28．1 锐角三角函数（1）
教学目标：
1、知识与技能：通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 能根据正弦概念正确进行计算。
2、过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
3、情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
教学重点：
理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
教学难点：
引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。 下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦
1
1米
3410
米
二、探索新知 【活动一】问题的引入
【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB 根据“在直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
1 2【问题二】如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与斜边的比
BC，能得到什么结论？（学生思考） AB结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
2。 2【问题三】一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△∠A=∠A1=α，那么与
分析：由于∠C=∠C1 =90o，∠A=∠A1=α，所以Rt△ABC∽Rt△A1B1C1，
A1B1C1中，∠C=∠C1=90o， 有什么关系
，即
2
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
【活动二】认识正弦
如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c。
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作sinA。 板书：sinA＝
A的对边a1 （举例说明：若a=1,c=3,则sinA=）
A的斜边c3【注意】：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF 3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
三、例题讲解
例 （教材P63-例1）如课本图28．1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．
A4(1)B3C教师对题目进行分析：求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB•就是要确定∠B的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A对边的值，所以解题时应先求斜边的高．
如图（2）在Rt△ABC中， 解：如图（1），在RtABC中，BC5 2222sinA,ABACBC435.AB13 BC3AC4因此sinA，sinB.ACAB2BC21325212AB5AB5
AC12因此sinBAB13
3
四、课堂练习
教材P64-练习第1、2题
五、课时小结
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。
六、布置作业
教材P68-习题28.1第1题
4
28．1 锐角三角函数（2）
教学目标：
1、知识与技能：了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比．逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．
2、过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
3、情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
教学重点：
理解余弦、正切的概念．
教学难点：
熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课 【复习】
1、口述正弦的定义
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=5 ，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ） A．
二、探索新知 余弦、正切的定义
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A1B1C1，∠C=∠C1 =90o，
5 3C
B．2
3C．255 D．52 ADB 5
∠B=∠B1=α，那么与有什么关系？
分析：由于∠C=∠C1 =90o，∠B=∠B1=α，所以Rt△ABC∽Rt△A1B1C1，
即
结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB，即
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA，即
锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.
三、例题讲解
例 （教材P65-例2）如课本图28．1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6，
3sinA=，求sinA、cosA、tanA的值．
5B6C 教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直角三角形中一 条边的值，要求余弦，正切值，就要求斜边与另一个直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．
教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书． 解：略
四、课堂练习
教材P64-练习第1、2题
五、课时小结
在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正切，记作tanA．
六、布置作业
教材P68-习题28.1第1题
6
A28．1 锐角三角函数（3）
教学目标：
1、知识与技能：能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．
2、过程与方法：让学生经历观察、操作等过程，知道30°，45°，60°角的三角函数值，并且进行运算．
3、情感态度与价值观：通过锐角三角函数基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，增强审美意识．
教学重点：
熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．
教学难点：
30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【引入】还记得我们推导正弦关系的时候所得结论吗？即sin300sin4502 21，2你还能推导出sin600的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？
二、探索新知
【活动】30°、45°、60°角的三角函数值的推导
【探索】1.让学生画30°、45°、60°的直角三角形,分别求出它们的三角函数值。
归纳结果
7
siaA cosA tanA
三、例题讲解
30° 45° 60° 例1 （教材P66-例3）求下列各式的值： （1）cos260°+sin260°． （2）
cos45-tan45°．
sin45 教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．
例2 （教材P66-例2）
（1） 如图28．1-9（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=6，BC=3， 求∠A的度数．
（2）如图28．1-9（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的3倍，求a．
图28.1-9（1） 图28.1-9（2）
教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．
四、课堂练习
教材P67-练习第1、2题
8
五、课时小结
本节课应掌握：30°、45°、60°角的三角函数值，并且进行计算；
六、布置作业
教材P68-习题28.1第3题
9
28．1 锐角三角函数（4）
教学目标：
1、知识与技能：让学生熟识计算器一些功能键的使用，会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角．
2、过程与方法：自己熟悉计算器，在老师的知道下求一般锐角三角函数值． 3、情感态度与价值观：让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会函数的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．
教学重点：
运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．
教学难点：
正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课 【引入】
通过上节课的学习我们知道，当锐角A是特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？
我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。
二、探索新知
【活动一】用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值
利用计算器求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）
sin37°24′，sin37°23′， cos21°28′， cos38°12′
tan52°； tan36°20′； tan75°17′；
10
【活动二】熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角. 例如：sinA=0.9816.∠A＝cosA＝0.8607，∠A＝tanA＝0.1890，∠A=tanA＝56.78，∠A＝
三、例题讲解
例1．求下列各式的值：
（1）sin42°31′ （2）cos33°18′24″ （3）tan55°10′ 例2．根据所给条件求锐角α．
（1）已知sinα=0.4771，求α．（精确到1″） （2）已知cosα=0.8451，求α．（精确到1″）
（3）已知tanα=1.4106，求α．（精确到1″）
例3．等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=108°，腰AC=10m，求底边AB的长及等腰三角形的面积．（边长精确到1cm）
四、课堂练习
教材P68-练习第1、2题
五、课时小结：
本节课应掌握：已知角度求正弦值用sin键；已知正弦值求小于90°的锐角用2ndf sin键，对于余弦与正切也有相类似的求法．
六、布置作业
教材P68-习题28.1第5题
11
； ； ； 。
28．2．1 解直角三角形
教学目标：
1、知识与技能：使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
2、过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．．
3、情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点：
直角三角形的解法．
教学难点：
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题。 见课本在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m． sinA =
BC5.2≈0.0954． AB54.5 所以∠A≈5°08′．
二、探索新知
【活动一】理解直角三角形的元素
【提问】 在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角形？
12
总结：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，既3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
【活动二】直角三角形的边角关系
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
sinAabab;cosA;tanA;cotAccbaA斜边c∠A的邻边bB∠A的对边aC
如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.
sin
的对边的邻边的对边的邻边；cos；tan；cot斜边斜边的邻边的对边(2)三边之间关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
三、例题讲解
例1：（教材P73-例1）在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=6，解这个三角形． 解：略
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
例2：（教材P73-例2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B =35，b=20，解这个三角形（结果保留小数点后一位．
引导学生思考分析完成后，让学生独立完成。
13
在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。
总结：完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
四、课堂练习 教材P74-练习
五、课时小结 本节课应掌握：
1．理解直角三角形的边角之间的关系、边之间的关系、角的关系； 2．解决有关问题；
六、布置作业
教材P77-习题28.2第1、2题
14
28．2.2 应用举例（1）
教学目标：
1、知识与技能：使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
2、过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．注意加强知识间的纵向联系．
3、情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点：
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学难点：
实际问题转化成数学模型
教学过程：
一、复习旧知、引入新课 【复习引入】
1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答． 2、在Rt△ABC中已知a=12 ,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。
二、探索新知
【活动】例：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足
， (如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子
等于多少(精确到
15
引导学生先把实际问题转化成数学模型 然后分析提出的问题是数学模型中的什么量 在这个数学模型中可用学到的什么知识来求 未知量？
几分钟后，让一个完成较好的同学示范。
三、例题讲解
例1 （教材P74-例3） 2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交汇对接。“神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距
离是多少?(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)
分析:从组合体上能最远直接看到的地球上的点，是视线与地球相切时的切点.如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船
观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出。 解：略
例2 （教材P75-例4）热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果结果取整数)?
分析：（1）可以先把上面实际问题转化成数学模型，画出直角三角形。（2）在
中，
，
.所以可以利用解
直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC. 四、课堂练习
教材P76-练习第1、2题
16
五、课时小结 本节课应掌握：
1、把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
2、归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
六、布置作业
教材P77-习题28.2第3、4题
17
28．2.2 应用举例（2）
教学目标：
1、知识与技能：使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角，巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
2、过程与方法：学会这样分析问题．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、情感态度与价值观：体会用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，提高学生的兴趣。
教学重点：
用三角函数有关知识解决方位角问题
教学难点：
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
教学过程：
一、复习旧知、引入新课 【复习】
1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。 2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线
二、例题讲解
例 （教材P76-例5）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯 塔P的南偏东34 方向上的B处.这时，这时，当海轮到达位于灯塔P的南偏东340方向时，它距离灯塔P大约130.23海里.海轮 所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)? 解：略
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三、课堂练习
教材P77-练习第1、2题
四、课时小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）． 2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形． 3．得到数学问题的答案．
4．得到实际问题的答案．
五、布置作业
教材P77-习题28.2第5、6题
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