山东省普通高等教育专升本统一考试 近三年《高等数学》真题(部分)(1)

山东省普通高等教育专升本统一考试 近三年《高等数学》真题（部分）

一、 选择题 1、函数yarcsin2x172xx2的定义域为（ ）

【2011年真题】 A、[3,4] B、 (3,4) C、 [0,2] D、 (0,2） 【答案】选C.

2、如果级数un(un0)收敛，则必有（ ）【2011年真题】

n1A、级数1发散 B、级数(u1nn1unn1n)收敛

C、级数un收敛 D、级数(1)nun收敛

n1n1【答案】选A. 二、填空题：

1、由方程x2y24xy0确定的隐函数的导数dydx= 【2011年真题】 【答案】填

x2yy2x. 2、向量a(1,1,4)与向量b(1,2,2)的夹角余弦值是 . 【2011年真题】 【答案】填7218. 3、级数xnnn!的收敛区间为_______.【2010年真题】 【答案】(,).

【解析】收敛半径：Rannlim|a|(n1)!n1nlimn!nlim(n1)， 所以，收敛区间为：(,).

4、当6xsinx2时，f(x)x是_______函数（填“单调递增”、“单调递减”） 真题】

2009年

【

【答案】单调递减

xcosxsinx【解析】f(x),令g(x)xcosxsinx,

x2g(x)cosxxsinxcosxxsinx,当

6x2时，g(x)0，

31136g(x)g()cossin0.666662226从而，f(x)0,故函数f(x)单调递减. 二、计算下列各题：

x1、求函数y(x0)的导数. 【2011年真题】

1x【解析】两边取对数，lnyx[lnxln(1x)] 两边对x 求导数，

xx111x1xylnln xy1xx1x1x1xdyxx1所以，. lndx1x1x1xxn2、级数的收敛区间为___________.【2010年真题】

n!na(n1)!【解析】收敛半径：Rlim|n|limlim(n1)，

nannn!n1所以，收敛区间为：(,).

nx2x3n1x(1)的收敛半径和收敛域. 【2009年真题】 3、求幂级数x23n【解析】 收敛半径: Rlimann1lim1,

nannn1(1)n1发散; nnn1当x1时,级数(1)n1n1当x1时,级数(1)n1n11收敛. n所以,级数的收敛域为:(1,1]. 三、证明题：

1、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只能够砌成20m长的墙壁.

问:应围成怎样的长方形才能使这间小屋面积最大. 【2011年真题】 【解析】设小屋宽为x米,则长为(20-2x)米, 小屋面积为：yx(202x)

y204x0,得x5,

由实际问题的实际意义知，当围成宽5米，长10米的长方形时小屋面积最大.

12、求抛物线yx2将圆x2y28分割后形成的两部分的面积. 【2011年真题】

21yx2【解析】联立，得x2 222xy81面积A128xx2dx20222401(22cost)dtx3

3022840(1cos2t)dt841488tsin2t2. 33203另一部分面积A28A16.

3、设函数f(x)在[0，1]上连续，且0f(x)1，证明：存在[0,1],使f().【2010年真题】 【解析】本题考查闭区间上连续函数的性质——零点定理. 证明. 令g(x)f(x)x，则g(x)在[0，1]上连续，且 g(0)f(0)0f(0)0,g(1)f(1)10,

若等号成立，即f(0)0,或f(1)1，则端点0或1即可作为要找的；

若等号不成立，即g(0)g(1)0,由零点定理知，存在(0,1),使g()0，即f(). 综上可证，存在[0,1],使f().

4、某工厂需要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？【2009年真题】

【解析】求最值问题.首先根据题意建立数学函数,然后求导数,并求出使一阶导数等于零的点,若只求得一个驻点,则可直接断定结论.

512解 设宽为x米,则长为米.

x512新砌墙的总长度为: y2x

x43

512512,得 (舍去), 032 x16x16xx2所以,当堆料场的长为32米,宽为16米时砌墙所用的材料最省. 由y2