一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
A．
B． C． D．
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
2．若
A．x≥3
3．下列计算正确的是（
B．x≤9 C．x≥﹣3 D．x≤﹣9
） B．
C．
D．
）
A．
4．在下列由线段 a，b，c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（
A．a＝40，b＝50，c＝60
B．a＝1.5，b＝2，c＝2.5
C．
，b＝1， D．a＝7，b＝24，c＝25
5．如图，点 D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，连接 DE，EF，FD，则图中平行四边形
的个数为（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个 D．4 个
6．化简
的结果是（ ）
A．
B． C． D．
7．如图，在 △Rt ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝
，则 BC 的长等于（ ）
A． 8．已知
B．2 C．1 D．
是整数，正整数 n 的最小值为（ ）
A．0
B．1
）
C．6 D．36
9．下列命题中正确的是（
A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线相等的菱形是正方形
10．如图，已知 ABC，分别以 A，C 为圆心，BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线 BC 上方交于点 D， △
连接 AD，CD，则有（
）
A．∠ADC 与∠BAD 相等
B．∠ADC 与∠BAD 互补
C．∠ADC 与∠ABC 互补
D．∠ADC 与∠ABC 互余
11．已知 a，b 分别是 6﹣
的整数部分和小数部分，则（ ）
C．a＝4， D．a＝6，
A．a＝2，
B．a＝3，
12．矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在
点 △B′处，当 CEB′为直角三角形时，BE 的长为（
）
A．3
B． C．2 或 3 D．3 或
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
13．命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是
，成立吗 ．
14．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB＝60°，AB＝3．则矩形对角线的长等
于
．
15．如图，菱形 ABCD 中，∠B＝60°，AB＝4，四边形 ACEF 是正方形，则 EF 的长为 ．
16．如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，M 是边 AD 的中点，则 CM 的长＝
．
17．已知，点 E、F、G、H 在正方形 ABCD 的边上，且 AE＝BF＝CG＝DH．在点 E、F、G、H 处分别沿
45°方向剪开（即∠BEP＝∠CFQ＝∠DGM＝∠AHN＝45°），把正方形 ABCD 剪成五个部分，中间
的部分是四边形 PQMN．
（1）如图①，四边形 PQMN
正方形（填“是”或“不是”）；
（2）如图②，延长 DA、PE，交于点 R，则
S RNH
△
：S 正方形 ABCD＝ ；
（3）若 AE＝5cm，则四边形 PQMN 的面积是
cm2．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．请你在
给出的 5×5 的正方形网格中，以格点为顶点，画出五个直角三角形，这五个直角三角形的斜边
长分别为
， ， ， ， （画出的这五个直角三角形除顶点和边可以重合外，其
余部分不能重合）．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 46 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8 分）计算：
（1） （2）
；
．
20．（6 分）已知 A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，那么 C 地在 B 地的
什么方向？
21．（6 分）如图，直角三角形纸片 OAB，∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，折叠该纸片，折痕与边
OB 交于点 C，与边 AB 交于点 D，折叠后点 B 与点 A 重合，求 OC 的长．
22．（6 分）如图，在 △Rt
ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，∠ACD＝3∠BCD，E 是斜边 AB
的中点．
（1）∠BCD 的大小＝
（度）； （度）；
（2）∠A 的大小＝
（3）求∠ECD 的大小．
23．（6 分）如图，在▱ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，AD 上，且 AF＝CE．求证：四边形 AECF 是
平行四边形．
24．（6 分）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA＝OD，求证：▱ABCD 是矩形．
25．（8 分）已知，△ABC 是等边三角形，四边形 ACFE 是平行四边形，AE＝BC．
1）如图①，求证：2）如图②，点是正方形．
▱ACFE 是菱形； D 是△ABC 内一点，且∠
ADB＝90°，∠EDC＝90°，∠ABD＝∠ACE．求证：▱ACFE
（
（
2017-2018 学年天津市和平区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（
） C．
D．
A．
B．
【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的
因数或因式．进行解答即可．
【解答】解：A、2
是最简二次根式；
B、 C、
＝
，不是最简二次根式；
＝
，不是最简二次根式；
D、
＝2 ，不是最简二次根式；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被
开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2．若
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤9 C．x≥﹣3 D．x≤﹣9
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围．
【解答】解：∵9﹣x≥0
∴x≤9
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 0．
3．下列计算正确的是（
） B．
C．
D．
A．
【分析】根据二次根式的加减法对 A、B、C 进行判断；根据二次根式的除法法则对 D 进行判断．
【解答】解：A、
与 不能合并，所以 A 选项错误；
B、2 与
不能合并，所以 B 选项错误；
，所以 C 选项错误；
C、原式＝2 D、原式＝
＝1，所以 D 选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根
式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根
式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．在下列由线段 a，b，c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（
）
A．a＝40，b＝50，c＝60
B．a＝1.5，b＝2，c＝2.5
C．
，b＝1， D．a＝7，b＝24，c＝25
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、402+502≠602，故不是直角三角形；
B、1.52+22＝2.52，故是直角三角形；
C、12+（ ）2＝（ ）2，故是直角三角形；
D、72+242＝252，故是直角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，
只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5．如图，点 D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，连接 DE，EF，FD，则图中平行四边形
的个数为（
）
A．1 个
B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】由已知点 D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点，根据三角形中位线定理，可以
推出 EF∥AB 且 EF＝AD，EF＝DB，DF∥BC 且 DF＝CE，所以得到 3 个平行四边形．
【解答】解：已知点 D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点，
∴EF∥AB 且 EF＝ AB＝AD，EF＝ AB＝DB，
DF∥BC 且 DF＝CE，
∴四边形 ADEF、四边形 BDFE 和四边形 CEDF 为平行四边形，
故选：C．
【点评】此题考查的是平行四边形的判定及三角形中位线定理，关键是有三角形中位线定理得出四
边形的对边平行且相等而判定为平行四边形．
6．化简
的结果是（ ）
A．
B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可解答．
【解答】解：
＝ ＝．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．
7．如图，在 △Rt ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝
，则 BC 的长等于（ ）
A．
B．2 C．1 D．
【分析】根据含 30 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的
一半，可知 BC＝ AB，再根据勾股定理即可求出 BC 的长． 【解答】解：
∵在 △Rt ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝ AB，
∵AC＝
，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（
）2+BC2＝4BC2，
解得：BC＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了含 30 度角的直角三角形的性质，此结论是由等边三角形的性质推出，体现了
直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
8．已知
是整数，正整数 n 的最小值为（ ）
B．1
A．0
C．6 D．36
【分析】因为
是整数，且 ，则 6n 是完全平方数，满足条件的最小正
整数 n 为 6．
【解答】解：∵
，且 是整数，
∴
是整数，即 6n 是完全平方数；
∴n 的最小正整数值为 6． 故选：C．
【点评】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非
负数．二次根式的运算法则：乘法法则
（a≥0，b≥0）．除法法则 （b
≥0，a＞0）．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
9．下列命题中正确的是（
）
A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线相等的菱形是正方形
【分析】根据特殊平行四边形的性质进行判断，对角线平分的四边形是平行四边形，对角线平分且
相等的四边形是矩形；对角线平分且垂直的四边形是菱形，对角线平分、垂直且相等的四边形
是正方形，逐个进行判断即可得出结果．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误，
B、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，故本选项错误，
C、对角线平分、垂直且相等的平行四边形是菱形，故本选项错误，
D、对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形对角线的特点，比较简单．
10．如图，已知 ABC，分别以 A，C 为圆心，BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线 BC 上方交于点 D， △
连接 AD，CD，则有（
）
A．∠ADC 与∠BAD 相等
B．∠ADC 与∠BAD 互补
C．∠ADC 与∠ABC 互补
D．∠ADC 与∠ABC 互余
【分析】首先根据已知条件可以证明四边形 ABCD 是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可
作出判定．
【解答】解：如图，依题意得 AD＝BC、CD＝AB，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ADC+∠BAD＝180°，∠ADC＝∠ABC，
∴B 正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，先根据已知条件判定平行四边形是解题的关键． 11．已知 a，b 分别是 6﹣
A．a＝2， 【分析】先求出
的整数部分和小数部分，则（ ）
C．a＝4， D．a＝6，
B．a＝3，
范围，再两边都乘以﹣1，再两边都加上 6，即可求出 a、b；．
＜3，
【解答】解：∵2＜ ∴﹣3＜﹣
＜﹣2，
∴3＜6﹣
＜4，
﹣3＝3﹣ ；
∴a＝3，b＝6﹣ 故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小和有理数的混合运算的应用，关键是根据学生的计算能力进
行解答．
12．矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在
点 △B′处，当 CEB′为直角三角形时，BE 的长为（
）
A．3
B． C．2 或 3 D．3 或
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点 B′落在矩形内部时，如答图 1 所示．
连结 AC，先利用勾股定理计算出 AC＝5，根据折叠的性质得∠AB′E＝∠B＝9△0°，而当 CEB′为
直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，所以点 A、B′、C 共线，即∠B 沿 AE 折叠，使点 B
落在对角线 AC 上的点 B′处，则 EB＝EB′，AB＝AB′＝3，可计算出 CB′＝2，设 BE＝x，则 EB′
＝x，CE＝4﹣x，然后在 △Rt CEB′中运用勾股定理可计算出 x．
②当点 B′落在 AD 边上时，如答图 2 所示．此时 ABEB′为正方形．
【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点 B′落在矩形内部时，如答图 1 所示．
连结 AC，
在 △Rt ABC 中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝
＝5，
∵∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处， ∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点 A、B′、C 共线，即∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B′处，
∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，
∴CB′＝5﹣3＝2，
设 BE＝x，则 EB′＝x，CE＝4﹣x，
在 △Rt CEB′中，
∵EB′2+CB′2＝CE2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，解得 x＝ ，
∴BE＝ ；
②当点 B′落在 AD 边上时，如答图 2 所示．
此时 ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝3．
综上所述，BE 的长为 或 3．
故选：D．
【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩
形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
13．命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是 如果两个实数平方相等，那么
这两个实数相等 ，成立吗 不成立 ．
【分析】把原命题的题设和结论交换即可得到其逆命题．
【解答】解：因为“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”它的逆命题是“如果两个实数平方
相等，那么这两个实数相等”，如两个互为相反数的数平方相等，但这两个数不相等，故不成
立．
【点评】要根据逆命题的定义，和平方的有关知识来填空，对于两个命题，如果一个命题的条件和
结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原
命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
14．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB＝60°，AB＝3．则矩形对角线的长等于
6 ．
【分析】由矩形的性质得出 OA＝O△B，由已知条件证出 AOB 是等边三角形，得出 OA＝AB＝3，得出
AC＝BD＝2OA 即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OA＝ AC，OB＝ BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB 是等边三角形，
∴OA＝AB＝3，
∴AC＝BD＝2OA＝6；
故答案为：6．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理
论证是解决问题的关键．
15．如图，菱形 ABCD 中，∠B＝60°，AB＝4，四边形 ACEF 是正方形，则 EF 的长为
4 ．
【分析】先证明△ABC 为等边三角形，从而可得到 AC 的长，然后可得到 EF 的长．
【解答】解：∵ABCD 为菱形，
∴AB＝BC．
又∵∠B＝60°，
∴△ABC 为等边三角形．
∴AC＝AB＝4．
又∵ACEF 为正方形，
∴EF＝AC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，证得△ABC 为
等边三角形是解题的关键．
16．如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，M 是边 AD 的中点，则 CM 的长＝
．
【分析】过点 M，作 ME⊥DE，交 CD 延长线于点 E，由菱形的性质和勾股定理易求 DE 和 MEA 的长，
进而在直角三角形 MEC 中，利用勾股定理可求出 CM 的长．
【解答】解：
过点 M 作 ME⊥DE，交 CD 延长线于点 E，
∵在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，
∴AD＝DC＝2，∠ADC＝120°，
∴∠ADE＝60°，
∵M 是边 AD 的中点，
∴DM＝1，
∴DE＝ ，
∴EM＝
，
＝ ， ．
∴CM＝
故答案为：
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，熟记菱形的各种性质是解题的关键．
17．已知，点 E、F、G、H 在正方形 ABCD 的边上，且 AE＝BF＝CG＝DH．在点 E、F、G、H 处分别沿
45°方向剪开（即∠BEP＝∠CFQ＝∠DGM＝∠AHN＝45°），把正方形 ABCD 剪成五个部分，中间
的部分是四边形 PQMN．
（1）如图①，四边形 PQMN 是
正方形（填“是”或“不是”）；
（2）如图②，延长 DA、PE，交于点 R，则
S RNH
△
：S 正方形 ABCD＝ 1：4 ；
（3）若 AE＝5cm，则四边形 PQMN 的面积是 50 cm2．
【分析】（1）依据四边形内角和定理可以判定四边形PQMN 矩形，然后证明一组邻边相等，可以证
得四边形是正方形；
（2）设 AE＝a，AH＝b，则 HD＝a，即 AD＝a+b，由题意可得 AR＝AE＝HD＝a，用 a，b 表示△NHR
和正方形 ABCD 的面积可得结论；
（3）由题意可求 S 四边形 AENH＝ （a+b）2﹣a2．则四边形PQMN的面积＝（a+b）2﹣4×[（a+b）
2
﹣ a2]＝2a2．把 a＝5cm 代入可求值．
【解答】证明∵∠BEP＝∠CFQ＝∠DGM＝∠AHN＝45°
∴∠AEN＝∠DHM＝∠CGQ＝∠BFP＝135°
∵∠B+∠BEF+∠BFP+∠EPF＝360°
∴∠EPF＝90°即∠EPQ＝90°
同理可得∠MNP＝∠NMQ＝∠MQP＝90°
∴四边形 PNMQ 是矩形
如图：连接 EH，HG，EF，GF
∵四边形 ABCD 是正方形
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D
∵AE＝HD＝CG＝BF
∴BE＝AH＝DG＝CF
∴△AEH∽△HDG≌△CFG≌△BEF
∴EF＝EH＝HG＝FG，∠EFB＝∠FGC
∵∠FGC+∠GFC＝90°
∴∠EFB+∠GFC＝90°即∠EFG＝90°
同理可得∠HGF＝90°＝∠EHG＝∠HEF
∵∠EFP+∠PFG＝90°，∠PFG+∠QGF＝90°
∴∠EFP＝∠QGF 且 EF＝FG，∠EPF＝∠FQG＝90°
∴△EFP≌△FQG
∴EP＝FQ，FP＝QG
同理可得：EP＝HN＝HG＝GF，PF＝QG＝EN＝MH
∴NP＝PQ＝MN＝MQ 且四边形 PNMQ 是矩形
∴四边形 PNMQ 是正方形
故答案为 是
（2）
设 AE＝a，AH＝b，则 HD＝a，即 AD＝a+b
∵EN⊥HN，∠AHN＝45°
∴∠R＝45°＝∠AHN，∠BAD＝90°
∴RN＝NH，∠AER＝∠R＝45°
∴AE＝AR＝a
∴RH＝a+b
∵RN⊥NH，RN＝NH
∴△RHN 等腰直角三角形
S RHN＝ ∴ △
∵S
正方形 ABCD
＝（a+b）2
∴ ：S ＝（a+b）2＝1：4
正方形 ABCD
S△ RHN 故答案为
1：4
S RHN △S ARE （3）∵S 四边形 AENH △
＝ ﹣
∴S
四边形 AENH
＝ （a+b）2﹣ a2．
∴四边形 PQMN 的面积＝（a+b）2﹣4×[ （a+b）2﹣ a2]＝2a2．
当 a＝5cm，则四边形 PQMN 的面积＝50cm2．
故答案为 50
【点评】本题考查了正方形的性质和判定，利用 AE，AH 的长度表示图形的面积是本题的关键．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．请你在
给出的 5×5 的正方形网格中，以格点为顶点，画出五个直角三角形，这五个直角三角形的斜边
长分别为
， ， ， ， （画出的这五个直角三角形除顶点和边可以重合外，其
余部分不能重合）．
【分析】分别根据勾股定理确定直角边画出即可．
【解答】解：如图所示：
①斜边＝
＝
，②斜边＝
＝ ，③斜边＝ ＝2 ，④斜边＝
＝
，⑤斜边＝ ＝3 ．
【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形的作图，熟练掌握勾股定理是关键．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 46 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8 分）计算：
（1） （2）
；
．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
（2）
＝
＝
＝ ＝
＝
．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题
型
20．（6 分）已知 A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，那么 C 地在 B 地的
什么方向？
【分析】由题中数据可得三角形为直角三角形，所以点B，C 在一条垂线上，进而可得出其方向角．
【解答】解：根据题意，AB＝12，BC＝5，AC＝13．
∵BC2+AB2＝52+122＝25+144＝169，
AC2＝132＝169，
∴BC2+AB2＝AC2．
∴∠CBA＝90°．
∵A 地在 B 地的正东方向，
∴C 地在 B 地的正北方向．
【点评】此题考查勾股定理的应用，能够利用直角三角形判断方向角．
21．（6 分）如图，直角三角形纸片 OAB，∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，折叠该纸片，折痕与边
OB 交于点 C，与边 AB 交于点 D，折叠后点 B 与点 A 重合，求 OC 的长．
【分析】由题意可得 BC＝AC，在 △Rt ACO 中，根据勾股定理可列方程，可求出 OC 的长
【解答】解：由折叠后点 B 与点 A 重合，
得△ACD≌△BCD．
设 OC＝m，
则 BC＝OB﹣OC＝2﹣m．
于是 AC＝BC＝2﹣m．
在 △Rt AOC 中，由勾股定理，得 AC2＝OA2+OC2．
即（2﹣m）2＝12+m2．
解得 ∴
．
．
【点评】本题考查了折叠问题，关键是通过勾股定理列出方程．
22．（6 分）如图，在 △Rt
ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，∠ACD＝3∠BCD，E 是斜边 AB
的中点．
（1）∠BCD 的大小＝ 22.5 （度）；
（2）∠A 的大小＝ 22.5 （度）；
（3）求∠ECD 的大小．
【分析】（1）求出∠ACD＝67.5°，∠BCD＝22.5°， （2）根据等角的余角相等求得∠A 的大小；
（3）根据三角形内角和定理求出∠B＝67.5°，根据直角三角形斜边上中线性质求出 BE＝CE，推
出∠BCE＝∠B＝67.5°，代入∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD 求出即可．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝3∠BCD，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝67.5°，∠BCD＝22.5°，
故答案是：22.5°；
（2）∵∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD＝22.5°，
故答案是：22.5；
（3）∵∠ACD＝3∠BCD，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝67.5°，∠BCD＝22.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，
∵∠ACB＝90°，E 是斜边 AB 的中点，
∴BE＝CE，
∴∠BCE＝∠B＝67.5°，
∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝67.5°﹣22.5°＝45°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质，直角三
角形的性质的应用，解此题的关键是求出∠BCE 和∠BCD 的度数，注意：直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半．
23．（6 分）如图，在▱ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，AD 上，且 AF＝CE．求证：四边形 AECF 是
平行四边形．
【分析】只要证明 AF＝CE，AF∥CE 即可；
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AF＝CE，
∴四边形 AECF 是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判断方法，属于
中考基础题．
24．（6 分）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA＝OD，求证：▱ABCD 是矩形．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出 OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，进而得出 AC＝BD，即可
得出答案．
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD．
又 OA＝OD，
∴AC＝BD．
∴▱ABCD 是矩形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，正确掌握相关性质是解题关键．
25．（8 分）已知，△ABC 是等边三角形，四边形 ACFE 是平行四边形，AE＝BC．
（1）如图①，求证：▱ACFE 是菱形；
（2）如图②，点 D 是△ABC 内一点，且∠ADB＝90°，∠EDC＝90°，∠ABD＝∠ACE．求证：▱ACFE
是正方形．
【分析】（1）由题意直接可证
（△2）由题意可证 ABD≌△AGC 可证 AG＝AD，∠BAD＝∠CAG 可得△ADG 是等边三角形，且根据直
角三角形斜边上中线等于斜边一半，可得 DG＝EG＝CG＝AG，
即可证得结论．
【解答】证明：（△1）∵ ABC 是等边三角形，
∴AC＝BC．
∵AE＝BC，
∴AC＝AE．
∵四边形 ACFE 是平行四边形，
∴▱ACFE 是菱形．
（2）证明：连接 AF 交 CE 于点 G，连接 DG
由（1）得▱ACFE 是菱形，
∴∠AGC＝90°，∠GAC＝∠EAG，CG＝EG．AG＝GF
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AGC．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°．
在△ABD 和△ACG 中，
∴△ABD≌△ACG．
∴AD＝AG，∠BAD＝∠CAG．
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAG+∠DAC．
即∠BAC＝∠DAG．
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAG＝60°．
∵AD＝AG，
∴△DAG 是等边三角形．
∴AG＝DG．
∵∠EDC＝90°，CG＝EG，
在 △Rt EDC 中，
有
．
∵AG＝DG，
∴AG＝CG．
∴AF＝CE
又∵▱ACFE 是菱形，
∴▱ACFE 是正方形．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质和判定，正方形的性质与判定，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，学会添加恰当辅助线帮助解决问题．
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