异性：如： ， ,求 ;

（2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ;正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 . (4)集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式:如： ； ； ; ； ; ；

(5)空集是指不含任何元素的集合。( 、 和 的区别;0与三者间的关系）

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。 如： ,如果 ，求 的取值。 二、集合间的关系及其运算

(1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线（面)的关系 。 （2） ； ；

（3）对于任意集合 ,则： ① ； ; ; ② ； ; ； ; ③ ; ;

（4）①若 为偶数，则 ;若 为奇数，则 ；

②若 被3除余0,则 ;若 被3除余1，则 ；若 被3除余2，则 ； 三、集合中元素的个数的计算:

（1）若集合 中有 个元素，则集合 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 . （2） 中元素的个数的计算公式为： ; (3)韦恩图的运用:

四、 满足条件 ， 满足条件 , 若 ；则 是 的充分非必要条件 ； 若 ；则 是 的必要非充分条件 ； 若 ；则 是 的充要条件 ；

若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ;

五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ； 注意：“若 ,则 \"在解题中的运用， 如：“ \"是“ ”的 条件.

六、反证法：当证明“若 ，则 \"感到困难时，改证它的等价命题“若 则 ”成立，

步骤：1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发,推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确.

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少\"、“至多”、“唯一”等字眼时. 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定

正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个 否定

二、函数

一、映射与函数:

(1)映射的概念： （2）一一映射：（3)函数的概念：

如：若 , ；问： 到 的映射有 个, 到 的映射有 个； 到 的函数有 个，若 ,则 到 的一一映射有 个.

函数 的图象与直线 交点的个数为 个。 二、函数的三要素: , ， .

相同函数的判断方法：① ;② （两点必须同时具备） （1）函数解析式的求法： ①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法:④赋值法: （2）函数定义域的求法: ① ,则 ； ② 则 ;

③ ，则 ； ④如： ，则 ;

⑤含参问题的定义域要分类讨论；

如：已知函数 的定义域是 ,求 的定义域。

⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定.如：已知扇形的周长为20,半径为 ，扇形面积为 ，则 ；定义域为 。 (3)函数值域的求法:

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式； ②逆求法（反求法）:通过反解,用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如: ；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如: ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法:函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域. 求下列函数的值域：① （2种方法）； ② （2种方法）；③ （2种方法)； 三、函数的性质：

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有：定义法（作差比较和作商比较） 导数法（适用于多项式函数） 复合函数法和图像法.

应用：比较大小，证明不等式，解不等式.

奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称，比较f（x） 与f（—x）的关系.f（x） －f（—x)=0 f(x) =f（—x) f（x)为偶函数；

f(x)+f(—x）=0 f（x） =－f(—x) f（x）为奇函数. 判别方法：定义法, 图像法 ,复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。

周期性:定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f（x+T）=f(x),则T为函数f(x）的周期。 其他：若函数f（x)对定义域内的任意x满足：f（x+a）=f（x－a），则2a为函数f(x)的周期。 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。

常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考) 平移变换 y=f（x）→y=f（x+a),y=f（x）+b 注意：（ⅰ)有系数,要先提取系数。如：把函数y＝f(2x）经过 平移得到函数y＝f（2x＋4）的图象。

(ⅱ）会结合向量的平移,理解按照向量 （m,n）平移的意义。 对称变换 y=f(x）→y=f（－x），关于y轴对称 y=f(x）→y=－f（x） ，关于x轴对称

y=f(x）→y=f｜x｜，把x轴上方的图象保留,x轴下方的图象关于x轴对称

y=f(x）→y=｜f(x）｜把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。（注意：它是一个偶函数)

伸缩变换：y=f（x)→y=f（ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ）具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论：若f(a－x）＝f（a+x），则函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称； 如： 的图象如图，作出下列函数图象： （1） ；(2) ； (3） ;（4） ； （5） ；（6) ； （7） ；（8) ； (9） .

五、反函数： （1)定义:

（2）函数存在反函数的条件： ；

（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ； （4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程，解出 ，若有两解，要注意解的选择;②将 互换，得 ；③写出反函数的定义域(即 的值域）。 (5)互为反函数的图象间的关系： ;

（6）原函数与反函数具有相同的单调性;

（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数. 如:求下列函数的反函数: ； ； 七、常用的初等函数：

(1)一元一次函数： ，当 时，是增函数;当 时，是减函数； （2）一元二次函数：

一般式： ;对称轴方程是 ;顶点为 ； 两点式: ;对称轴方程是 ;与 轴的交点为 ; 顶点式: ;对称轴方程是 ；顶点为 ; ①一元二次函数的单调性：

当 时： 为增函数; 为减函数；当 时： 为增函数； 为减函数； ②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 的形式， Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则

时：在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时:在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 有三个类型题型：

(1)顶点固定,区间也固定.如： （2）顶点含参数（即顶点变动），区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。

（3）顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．

③二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 的两根为 ;则： 根的情况

等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根 充要条件

注意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果,在令 和 检查端点的情况。 (3)反比例函数： (4）指数函数：

指数运算法则： ； ; 。

指数函数：y= （a〉o，a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a〉1和0〈a〈1两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图. （5)对数函数:

指数运算法则： ； ； ；

对数函数：y= （a〉o，a≠1） 图象恒过点（1，0),单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a〉1和0〈a〈1两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 注意：(1） 与 的图象关系是 ；

（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。 （3）已知函数 的定义域为 ，求 的取值范围。 已知函数 的值域为 ，求 的取值范围。 六、 的图象:

定义域: ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数. 七、补充内容:

抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： ① 正比例函数 ② ; ； ③ ； ； ④ ； 三、导 数 1．求导法则：

（c)/=0 这里c是常数.即常数的导数值为0.

(xn）/=nxn－1 特别地:（x)/=1 （x－1）/= ( ）/=－x-2 （f(x）±g（x)）/= f/(x)±g/(x） (k?f（x）)/= k?f/（x）

2．导数的几何物理意义：

k＝f/（x0)表示过曲线y=f（x)上的点P（x0，f(x0）)的切线的斜率。 V＝s/（t) 表示即时速度。a=v/（t) 表示加速度. 3．导数的应用: ①求切线的斜率.

②导数与函数的单调性的关系 一 与 为增函数的关系。

能推出 为增函数,但反之不一定.如函数 在 上单调递增，但 ,∴ 是 为增函数的充分不必要条件。

二 时， 与 为增函数的关系.

若将 的根作为分界点，因为规定 ,即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有 .∴当 时， 是 为增函数的充分必要条件。 三 与 为增函数的关系。

为增函数,一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或 .当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数,函数不具有单调性.∴ 是 为增函数的必要不充分条件。 函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

四单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域;（2）求导数 （3)解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 ,解集在定义域内的部分为减区间。 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数 在某个区间内可导。 ③求极值、求最值.

注意:极值≠最值。函数f(x）在区间[a,b]上的最大值为极大值和f（a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b）中最小的一个. f/（x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。 但是，当x=x0时,函数有极值 f/（x0)＝0 判断极值，还需结合函数的单调性说明. 4。导数的常规问题：

（1）刻画函数(比初等方法精确细微）；

(2)同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；

(3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便.

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向,应引起注意。 四、不等式

一、不等式的基本性质： 注意：（1）特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题. （2）注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：

①若ab〉0，则 .即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变.

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号,如果正负号未定，要注意分类讨论。

③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小.

④中介值法：先把要比较的代数式与“0\"比，与“1\"比，然后再比较它们的大小 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若 ，则 (当且仅当 时取等号） 基本变形：① ； ； ②若 ，则 ，

基本应用:①放缩，变形;

②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大.

当 （常数），当且仅当 时， ； 当 (常数），当且仅当 时, ； 常用的方法为：拆、凑、平方; 如：①函数 的最小值 .

②若正数 满足 ，则 的最小值 。 三、绝对值不等式：

注意：上述等号“＝\"成立的条件； 四、常用的基本不等式:

(1)设 ，则 (当且仅当 时取等号)

（2） (当且仅当 时取等号)； （当且仅当 时取等号) （3） ； ；

五、证明不等式常用方法： (1）比较法：作差比较： 作差比较的步骤：

⑴作差：对要比较大小的两个数(或式)作差。

⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。 ⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。

(3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……,只需证…… （4)反证法：正难则反。

（5)放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有:

⑴添加或舍去一些项,如： ； ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如： ;

⑷利用常用结论： Ⅰ、 ;

Ⅱ、 ； (程度大） Ⅲ、 ； (程度小）

(6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元.如： 已知 ,可设 ；

已知 ，可设 （ )； 已知 ，可设 ； 已知 ,可设 ；

（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 六、不等式的解法: （1)一元一次不等式：

Ⅰ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ; Ⅱ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ；

(2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对 进行讨论:

（5）绝对值不等式：若 ，则 ； ； 注意：（1)。几何意义： : ； : ；

(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值,去绝对值的方法有:

⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若 则 ;②若 则 ；③若 则 ;

(3)。通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。

（4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解. （6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； ⑴ ；⑵ ; ⑶ ；⑷ ;

（7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集,在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公共部分。

（8)解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论。如果遇到下述情况则一般需要讨论：

①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性。

②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△）,比较两个根的大小,设根为 (或更多）但含参数，要分 、 、 讨论。

五、数列

本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明,值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 。（2）数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想。善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标。 ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解。 ②分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为 及 ;已知 求 时，也要进行分类； ③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整 体思想求解。 （4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化,转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决。解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的。特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念:

1、 数列的定义及表示方法： 2、 数列的项与项数： 3、 有穷数列与无穷数列：

4、 递增（减)、摆动、循环数列： 5、 数列｛an}的通项公式an： 6、 数列的前n项和公式Sn:

7、 等差数列、公差d、等差数列的结构:

8、 等比数列、公比q、等比数列的结构： 二、基本公式：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=

10、等差数列的通项公式：an=a1+（n—1）d an=ak+（n—k）d (其中a1为首项、ak为已知的第k项） 当d≠0时,an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 11、等差数列的前n项和公式:Sn= Sn= Sn=

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时（a1≠0)，Sn=na1是关于n的正比例式.

12、等比数列的通项公式： an= a1 qn—1 an= ak qn-k （其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)

13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时,Sn= Sn=

三、有关等差、等比数列的结论

14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m—Sm、S3m—S2m、S4m — S3m、……仍为等差数列。

15、等差数列｛an｝中,若m+n=p+q，则 16、等比数列｛an｝中，若m+n=p+q，则

17、等比数列｛an｝的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m—Sm、S3m-S2m、S4m — S3m、……仍为等比数列.

18、两个等差数列｛an}与｛bn}的和差的数列｛an+bn}、｛an—bn｝仍为等差数列。 19、两个等比数列{an｝与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、 、 仍为等比数列.

20、等差数列{an｝的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列｛an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

22、三个数成等差的设法：a-d，a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,，a+d，a+3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a，aq；

四个数成等比的错误设法:a/q3，a/q，aq，aq3 (为什么？） 24、｛an}为等差数列，则 （c〉0)是等比数列。 25、｛bn}（bn〉0）是等比数列，则{logcbn} (c〉0且c 1） 是等差数列. 26. 在等差数列 中： (1）若项数为 ，则 （2)若数为 则， ， 27。 在等比数列 中： （1） 若项数为 ，则 (2）若数为 则，

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.关键是找数列的通项结构.

28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=（2n—1）2n 30、裂项法求和:如an=1/n（n+1） 31、倒序相加法求和：如an=

32、求数列｛an｝的最大、最小项的方法: ① an+1-an=…… 如an= —2n2+29n—3

② （an〉0） 如an=

③ an=f（n） 研究函数f（n)的增减性 如an=

33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题-—常用邻项变号法求解： （1)当 〉0，d〈0时,满足 的项数m使得 取最大值。 (2）当 〈0，d〉0时，满足 的项数m使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 六、平面向量 1．基本概念：

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2． 加法与减法的代数运算： (1） ．

（2)若a=( )，b=（ )则a b=（ ）．

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量 = + , = － ， = － 且有｜ ｜－｜ ｜≤| ｜≤｜ ｜+｜ ｜．

向量加法有如下规律： ＋ = ＋ （交换律)； +（ +c)=( + ）+c （结合律)； +0= ＋(－ ）=0。

3．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。 (1）｜ |=| ｜·｜ ｜；

(2） 当 ＞0时, 与 的方向相同；当 ＜0时, 与 的方向相反;当 =0时， =0． (3）若 =（ ）,则 · =( ）． 两个向量共线的充要条件：

（1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ． （2） 若 =( ），b=（ )则 ‖b ． 平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2． 4．P分有向线段 所成的比：

设P1、P2是直线 上两个点,点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = , 叫做点P分有向线段 所成的比。

当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0； 分点坐标公式:若 = ; 的坐标分别为（ ），( ),（ ）；则 （ ≠－1)， 中点坐标公式: ． 5． 向量的数量积： （1)．向量的夹角：

已知两个非零向量 与b，作 = ， =b，则∠AOB= ( ）叫做向量 与b的夹角。 （2)．两个向量的数量积：

已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 ·b=｜ |·｜b｜cos ． 其中｜b|cos 称为向量b在 方向上的投影． （3)．向量的数量积的性质:

若 =( )，b=（ )则e· = ·e=| ｜cos （e为单位向量)； ⊥b ·b=0 （ ，b为非零向量）；｜ ｜= ； cos = = ．

(4） ．向量的数量积的运算律: ·b=b· ;（ )·b= ( ·b）= ·（ b）;( ＋b)·c= ·c+b·c．

6。主要思想与方法：

本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形,以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等.由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。 七、立体几何

1.平面的基本性质:掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题. 能够用斜二测法作图。

2。空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面的概念；

会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面

①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交.

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些?

④直线与平面所成的角:关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900｝

⑤三垂线定理及其逆定理:每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量。如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线。 4。平面与平面

（1）位置关系:平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况) (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

（3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理,可以证明线面垂直。

（4）两平面间的距离问题→点到面的距离问题→ （5）二面角。二面角的平面交的作法及求法：

①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；

②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形. ③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法？

具体的公式

http：//www。ggjy。net/xspd/xsbk/200408/815.html 高中数学公式大全

http：//www。xyjy。cn/Article/UploadFiles/200510/20051013100307519。doc 高中数学常用公式及常用结论

高中数学常用公式及常用结论

高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系 , .

2。德摩根公式 .

3.包含关系

4。容斥原理 .

5．集合 的子集个数共有 个;真子集有 –1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有 –2个.

6。二次函数的解析式的三种形式 （1)一般式 ； （2）顶点式 ； （3）零点式 。

7。解连不等式 常有以下转化形式

8。方程 在 上有且只有一个实根，与 不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件。特别地， 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ，或 且 ，或 且 .

初中数学常用公式定理

1、整数（包括:正整数、0、负整数）和分数（包括：有限小数和无限环循小数）都是有理数．如:－3,

，0.231,0。737373…，

，

．无限不环循小数叫做无理数．如:π,－

，

0。1010010001…(两个1之间依次多1个0）．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值:a≥0π－3。14．

3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0。05972精确到0.001得0。060，结果有两个有效数字6,0． n是整数）,这种记数法叫做科学记数法．4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，如:10－5． －40700＝－4。07×105，0。000043＝4。3×

5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式）：①（a＋b)（a－b）＝a2－b2．②（a±b）2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3．④(a－b）（a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b）2－2ab，(a－b）2＝（a＋b)2－4ab．

6、幂的运算性质：①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③（am）n＝amn．④（ab）n＝anbn．⑤(）n＝n． ⑥a－n＝

丨a丨＝a；a≤0

丨a丨＝－a．如：丨－

丨＝

；丨3。14－π丨＝

1，特别：(）－n＝（)n．⑦a0＝1（a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4,(a3）2na，5－2＝

＝

，（）－2＝（）2＝，（－3。14）

＝a6,（3a3)3＝27a9，（－3）－1＝－º＝1,(

－

）0＝1．

7、二次根式：①（＞0,b≥0)．如：①（3

)2＝a(a≥0），②)2＝45．②

＝丨a丨,③＝6．③a＜0时,

＝×＝－a

，④．④

＝（a的平方

根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程:对于方程：ax2＋bx＋c＝0:

2bb4ac①求根公式是x＝，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式．

2a当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根；

当△＜0时，方程没有实数根．注意:当△≥0时,方程有实数根．

②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a（x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－（a＋b)x＋ab＝0．

9、一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距）．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升）；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别:当b＝0时，y＝kx(k≠0）又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点．

10、反比例函数y＝（k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时,双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降）；当k＜0时，双曲线在二、四象限（在每一象限内,从左向右上升)．因此,它的增减性与一次函数相反．

11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个），叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列,把处在最中间的一个数(或两个数的平均数）叫做这组数据的中位数． （2）公式:设有n个数x1，x2，…,xn,那么: ①平均数为：xx1x2......nxn；

②极差:

用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即:极差=最大值—最小值; ③方差： 数

据

x1x1、

x22……,

xn的

2方差为

s2x2，

则

s2=

1nxx2x.....xn标准差：方差的算术平方根.

数据

x1、

2x2……,

2xn的标准

2差

s，则

s=

1nx1xx2x.....xnx

一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。 12、频率与概率:

(1）频率=频数,各小组的频数之和等于总数,各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中

总数各个小长方形的面积为各组频率。 （2）概率

①如果用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P（A）≤1； P（必然事件）=1；P(不可能事件）=0；

②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法(包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.

③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值； 13、锐角三角函数:

①设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝

,∠A的正切：tanA＝

，∠A的余弦:cosA＝-

．并且sin2A＋cos2A＝1．

0＜sinA＜1,0＜cosA＜1,tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小． ②余角公式:sin(90º－A）＝cosA，cos（90º－A）＝sinA． sin30º③特殊角的三角函数值：＝cos60º＝,sin45º＝cos45º＝＝

,tan45º＝1，tan60º＝

．

h α l

,sin60º＝cos30º＝

tan30º，

铅垂高度④斜坡的坡度：i＝＝．设坡角为α,则i＝tanα＝．

水平宽度14、平面直角坐标系中的有关知识：

(1）对称性:若直角坐标系内一点P（a，b）,则P关于x轴对称的点为P1（a，－b),P关于y轴对称的点为P2（－a，b）,关于原点对称的点为P3（－a，－b）.

(2）坐标平移：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位,坐标变为P（a－h，b）,向右平移h个单位,坐标变为P（a＋h，b）；向上平移h个单位,坐标变为P(a,b＋h）,向下平移h个单位,坐标变为P(a，b－h).如:点A（2，－1)向上平移2个单位,再向右平移5个单位，则坐标变为A（7,1）。 15、二次函数的有关知识:

1.定义:一般地,如果yaxbxc(a,b,c是常数，a0),那么y叫做x的二次函数。 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①a的符号决定抛物线的开口方向:当a0时，开口向上；当a0时，开口向下;

2a相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y轴（或重合)的直线记作xh。特别地,y轴记作直线x0. 几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 当a0时 开口向上 当a0时 开口向下 对称轴 顶点坐标 (0,0） （0， k） （h，0) （h，k) yax2 yaxk yaxh 2x0（y轴) 2x0（y轴） xh xh xb 2ayaxhk 2yax2bxc b4acb2，（2a4a） 4.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb2b4acb2（，） (1)公式法：yaxbxcax,∴顶点是,对称2a4a2a4a22轴是直线xb。 2a2 （2）配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点

为（h，k)，对称轴是直线xh。

（3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的

交点是顶点。

(x2,y)（及y值相同),则对称轴方程可以表示为： 若已知抛物线上两点(x1,y)、x1x2 229。抛物线yaxbxc中，a,b,c的作用

x （1）a决定开口方向及开口大小，这与yax中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线yaxbxc的对称轴是直线

22bb

,故：①b0时，对称轴为y轴；②0(即a、b同号）时，对称轴在y2aab轴左侧;③0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。

a2 （3）c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置。

x 当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：

2 ①c0，抛物线经过原点; ②c0，与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半

轴。

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则 11。用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。 （2）顶点式：yaxhk。已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2b 0。

a2 (3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式:yaxx1xx2。 12.直线与抛物线的交点

2 (1）y轴与抛物线yaxbxc得交点为（0, c）.

（2）抛物线与x轴的交点

二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次

方程

2ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根

的判别式判定：

①有两个交点（0）抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）（0）抛物线与x轴相切； ③没有交点（0）抛物线与x轴相离. （3)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（2)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标

相等，设纵坐

标为k,则横坐标是axbxck的两个实数根.

（4)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yaxbxca0的图像G的

22交点,由方程组

ykxnyaxbxc2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时

l与G有两个交点； ②方

程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点。 （5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yaxbxc与x轴两交点为

2Ax1，0，Bx2，0，则ABx1x2

n边形的内角和等于(n－2)180ºn是正整数） 1、多边形内角和公式：(n≥3，，外角和等于360º2、平行线分线段成比例定理：

（1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图：a∥b∥c,直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、C D、E、F，则有

ABDEABDEBCEF,, BCEFACDFACDF（2）推论:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例. 如图:△ABC中,DE∥BC，DE与AB、AC相交与点D、E,则有：

DEbBE cF CBBCC ＊3、直角三角形中的射影定理:如图:Rt△ABC中，∠ACB＝90o，CD⊥AB于D，则有： （1）CDADBD（2）ACADAB（3）BCBDAB 4、圆的有关性质：

A222ADAEADAEDEDBEC l,,lDBECBCABACAABDAC12AEADaCDB（1)垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心;②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注:具备①，③时，弦不能是直径．（2）两条平行弦所夹的弧相等．(3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半．（6)同弧或等弧所对的圆周角相等．（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．（8）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角,直径是最长的弦．(9)圆内接四边形的对角互补． 是90º

5、三角形的内心与外心:三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．

常见结论：（1）Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边)，则它的内切圆的半径-

rabc； 21lr 2(2）△ABC的周长为l，面积为S，其内切圆的半径为r，则S＊6、弦切角定理及其推论：

（1)弦切角：顶点在圆上,并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠PAC为弦切角.

（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。

11如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点,则PACACAOC

22推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）

如果AC是⊙O的弦,PA是⊙O的切线，A为切点，则PACABC

＊7、相交弦定理、割线定理、切割线定理:

B

O C A P 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图①,即:PA·PB = PC·PD

割线定理 :从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等. 如图②，即：PA·PB = PC·PD

切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图③，即:PC2 = PA·PB

8、面积公式:

COA①

PBDCOADBPOACBP② ③

①S正△＝×（边长)．

2

②S平行四边形＝底×高．

③S菱形＝底×高＝×（对角线的积），

1S梯形(上底下底)高中位线高

2④S圆＝πR． ⑤l圆周长＝2πR． ⑥弧长L＝ ⑦S扇形．

2

nr21lr 36022

⑧S圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh,S全面积＝S侧＋S底＝2πrh＋2πr ⑨S圆锥侧＝×底面周长×母线＝πrb， S全面积＝S侧＋S底＝πrb＋πr

2