北京海淀区2013-2014九年级第一学期期中数学试题及答案

数学试卷

（分数：120分时间：120分钟） 2013.11

班级姓名学号 成绩

试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上做答无效. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．

1．一元二次方程x2x30的二次项系数、一次项系数、常数项分别是

A. 1,2,3 B. 1,-2,3 C. 1,2,3 D. 1,2,3 2．在角、等边三角形、平行四边形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A．角B．等边三角形 C．平行四边形 D．圆 3．函数y2x2中，自变量x的取值范围是

A．x2B．x2C．x2 D．x2

4．如图，点A、B、C在⊙O上，若AOB110，则ACB的大小是 A．35B．45 C．55D．110

5．用配方法解方程x10x90,配方正确的是 A．(x5)16B．(x5)34 C．(x5)16D．(x5)25

6．如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是 A．60B．72 C．90D．120 7．若

22222OABCa2b30，则ab的值为

A．-1B．1C．5D．6

1

8．如图，⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为点P作弦，那么长度为整数值的弦的条数为 A．3 B．4

C．5 D．6

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

10，如果过

OP9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A'B'C的位置，若 ACB15，B120，则A'的大小为________．

10．已知一元二次方程有一个根是0，那么这个方程可以是

（填上你认为正确的一个方程即可）．

D

11．如图，AB是⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两点，若

ABABD40，则BCD的大小为． O

C

12．下面是一个按某种规律排列的数阵：

1 第1行 2 第2行 2 3 3 第3行 5 6 7 22

第4行 10 11 23 13 14 15 4

根据数阵排列的规律，则第5行从左向右数第5个数为，第n（n3，且n是整数）行从左向右数第5个数是（用含n的代数式表示）． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：24363．

14．用公式法解一元二次方程：x24x1．

15．如图，△ABC与△AED均是等边三角形，连接BE、CD．请在图中找出一条与CD长度相等的线段，并证明你的结论． 结论：CD．

C证明：

D

AB

2

E16．当x

51时，求代数式x22x5的值．

17．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．

求证：AC=BD． 证明：

O

AB CD

18．列方程（组）解应用题：

如图，有一块长20米，宽12米的矩形草坪，计划沿水平和竖直方向各修一条宽度

3相同的小路，剩余的草坪面积是原来的，求小路的宽度．

4解：

四、解答题（每小题5分，共20分）

19．已知关于x的一元二次方程x2mxm10的一个根为2. (1) 求m的值及另一根；

（2）若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长．

20．如图，DE为半圆的直径，O为圆心，DE=10，延长DE到A，使得EA=1，直线AC与半圆交于B、C两点，且DAC30． （1）求弦BC的长； （2）求△AOC的面积．

22CBDOEA21．已知关于x的方程x2(k1)xk0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；

（2）求证：x1不可能是此方程的实数根．

3

22．阅读下面的材料：

小明在研究中心对称问题时发现：

A1旋如图1，当点A1为旋转中心时，点P绕着点A1旋转180°得到P1点，点P1再绕着点

转180°得到P2点，这时点P与点P2重合.

如图2，当点A1、A2为旋转中心时，点P绕着点A1旋转180°得到P1点，点P1绕着点A2旋转180°得到P2点，点P2绕着点A1旋转180°得到P3点，点P3绕着点A2旋转180°得到P4点,小明发现P、P4两点关于点P2中心对称.

图1 图2 （1）请在图2中画出点P3、P4， 小明在证明P、P4两点关于点P2中心对称时，除了说

明P、P2、P4三点共线之外，还需证明；

（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，当A1(0,3)、A2(2,0)、A3(2,0)为旋转中心

P时，点P(0,4)绕着点A1旋转180°得到P得到P2点；点1点；点1绕着点A2旋转180°P2绕着点A3旋转180°得到P3点；点P3绕着点A1旋转180°得到点P4点P操作若干次得到点P5、P6、，则点P2的坐标为，点2017的坐为．

. 继续如此

图 3

4

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．已知关于x的一元二次方程mx(2m1)x20． （1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值； （3）若此方程的两个实数根分别为x1、x2，

求代数式m(x1x2)(2m1)(x1x2)2(x1x2)5的值．

24．已知在△ABC中，ACB90，CACB62，CDAB于D，点E在直线CD上，DE332221CD，点F在线段AB上，M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N2点.

（1）如图1，若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关系和数量关系：___________，___________； （2）在（1）的条件下，当点F在线段AD上，且AF2FD时，求证：CNE45； （3）当点E在线段CD的延长线上时，在线段AB上是否存在点F，使得

CNE45．若存在，请直接写出AF的长度；若不存在，请说明理由．

CCNEAFDMBA

D备用图 B

图1

5

25．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且AB10，点M为线段AB的中点．

（1）如图1，线段OM的长度为________________；

（2）如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ACB，当点C在第一象限时，求直线OC所对应的函数的解析式； （3）如图3，设点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上，且DE10，以DE为边在

第三象限内作正方形DGFE，请求出线段MG长度的最大值，并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式．

yyBMBCOAxOAx

图1

图2

6

yBMGDOAxEF图3

海淀区九年级第一学期期中练习

2013.11

数学试卷答案及评分参考

阅卷须知:

1.为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.

2.若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分. 3.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 答案 1 A 2 D 3 D 4 C 5 A 6 B 7 B 8 C 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．45°；10．x2x0(二次项系数不为0,且常数项为0均正确)；11．50°；12．21，

n22n6(每空2分)．

三、解答题（本题共30分,每小题5分） 13．（本小题满分5分）

解：24363

818………………………………………………………………………2分

2232…………………………………………………………………4分 52.……………………………………………………………………………5分

14．（本小题满分5分）

解：原方程可化为x2+4x10，……………………………………………………1分

a1,b4,c1,

4241(1)=20>0,…………………………………………………………2分

方程有两个不相等的实数根,

bb24ac420x25，……………………………………4分

2a2即x125,x225．……………………………………………………5分

15．（本小题满分5分）

结论:CDBE．……………………………………………………………………1分 证明：△ABC与△AED是等边三角形，

∴AEAD，ABAC，CABDAE60．…2分 ∴CABDABDAEDAB，

即CADBAE．………………………………3分 在△CAD和△BAE中，

7

CDAEBACAB,CADBAE, ADAE,∴△CAD≌△BAE．…………………………………………………………4分 ∴CDBE．…………………………………………………………………5分

16．（本小题满分5分）

解：x51，

∴x15．

∴(x1)25．………………………………………………………………1分

∴x22x15．………………………………………………………………2分

∴x22x4．…………………………………………………………………3分 ∴x22x5451．……………………………………………………5分

17．（本小题满分5分）

证明：过点O作OMAB于M，…………………………1分

由垂径定理可得AMBM,CMDM．……………3分

∴AMCMBMDM．…………………………4分 即ACBD．…………………………………………5分

OACMDB 18．（本小题满分5分）

解：设小路的宽度是x米．………………………………………………………1分

3由题意可列方程，(20x)(12x)2012．……………………………2分

4化简得, x232x600．

解得, x130,x22．………………………………………………………3分

由题意可知x3020不合题意舍去，x2符合题意.…………………4分 答：小路的宽度是2米.……………………………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（本小题满分5分）

解：（1）∵关于x的一元二次方程x2mxm10的一个根为2，

∴222mm10.……………………………………………………1分 ∴m5.……………………………………………………………………2分 ∴一元二次方程为x25x60.

解得x12,x23.…………………………………………………………3分

∴m5，方程另一根为3.

（2）当长度为2的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，此时三角形的周长为

2+3+3=8；………………………………………………………………4分

当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为2，此时三角形的周长为2+2+3=7. ………………………………………………………………5分

8

20．（本小题满分5分）

解：（1）过点O作OM⊥BC于M.

由垂径定理可得：BM=CM.…1分

∵DAC30, ∴OM1OA.

2CM∵直径DE=10， EA=1，

B∴ODOCOE=5.

A∴OAOEEA516. ODE∴OM3.…………………2分

在Rt△COM中，CM2OC2OM2523216. ∴CM4. ∴BM4.

∴BCBM+CM8.……………………………………………………3分 (2)在Rt△AOM中，AM2OA2OM2623227.

∴AM33.……………………………………………………………………4分 ∴ACAM+CM334. ∵OM⊥AC, ∴SAOC119ACOM(334)336.……………………………5分 222

21．（本小题满分5分）

解：(1)∵关于x的方程x22(k1)xk20有两个不相等的实数根,

∴4(k1)24k2=8k+4>0.………………………………………………2分 ∴k>1.…………………………………………………………………3分 2(2)∵当x1时，左边=x22(k1)xk2

(1)22(k1)(1)k2

k22k3…………………………………………4分 (k+1)220．

而右边=0,

∴左边右边．

∴x1不可能是此方程的实数根．……………………………………5分

22.（本小题满分5分）

（1）正确画出P3、P4点（图略）．………………………………………………1分

PP2=P2P4．……………………………………………………………………2分

（2）（4，2）．…………………………………………………………………3分

（0,2）．……………………………………………………………………5分

9

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23.（本小题满分7分）

解：（1）由题意可知m0．

(2m1)242m

=4m24m1(2m1)20．……………………………………………2分

∴此方程总有两个实数根．

(2m1)(2m1)2（2）方程的两个实数根为x，

2m∴x12,x21．…………………………………………………………4分 m∵方程的两个实数根都是整数，且m为整数，

∴m1．…………………………………………………………………5分

（3）∵原方程的两个实数根分别为x1、x2，

∴mx12(2m1)x120

2mx2(2m1)x220．……………………………………………………6分

332∴m(x1x2)(2m1)(x12x2)2(x1x2)5

32(2m1)x22x2]+5 =[mx13(2m1)x22x1]+[mx212(2m1)x22]+5 =x1[mx12(2m1)x2]+x2[mx21=x10x205

=5．…………………………………………………………………………7分

24.（本小题满分8分）

（1）AE⊥CM，AE=CM．……………………………………………………2分 （2）如图，过点A作AG⊥AB,且AG=BM,，连接CG、FG,延长AE交CM于H.

∵ACB90,CACB62,

∴∠CAB=∠CBA=45°，AB=CA2CB212. ∴∠GAC=∠MBC=45°. ∵CDAB,

∴CD=AD=BD=AB6. ∵M是DB的中点, ∴BMDM3. ∴AG3.

∵AF2FD,

∴AF4，DF2.

10

C12GHNEAFDMB∴FMFD+DM2+3=5. ∵AG⊥AF, ∴FGAG2+AF232+42=5.

∴FGFM.……………………………………………………………………3分 在△CAG和△CBM中， CACB， CAGCBM，AGBM，∴△CAG≌△CBM．

∴CGCM,ACGBCM．

∴MCGACM+ACGACM+BCM90．………………………4分 在△FCG和△FCM中， CGCM， FGFM，CFCF，∴△FCG≌△FCM．

∴FCGFCM．………………………………………………………5分 ∴FCH45.

由（1）知AE⊥CM， ∴CHN90

∴CNE45.………………………………………………………………6分 （3）存在.

AF=8.…………………………………………………………………………8分

25.（本小题满分7分）

（1）5;…………………………………………………………………………………1分 （2）如图1, 过点C分别作CP⊥x轴于P，CQ⊥y轴于Q．

∴∠CQB=∠CPA=90°，

y∵∠QOP=90°，

∴∠QCP=90°．

∵∠BCA=90°， ∴∠BCQ=∠ACP． ∵BC=AC，

∴△BCQ≌△ACP．

∴CQ=CP．………………………………3分 ∵点C在第一象限,

∴不妨设C点的坐标为(a，a)(其中a0)． 设直线OC所对应的函数解析式为ykx，

∴aka，解得k=1，

∴直线OC所对应的函数解析式为yx．…………………………………4分

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BQCOAPx图1 （3）取DE的中点N，连结ON、NG、OM.

∵∠AOB=90°，

1∴OM=AB5．

2

yBMDGNEFOAx同理ON=5．

∵正方形DGFE，N为DE中点，DE=10， ∴NG==DN2+DG21025255．

在点M与G之间总有MGMO+ON+NG(如图2)，

1由于∠DNG的大小为定值，只要DONDNG,且

2图2 yM、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线,此时等号成立（如图3）.………………………5分

B∴线段MG取最大值10+55．………………6分

此时直线MG的解析式y

MOAxDNGE图3 15x．……………………………………7分2

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