人教版数学高二-新课标 《函数的概念》 教学设计

1.2.1 函数的概念（第一课时）

课 型：新授课 教学目标：

（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的三要素；

（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学过程：

一、问题链接：

1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、合作探究展示： 探究一：函数的概念：

思考1：（课本P15）给出三个实例：

A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）

与时间t（秒）的变化规律是h130t5t2。

B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空

臭氧层空洞面积的变化情况。（见课本P15图）

C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的

高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见课本P16表）

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着

怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对

应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：

f:AB 函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：

yf(x),xA

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。 注意：

① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． 思考2：构成函数的三要素是什么？

答：定义域、对应关系和值域

小试牛刀．1下列四个图象中，不是函数图象的是（ B ）.

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2．集合

y O y x y O y x

O A.

x

O B.

C.

x

D. y 2 y 2 -2 0 y 2 y 2 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 x x x x A. B. C . D.

Mx2x2，Ny0y2，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（ B ）.

归纳：（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；

（2）二次函数yaxbxc (a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域

24acb24acb2ByyByy；当a﹤0时，值域。

4a4ak （3）反比例函数y(k0)的定义域是xx0，值域是yy0。

x探究二：区间及写法：

设a、b是两个实数，且a（1） 满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； （2） 满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；

（3） 满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为

a,b,a,b；

这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P17表格）

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足xa,xa,xb,xb的实数x的集合分别表示为a,,a,,

,b,,b。

小试牛刀：

用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0} （学生做，教师订正）

（三）例题讲解： 例1．已知函数f(x)x31， x2高中数学

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（1） 求f(3),f(),f23f3的值；

（2） 当a>0时，求f(a),f(a1)的值。

（答案见P17例一）

2

练习．已知函数f(x)=x+2,求f(-2),f(-a),f(a+1), f(f(x)).

2242

答案:f(-2)=6 f(-a)=a+2 f(a+1)=a+2a+3 f(f(x))=x+4x+6

x2【例2】已知函数f(x),xR.

1x21111（1）求f(x)f()的值；（2）计算：f(1)f(2)f(3)f(4)f()f()f().

x2341221xx211x2x解：（1）由f(x)f()1.

x1x2111x21x21x2x211117（2）原式f(1)(f(2)f())(f(3)f())(f(4)f())3

23422点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.

（四）随堂检测：

1． 用区间表示下列集合：

xx4,xx4且x0,xx4且x0,x1,xx0或x2

2． 已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值；

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3． 课本P19练习2。

4．已知f(x)＝x2＋x＋1，则f(2)＝__3+2____；f［f(2)］＝_57_____．

5．已知f(2x1)x22x，则f(3)= —1 .

归纳小结：

函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示 作业布置：

习题1.2A组，第4，5，6；

1.2.1函数的概念（第二课时）

课 型：新授课 教学目标：

（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示； （2）掌握复合函数定义域的求法；

（3）掌握判别两个函数是否相同的方法。 教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。 教学难点：复合函数定义域的求法。 教学过程： 一、问题链接：

x21. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝x是不是同一个函数？为什

x么？

2. 用区间表示函数y＝ax＋b（a≠0）、y＝ax2＋bx＋c（a≠0）、y＝

k(k≠0)的定义域x与值域。

二、合作探究展示：

探究一：函数定义域的求法：

函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。 例1：求下列函数的定义域

11；② f(x)3x2；③ f(x)x1. x22x1解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，

x2① f(x)高中数学

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1有意义，∴这个函数的定义域是x|x2. x22②∵3x+2<0，即x<-时，根式3x2无意义，

32而3x20，即x时，根式3x2才有意义，

32∴这个函数的定义域是{x|x}.

3而x2时，分式

③∵当x10且2x0，即x1且x2时，根式x1和分式意义，

∴这个函数的定义域是{x|x1且x2}

1 同时有2xx10x1另解：要使函数有意义，必须：   

2x0x2 ∴这个函数的定义域是： {x|x1且x2}

学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式） 说明：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组） 引导学生小结几类函数的定义域：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .

（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义. 探究二：复合函数的定义域求法：

（1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；

求法：由a求法：由a练习．已知函数f(x)的定义域为[1,2)，则f(x1)的定义域为（ C ）.

A．[1,2) B．[0,2) C．[0,3) D．[2,1) 例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。 答案：3,2

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巩固练习：

1．求下列函数定义域：

11x答案：（1）4,1 （2）x/x0且x1

x4

（1）f(x)1x1； （2）f(x)1

2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求f(x1)的定义域； （2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。 答案：（1）0 （2）0,

3

探究三：求函数的值域 已知函数yx4x5,求 （1）xR时的函数值域

222，0，1，2，3，4时的值域 （2）x11时的值域 （3）x2，答案：（1）9,（2）0,5,8,9（3）8,7

探究四：函数相同的判别方法：

例5．（课本P18例2）下列函数中哪个与函数y=x相等？

2（1）y(x)； （2）yx3； x22（3）yx； （4） y。

x分析：

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决○

定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

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2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数○

值的字母无关。

解：⑴yx＝x（x0）,y0，定义域不同且值域不同，不是；

2⑵y3x3＝x（xR）,yR，定义域值域都相同，是同一个函数；

x,x0x⑶yx＝||=,y0；值域不同，不是同一个函数。

x0x2（4）yx(x0) 定义域不同，不是同一个函数。 练习1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）.

x A. y1,y B. yx1x

2 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①y1②y1x1,yx21 C. yx,y3x3 D. y|x|,y(x)2

(x3)(x5)x3y2x5 （定义域不同）

x1x1 y2(x1)(x1) （定义域不同）

2③f1(x)(2x5) f2(x)2x5 （定义域、值域都不同）

（三）随堂检测：

1．课本 P19练习1，3；

2．求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 的值域。 归纳小结：

本堂课讲授了函数定义域值域的求法以及判断函数相等的方法。 作业布置：

习题1.2A组，第1，2；

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