中考四边形必会题型
1、如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是【 】 A．△AOB≌△BOC
B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD
D．△AOD≌△BOC
第1题图
第3题图
2、如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
3、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为 A．78° B．75° C．60° D．45°
4、如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，
第2题图
A． B． C． D．
以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG 的长为
第4题图
第5题图 第6题图
5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=且AE∥CD，则AD的长为【 】 A．
B．
，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，
C．
D．12
6、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为 A．
B．
C．4 1
D．8
7、如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为 A．
cm2 B．
cm2 C．
cm2 D．
cm2
第7题图 第8题图 第10题图
8、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有【 】个．
A．2 B．3 C．4 D．5
9、顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是【 】 A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．直角梯形
10、如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT= A．
B．
C．2
D．1
二、填空题()
11、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的大小是 ．
2
12、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于 。
第13题图 第12题图
13、如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=250，则∠2= ．
14、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且BD平分AC，若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为 .（结果保留根号）
15、如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为 ．
第14题图
第15题图
第16题图
第17题图
16、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为 ．
17、如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn的边长是 ．
3
18、如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是 ．
三、计算题() 19、（8分）如图所示，把长方形ABCD的纸片，沿EF线折叠后，ED与BC的交点为G，点D、
C分别落在D/、C/的位置上，若∠1=70°，求∠2、∠EFG的度数.
四、解答题
20、如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．
21、如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
4
BD22.已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与
交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．
AOE ≌ △ COF ； （1 ）求证：△（2）若∠EOD=30°，求CE的长．
23．如图X4－3－10，在平行四边形 ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论：①AO＝BO；②OE＝OF; ③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是( )
图X4－3－10
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
24．(2012年辽宁沈阳)如图X4－3－11，在□ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
(1)求证：△AEM≌△CFN；
(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．
25．如图X4－3－13，已知四边形ABCD是平行四边形． (1)求证：△MEF ∽△MBA；
(2)若AF，BE分别为∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF＝EC.
图X4－3－11
5
图X4－3－13
26．(2012年河南)如图X4－3－25，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)填空：①当AM的值为________时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．
图X4－3－25
27．(2012年江苏南通)在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上． (1)如图X4－3－26(1)，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF； (2)如图X4－3－26(2)，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
图X4－3－26
28．(2012年山东威海)(1)如图X4－3－12(1)，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F.
求证：AE＝CF.
(2)如图X4－3－12(2)，将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1
处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I.
求证：EI＝FG.
(1)
6
(2)
卷答案
1.【解析】根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥 即可： ∵AD=DE，DO∥AB，∴OD为△ABE的中位线。∴OD=OC。 ∵在Rt△AOD和Rt△EOD中，AD=DE，OD=OD，∴△AOD≌△EOD（HL）。 ∵在Rt△AOD和Rt△BOC中，AD=BC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（HL）。 ∴△BOC≌△EOD。
综上所述，B、C、D均正确。故选A。
2.【解析】由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE转换求面积： ∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100。， ∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB2﹣
×AE×BE=100﹣
×6×8=76。
故选C。
考点：正方形的性质，勾股定理，转换思想的应用。 3.【解析】
试题分析：经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形：
设六边形的边长是a，则半径长也是a。
如图，经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，则∠AOC=30°。
在Rt△OBC中， OC=a•cos30°=∴正六边形的边心距边长与之比为
。 ：a=
：1=
∶2。故选B。
4.【解析】
试题分析：根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答： ∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，∴AE=CE，DE=EF。 ∴四边形ADCF是平行四边形。 ∵AC=BC，点D是边AB的中点，∴∠ADC=90°。 ∴四边形ADCF矩形。故选A。 5.【解析】
试题分析：连接BD，
7
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°， ∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°。 ∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°。 ∴∠PDC=90°。 ∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°。 在△DEC中，
。故选B。
6.【解析】
试题分析：利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DM=DE，所以可以求出DE，从而得到DG的长：
∵四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，∴DM=∴
∵四边形EDGF是正方形，∴DG=DE=第Ⅱ卷 (非选择题 共84分)
7.【解析】如图，延长AE交BC于F，
。∴ME=MC=
DC=1。 。∴ED=EM－DM=
。
。故选D。
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠DAF。
∵AE∥CD，∴∠DAF=∠AFB。∴∠BAF=∠AFB。∴AB=BF。 ∵AB=
，BC=4，∴CF
。
∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形。 ∴AD=CF=
。故选B。
8.【解析】根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可： ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC。 ∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形。∴AC=AB=4。 ∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16。故选C。 9.【解析】在矩形ABCD中，CD=AB， ∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C′重合，∴C′D=CD。∴C′D=AB。 ∵AB=2，∴C′D=2。
8
故选B。
10.【解析】根据平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的性质分别判断得出答案即可． A、根据平行四边形的性质得出平行四边形的对边相等，此命题是真命题，不符合题意； B、根据菱形的性质得出菱形的四条边相等，此命题是真命题，不符合题意； C、根据矩形的性质得出矩形的对边平行且相等，此命题是真命题，不符合题意； D、根据等腰梯形的上下底边不相等，此命题是假命题，符合题意。 故选D。 11.【解析】 试题分析：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE。 ∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA。∴∠DAE=∠DFA。∴AD=FD。 又F为DC的中点，∴DF=CF。∴AD=DF=在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=
DC=
AB=2。
。
，则AF=2AG=2
在△ADF和△ECF中，∵，∴△ADF≌△ECF（AAS）。∴AF=EF。
∴AE=2AF=4。故选B。
12.【解析】
试题分析：设矩形ABCD的面积为S=20cm2， ∵O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，
∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的∴平行四边形AO1C2B的面积=…，
依此类推，平行四边形AO4C5B的面积=
。故选B。
×S=
。
。
。∴平行四边形AOC1B的面积=
S。
13.【解析】
试题分析：根据矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质得出答案即可： A．根据四个角相等的四边形是矩形，故此命题是假命题，故此选项错误；
B．根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形，故此命题是假命题，故此选项错误
C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项正确； D．正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，故此命题是假命题，故此选项错误。 故选C。 14.【解析】 试题分析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B，AD∥BC。∴∠BAD+∠B=180°。 ∵∠BAD=2∠B，∴∠B=60°。∴∠D=∠B=60°。∴△ABC与△ACD是全等的等边三角形。
9
∵E，F分别为BC，CD的中点，∴BE=CE=CF=DF=AB。
在△ABE与△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠ACB=60°，BE=CE， ∴△ABE≌△ACE（SAS）。 同理，△ACF≌△ADF≌△ABE。 ∴图中与△ABE全等的三角形（△ABE除外）有3个。 故选C。 15.【解析】
试题分析：根据等腰梯形的判定，逐一作出判断：
A.由∠BDC =∠BCD只能判断△BCD是等腰三角形，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形； B.由∠ABC =∠DAB和AD∥BC，可得∠ABC =∠DAB=900，是直角梯形，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形； C.由∠ADB =∠DAC，可得AO=OD，由AD∥BC，可得∠ADB =∠DBC，∠DAC =∠ACB，从而得到∠DBC =∠ACB，所以OB=OC，因此AC=DB，根据对角线相等的梯形是等腰梯形可判定梯形ABCD是等腰梯形； D.由∠AOB =∠BOC只能判断梯形ABCD的对角线互相垂直，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形。
故选C。
16.【解析】由折叠的性质，根据正方形的判定可得：四边形ABEB1是正方形，因此，CE=BC－BE=2cm。故选C。 17.【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°。 ∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°。∴∠BAE+∠DAF=30°。 在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE =AF，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）。 ∴BE=DF。故结论①正确。 由Rt△ABE≌Rt△ADF得，∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°。即∠DAF=15°。故结论②正确。 ∵BC=CD，∴BC－BE=CD－DF，CE=CF。 ∵AE=AF，∴AC垂直平分EF。故结论③正确。 设EC=x，由勾股定理，得EF=
，CG=
，AG=
，
∴AC=。∴AB=。∴BE=。
∴BE+DF∵
，
。故结论④错误。
，
10
∴。故结论⑤正确。
综上所述，正确的有4个，故选C。
18.【解析】如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是各边的中点，
∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=同理FG=
BD，GH=
AC，EH=
AC。
BD。
又∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC=BD。∴EF=FG=GH=HE。 ∴四边形EFGH是菱形。故选C。 19.【解析】 试题分析：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，∴∠ADB=∠CGE=45°。 ∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°。∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°。 ∴△DGT是等腰直角三角形。 ∵两正方形的边长分别为4，8，∴DG=8﹣4=4。∴GT=故选B。 20.【解析】 试题分析：①如图，连接EG，FG，
×4=
。
由作图可得，AE=AF，EG=FG， 又∵AG=AG，∴△AEG≌△AFG（SSS）。 ∴∠EAG=∠FAG，即AG平分∠DAB。故结论①正确。 ③∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，∴∠HAB=DHA。 由①∠HAB=∠HAD，∴∠HAD=DHA。∴DA=DH，即△ADH是等腰三角形。故结论③正确。 ②若CH＝
DH，由③可得AB=DC＝
AD，与已知AB＞CD条件不符。故结论②错误。
AD，与已知AB＞CD条件不符。故结论②错
④若S△ADH＝S四边形ABCH，由③可得AB=DC＝
误。
综上所述，正确的有①③。故选D。
11
21.【解析】
试题分析：连接AE，BF， 如图1，
∵四边形ABCD为正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°。 ∵△OEF为等边三角形，∴OE=OF，∠EOF=60°， ∵在△OAE和△OBF中，
，
∴△OAE≌△OBF（SSS）。 ∴∠AOE=∠BOF=如图2，
（90°﹣60°）=15°。
∵在△AOE和△BOF中，，
∴△AOE≌△BOF（SSS）， ∴∠AOE=∠BOF。∴∠DOF=∠COE。 ∴∠DOF=
（90°﹣60°）=15°。∴∠AOE=180°﹣15°=165°。
综上所述，∠AOE大小为15°或165°。 22.【解析】
试题分析：（1）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可：
。
（2）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求。
12
23.【解析】如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E，则四边形ACED为平行四边形，
∴AD=CE。 ∵AC⊥BD∴∠BDE=90°。 ∴梯形的中位线长=∵AC=12，BD=5，∴∴梯形的中位线长=
×13=
。
（AD+BC）=
（CE+BC）=
BE。 。
24.【解析】
试题分析：过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD，∠D=90°。 ∴四边形BDCE是平行四边形。∴平行四边形BDCE是矩形。 ∴CE=BD=2，BE=CD=4，∠E=90°。 ∴AE=AC+CE=1+2=3， ∴在Rt△ABE中，
。
25.【解析】
试题分析：设AC与BD相交于点O，连接OP，过D作DM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形， ∴
∴OA=OD。
∵AB=3，AD=4，∴由勾股定理得：
。
，AC=BD，∠ADC=90°。
13
∵∵
∴PE+PF=DM=
，∴。故选B。
，∴DM=。
。
26.【解析】 试题分析：∵矩形ABCD的对角线长为10，
∴AC=BD=10。 ∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF=HG=AC=×10=5，EH=GF=
BD=×10=5。
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=5+5+5+5=20。 27.【解析】如图，将各顶点标上字母，
∵△EFG是直角三角形，∴∠FEG=900。 ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。 ∵∠1=250， ∴∠2=∠DEG=∠1＋∠FEG=1150。 28.【解析】∵BD平分AC，∴OA=OC=3。
∵∠BOC=120°，∴∠DOC=∠A0B=60°。 过C作CH⊥BD于H，过A作AG⊥BD于G， 在△CHO中，∠COH=60°，OC=3，∴CH=
。
14
同理：AG=。
。
∴四边形ABCD的面积=
29.【解析】∵ABCD的周长为36，∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18。 ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，∴OD=OB=BD=6。 又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD。∴OE=BC。 ∴△DOE的周长=\"OD+OE+DE=\" OD +
（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15。
30.【解析】 试题分析：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点， ∴EF∥BD，且EF=
BD=3。
BD。
同理求得EH∥AC∥GF，且EH=GF=
又∵AC⊥BD，∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG。∴四边形EFGH是矩形。 ∴四边形EFGH的面积=EF•EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12。 31.【解析】
试题分析：根据题意画出图形，分两种情况讨论： ①如图1所示，连接CD，则
，
∵D为AB中点，∴AB=2CD=②如2图所示，连接EF，则
。
，
15
∵E为AB中点，∴AB=2EF=。
32.【解析】∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，∴AB=CD，∠BAC=∠DCA。∴AB∥CD。 ∴四边形ABCD为平行四边形。 当∠B=90°时，平行四边形ABCD为矩形，∴添加的条件为∠B=90°。 33.【解析】
试题分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形AnBnDnEn的边长：
∵∠C=90°，∠A=∠B=45°，∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B。∴第一个内接正方形的边长=AB=1。 同理可得：
第二个内接正方形的边长=A1B1=第三个内接正方形的边长=A2B2=……
∴第n个小正方形AnBnDnEn的边长=34.【解析】
试题分析：如图，连接EG，
AB=
。
AB=； AB=
；
16
∵，∴设，则
。
。
∵点E是边CD的中点，∴∵△ADE沿AE折叠后得到△AFE， ∴
易证△EFG≌△ECG（HL），∴∴在Rt△ABG中，由勾股定理得： ∴∴∴
（只取正值）。
。 。
。∴
。
，即
。 。
35.【解析】
试题分析：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即
，则周长是原来的
，即为
；
顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即
，则周长是原来的
，即为2；
顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即，则周长是原来的
，即为
；
顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即……
以此类推：第六个正方形A6B6C6D6周长是原来的，即为36.∠2=110°，∠EFG=55° 37.
【小题1】60° 【小题2】2
。
，则周长是原来的
，即为1；
38.【解析】 试题分析：（1）根据题目要求画出图形即可。 （2）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，进而得到AD=CE，∠DAF=∠CEF，进而可利用AAS证明△AFD≌△EFC。 39.【解析】
试题分析：根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出。
17
40.【解析】
试题分析：过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证。 41.【解析】 试题分析：（1）求出∠B=∠ACB，根据三角形外角性质求出∠FAC=2∠ACB=2∠DAC，推出∠DAC=∠ACB，根据ASA证明△ABC和△CDA全等。 （2）推出AD∥BC，AB∥CD，得出平行四边形ABCD，根据∠B=60°，AB=AC，得出等边△ABC，推出AB=BC即可。 42.【解析】 试题分析：（1）根据平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形三线合一的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案。
（2）根据等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可。 43.【解析】 试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°。 ∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形， ∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°。 ∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA， ∠EAF=360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD=270°﹣（180°﹣∠CDA）=90°+∠CDA。 ∴∠FDG=∠EAF。 ∵在△EAF和△GDF中，
，∴△EAF≌△GDF（SAS）。
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA。 ∴∠GFE=90°。∴GF⊥EF。
（2）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案。 44.【解析】 试题分析：（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等。 （2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解。 45.【解析】 试题分析：（1）方案一：分割成两个等腰梯形；
方案二：分割成一个等边三角形、一个等腰三角形和一个直角三角形。
（2）利用平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理作答，认真计算即可。 对于AC，如图②所示，
18
。
46.【解析】（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形即可。
（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在
上任意一点构成的四边形
ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形。
（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数。
47.【解析】（1）过点E作ED1⊥BC于D1，ED2⊥AB于D2，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，由角平分线上的点到角的两边距离相等，可得ED1= ED2，FG1= FG2。在△FED2和△FEG2中应用三角形中位线定理，可得
，
。在梯形EFG1D1中，由公式可证得
结论。
（2）同（1）过点E作ED1⊥BC于D1，ED2⊥AB于D2，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，由角平分线上的点到角的两边距离相等，可得ED1= ED2，FG1= FG2。在△FED2、△FEG2和梯形EFG1D1中，由公式可求得结论。 48.【解析】 试题分析：（1）由正方形的性质可以得出AB=BC，∠ABP=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性质就可以得出结论。
（2）由正方形的性质可以得出AB=BC，∠FBC=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性质就可以得出结论。
（3）设BP=x，则PC=3﹣x 平行四边形PEFC的面积为S，由平行四边形的面积公式就可以求出其解析式，再根据二次函数的性质就可以求出其最大值。 49.【解析】（1）由勾股定理，求出MN的长，点Q运动到AE上时的距离MN的长，离从而除以速度即得t的值。
（2）分0＜t≤10和10＜t≤16两种情况讨论，每种情况分AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ三种情况讨论。
（3）当0＜t≤7时，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△QNE的面积， 由（2）①，EN=t，
，∴
。
当7＜t≤10时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形QIFE的面积，它等于△NQE的面积减去△NIF的面积。
19
由（2）①，EN=t，过点I 作IJ⊥BC于点J， ∵EF=7，EN=t，∴由△FJI∽△FBA得由△INJ∽△MNG得二式相加，得∴当10＜t≤
，∴。
。 ，即，即。∴
。 。
。
时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形GIFM的面积，它等于△GMN
的面积减去△INF的面积。 过点I 作IH⊥BC于点H，
∵EF=7，EN=t，∴由△FHG∽△FBA得由△INH∽△MNG得二式相加，得∴当
。 ，即，即。∴
。
。
。
。
＜t≤16时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△IFM的面积。
20
∵
（同上可得），
∴
。
，
综上所述，。
21
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容