２０１ ２ ＮＯ ０５ Ｃｈｌｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｌｎｎｏｖａｔＩｏｒｌ Ｈｅｒａｌｄ 理论前沿 函数的概念及其发展史 刘玉晓 （邢台市现代职业学校财贸校区商贸艺术学科 河北邢台 ０５４０００） 摘要：函数概念是全部数学最重要的概念之一。本文主要论述了函数概念的三种定义：变量说，对应说和关系说。以及函数概念的演变 历史，说明函数概念的历史映射了整个数学的发展史。 关键词：变量 函数 集合 映射 中图分类号：Ｏ １ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ６７３－－９７９５（２０１ ２）０２（ｂ）－Ｏ１ ０４－－０１ 性、闭区间上函数的最大值和最小值等问 题。 函数这样一个重要概念的形成和发展 量。到１６９８年他就采用了莱布尼兹的“ｘ的 是经过了漫长岁月的。在不同的阶段，从观 函数”一词作为他这个量的名字了。等到 点上和表示方法也不尽相同。回顾函数概 １ １ ８年他首次使用变量概念给出了不用集 ２．４函数概念的再次发展 念的定义以及演变历史，对加深函数概念 合形式的函数定义：一个变量的函数是指 的理解大有裨益。 由这个变量和常量以任何一种方式组成的 一种量。”约翰的学生、著名数学家欧拉在 １函数概念的三种定义 １ ７３４年欧拉就给出了非常形象的、一直沿 在当代国内外教学教材中，关于函数 用至今的函数符号ｆ（ｘ）。拉格朗１３毫无疑问 概念有三种代表定义。 借鉴了其他一些人的工作。１７９７年，进一步 定义ｌ（变量说）：如果两个变量按照某 给出了函数的一个定义。此时，函数已成为 一确定的规律联系着，当第一变量变化时， 微积分的中心概念，而且初等函数已被充 第二变量也随着变化，就把第二变量叫做 分地认识，并实际发展成为我们今天见到 第一变量（自变量）的函数。 的样子。到ｌ ８世纪后半叶，对函数的理解除 定义２（对应说）：设Ａ和Ｂ使两个集合，如 了原先确立的变量之间对应变化的思想之 果按照某种对应法则ｆ，对于集合Ａ中的任 外，还认识到了函数必须有解析的表达式。 何一个元素，在集合Ｂ中都有唯一的元素和 傅立叶、狄利克雷等，还有欧拉、拉格朗日 他对应，这样的对应叫做从集合Ａ到集合Ｂ 等人的工作再次证明了当下对函数概念理 的函数，记作ｆ：Ａ—Ｂ。 解的局限性，并由此开始了对函数的进一 定义３（关系说）：设Ａ和Ｂ是两个集合，ｆ 步探讨。 是Ａ Ｘ Ｂ的一个非空子集，如果ｆ满足：对于 ２．３函数概念的确立 任意ａ∈Ａ，存在唯一的ｂ∈Ｂ，使（ａ，ｂ）∈ｆ，则 １ ８世纪后半叶在关于弦振动问题的大 称ｆ为Ａ到Ｂ的一个函数。 讨论中，欧拉和拉格朗日开始允许函数在 上述三个定义中，定义１是源于欧拉的 不同的区域上有不同的表达式，而这样又 典型的变量定义，定义２是以狄利克雷的定 导致函数在连续性上破绽百出，这一切促 义为基础经过改进后的近代定义；而定义３ 使欧拉、拉格朗日、达朗贝尔等数学家们不 则是源出法国布尔巴基学派的现在定义。 得不重新考虑函数的概念。傅立叶的工作 更根本地改变了函数的面貌，震惊了当时 ２函数概念的发展史 的数学界。ｌ ９世纪最杰出的法国数学家柯 函数概念的发展史的大体上可分为五 西在１８２１年写的《解析教程》中给出了如下 个阶段。 函数定义。 ２．１函数思想的萌芽 在某些变量间存在着一定的关系，当 函数概念的起源，最早和人们对动点 一经给定其中某一变量的值，其它变量的 轨迹的研究密不可分。人们通常把变量概 值也随之确定，则将最初的变量称为自变 念的引入和解析几何的诞生归功与笛卡 量，其他各个变量称为函数。 尔，他确实让用代数关系式表示变化的量 这个定义把函数概念与曲线、连续、解 间的关系（主要是曲线）的方法逐渐流行起 析式等纠缠不清的关系给予澄清，也避免 来了。总的说来，尽管描绘曲线方程的解析 了数学意义欠严格的“变化”一词。 几何的方法已出现，但至少到１７世纪上半 著名的狄利克雷函数的出现无疑是给 叶，纯粹的函数概念并没有被提出来。但变 柯西出了个难题，它是数学家狄利克雷发 量已引入了数学，用变量数学来描绘运动、 明的，这个函数是不容易用解析式来表达 刻画动点的轨迹无疑是人们对现实中这种 的。所以１ ８３７年狄利克雷也给函数下了一 变化的相依关系在认识论上的飞跃，它正 个定义。 代表了函数思想的萌芽。 如果对于给定区间上的每一个Ｘ的值 ２．２函数概念的初步形成 有唯一的ｙ值同它对应，那么ｙ就是Ｘ的一个 “函数”一词，最初是在莱布尼兹１６７３ 函数，至于在整个区间上ｙ是否按照一种或 年的一篇手稿里使用的。汉语中的“函数” 多种规律依赖于Ｘ，或者ｙ依赖于ｘ是否可用 一词，是１ ８５９年清代数学家李善兰在翻译 数学运算来表达，那都是无关紧要的。 《代数学》一书时所采用的翻译名词，这种 这个定义不仅把变量之间的关系描述 用法我国和日本一直沿续至今。 为对应变化的关系，而且就函数的解析表 函数概念的形成与微积分的发展是密 达式也做了讨论。在此基础上，柯西、黎曼、 不可分的。早在ｌ６９７年，约翰・伯努利就谈 波尔查诺、魏尔斯特拉斯等围绕函数慨念， 到一个按任何方式用变量和常量构成的 广泛地研究了函数的连续性、可微性、可积 Ｏ４ 中国科教创新导刊 Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ １９ｌｉｔ纪末２０世纪初，把函数看作一种对 应或者映射的思想已经完成。从ｌ９世纪７０ 年代开始，康托尔在证明了任意函数都可 以唯一地展成傅立叶级数后，发表了一系 列的文章，系统地分析和刻画了实数的连 续性和无穷集合的性质，从而开创了一个 崭新的数学分支——集合论。没有用多少 年，到２Ｏ世纪初，集合论的思想和方法就开 始深入到数学的各个领域，所以用集合论 的语言重新叙述函数的定义，成为进一步 发展它的最好途径。布尔巴基学派ｌ９３９年 给出了函数的一个较完整的定义。 设Ｅ和Ｆ是两个集合，它们可以不同， 也可以相同。Ｅ中的一个变元ｘ和Ｆ中的变 元ｙ之间的一个关系称为一个函数，如果对 每一个Ｘ∈Ｅ，都存在唯一的ｙ∈Ｆ，它满足 ｇＥｘ的给定关系。 ２．５函数概念的进一步发展并没有结束 从ｌ７世纪末１ ８世纪初函数慨念明确提 出来以后，函数概念经过了３ＯＯ多年的严密 化历程，才发展到现在相对比较完善的地 步。当２０世纪的人们为函数概念所取得的 胜利欢呼的时候，它所赖以定义的集合论 发生了危机。罗素的类型论、策梅罗的公理 集合论以及更为广泛的公理集合论和希尔 伯特的形式化系统稍稍缓和了数学界的惊 恐，但稍后歌德尔的不完全性定理再次告 知人们，追求理想中的完美仍然只是一个 梦，探索函数概念的道路仍然很漫长。 ３结语 函数概念是重要的。从函数的演变历 史，我们可以看到函数概念的内涵不断被 挖掘、丰富和精确刻画的历史过程，同时看 出，数学概念并非生来就有、一成不变的， 是人们在对客观世界深入了解的过程中得 到的，我们的知的只是其中很少的一部分， 所以还需要不断加以发展，以适应新的需 要。 参考文献 ［１】Ｍ．克莱茵．古今数学思想（第三、四册） 【Ｍ】．上海科技出版社． ［２］李长明，周焕山．初等数学研究［Ｍ】．高 等教育出版社． ［３］欧拉．无穷分析引论（上、下册）【Ｍ］．山西 教育出版社． ［４］李鹏奇．函数概念３００年［Ｊ】．载自：自然辩 证法研究，２００ｌ（３）．