图形的初步认识：
三角形
考点一、三角形
1、三角形的三边关系定理及推论
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 2、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中： 等角平等边；等边平等角；大角对大边；
大边对大角。
4、三角形的面积
三角形的面积 = ×底×高
180°。
1
2
考点二、全等三角形
1 、全等三角形的观点
能够完整重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、三角形全等的判断 三角形全等的判断定理：
（ 1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形
全等（可简写成“边角边”或“ SAS”）
（ 2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
全等（可简写成“角边角”或“ ASA”）
（ 3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写
成“边边边”或“ SSS”）。
（ 4）角角边定理： 有两角和一边对应相等的两个三角形全等 （可
简写成“角角边”或“ AAS”）。
直角三角形全等的判断：
关于特别的直角三角形， 判断它们全等时， 还有 HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ HL”）
3、全等变换
只改变图形的地点，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包含一下三种：
（ 1）平移变换：把图形沿某条直线平行挪动的变换叫做平移变 换。
（ 2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这类变换叫做对称
变换。
（ 3）旋转变换：将图形绕某点旋转必定的角度到另一个地点，
这类变换叫做旋转变换。 考点三、等腰三角形
1 、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边平等角）
推论 1：等腰三角形顶角均分线均分底边并且垂直于底边。即等
腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于
60°。
2、三角形中的中位线
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（ 1）三角形共有三条中位线，并且它们又从头构成一个新的三
角形。
（ 2）要会差别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它
的一半。
三角形中位线定理的作用：
地点关系：能够证明两条直线平行。数
目关系：能够证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论 1：三条中位线构成一个三角形，其周长为原三角形周长的
一半。
结论 2：三条中位线将原三角形切割成四个全等的三角形。 结论 3：三条中位线将原三角形区分出三个面积相等的平行四边形。
结论 4：三角形一条中线和与它订交的中位线相互均分。
结论 5：三角形中随意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
解直角三角形
考点一、直角三角形的性质
1 、直角三角形的两个锐角互余
2、在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、直角三角形两直角边 a，b 的平
方和等于斜边 c 的平方，即 a 2
b2
c 2
5、拍照定理
在直角三角形中，斜边上的高线是
两直角边在斜边上的拍照的比率中项，
每条直角边是它们在斜边上的拍照和斜边的比率中项
∠ACB=90°
CD2
AD ?BD
AD ? AB BD ? AB
AC2
CD⊥ AB
BC2
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：
AB? CD=AC?BC
考点二、锐角三角函数的观点
（3~8 分）
1 、如图，在△ ABC中，∠ C=90°
① sin A
A的对边 斜边
a
c
② cos A
A的邻边 b 斜边
c
a b b a
③ tan A
A的对边 A的邻边 A的邻边 A的对边
④ cotA
2、一些特别角的三角函数值 三角函数
sin α
0 ° 0
30 °
1 2 3 2 3 3
45 °
2 2 2 2
60 °
3 2 1 2
90 °
1
cos α
1 0
tan α
0 1
3
不存在
cot α
不存在
3
1
3 3
0
3、各锐角三角函数之间的关系
（ 1）互余关系： sinA=cos(90 °— A) ， cosA=sin(90 °— A) ，
tanA=cot(90 °— A)， cotA=tan(90 °— A)
（2）平方关系： sin 2 A cos2 A
1
（3）倒数关系： tanA ? tan(90 °— A)=1 （4）弦切关系： tanA=
sin A
cos A
三角形相像
考点一、比率线段
1、比率的性质 （1）基天性质
①a：b=c：d
ad=bc
b 2 ac
②a：b=b：c
（2）更比性质（互换比率的内项或外项）
ab
（互换内项）
c
a b
c d
d
b a
d c
c
d
（互换外项）
b a
（同时互换内项和外项）
（3）反比性质（互换比的前项、后项） ：
a b
c d
b a
d
c
（4）合比性质：
a b
c d
a b b
c d
d
（5）等比性质：
a b c d e f
m
n
(b d f
n 0)
a c e b d f m a n b
3、黄金切割
把线段 AB分红两条线段 AC，BC（AC>BC），并且使 AC是 AB和 BC
的比率中项，叫做把线段 AB黄金切割，点 C叫做线段 AB的黄金切割
点，此中 AC=
5
1
2
AB 0.618AB
考点二、平行线分线段成比率定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比率。
考点三、相像三角形
1 、相像三角形的观点
对应角相等，对应边成比率的三角形叫做相像三角形。相像用符 号“∽”来表示
2、相像三角形的基本定理
平行于三角形一边的直线和其余两边（或两边的延伸线）订交，所构成的三角形与原三角形相像。
相像三角形的等价关系：
（1）反身性：关于任一△ ABC，都有△ ABC∽△ ABC；
（2）对称性：若△ ABC∽△ A’B’C’，则△ A’B’ C’∽△ ABC
（3）传达性：若△ ABC∽△ A’B’C’，并且△ A’B’C’∽△ A’’
B’’C’’，则△ ABC∽△ A’’B’’C’’。
3、三角形相像的判断
（1）三角形相像的判断方法
①定义法：对应角相等，对应边成比率的两个三角形相像
②平行法：平行于三角形一边的直线和其余两边（或两边的延伸
线）订交，所构成的三角形与原三角形相像
③判断定理 1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等， 那么这两个三角形相像， 可简述为两角对应相等， 两三
角形相像。
④判断定理 2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比率， 并且夹角相等， 那么这两个三角形相像， 可简述为两边对应成比率且夹角相等，两三角形相像。
⑤判断定理 3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比率，那么这两个三角形相像，可简述为三边对应成比率，两三角形相像
（2）直角三角形相像的判断方法
①以上各样判断方法均合用
②定理：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角
三角形的斜边和一条直角边对应成比率， 那么这两个直角三角形相像
4、相像三角形的性质
（1）相像三角形的对应角相等，对应边成比率
（ 2）相像三角形对应高的比、对应中线的比与对应角均分线的
比都等于相像比
（ 3）相像三角形周长的比等于相像比 （ 4）相像三角形面积的比等于相像比的平方。
5、相像多边形
（1）假如两个边数同样的多边形的对应角相等， 对应边成比率，
那么这两个多边形叫做相像多边形。 相像多边形对应边的比叫做相像
比（或相像系数）
（2）相像多边形的性质
①相像多边形的对应角相等，对应边成比率
②相像多边形周长的比、对应付角线的比都等于相像比
③相像多边形中的对应三角形相像，相像比等于相像多边形的相
似比
④相像多边形面积的比等于相像比的平方
6、位似图形
假如两个图形不单是相像图形，并且每组对应点所在直线都经过
同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形， 这个点叫做位似中心，
此时的相像比叫做位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同向来线上，它们到位似中心
的距离之比都等于位似比。
由一个图形获得它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变
换能够把一个图形放大或减小。
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