高中数学_函数的单调性教学设计学情分析教材分析课后反思

3.2.1 函数的单调性

重 点：理解函数单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性。 难 点：利用单调性定义证明函数的单调性。

教学目标：

1.从图像直观、定性描述和定量分析三个方面认识函数的单调性,理解函数单调性的定义.

2.理解增函数和减函数的概念．

3.会用函数单调性的定义判断或证明一些函数的单调性.

４．通过从特殊到一般的数学研究问题的方法，培养学生探索精神。

核心素养：

1. 借助单调性的证明，培养逻辑推理的素养。

2. 应用单调性解题，培养直观想象和数学运算的思想。

教学过程：

一、以形晓理 性质初探

1.问题情境

1）观察下图中的函数图象，感受函数中两变量间的变化规律，即随着x的增大，y的值是增大的还是减小的？

（2）观察下列函数的图象，体验其变化规律

①观察f(x)=x的图象：

函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的. y随x增大而增大。

②观察二次函数f (x) = x2 的图象：

函数f (x) = x2 在y轴左侧是下降的，y随x增大而减小。在y轴右侧是上升的，y随x增大而增大。 2、认知总结

师：.函数图象的“上升”、“下降”以及函数值随自变量的变化而产生不同的变化，是函数性质的反映，这就是我们所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性.

目的让学生在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识

二、全面感知 深化性质

师引导学生用数学符号语言描述二次函数f (x) = x2单调性

师生合作描述y轴左侧函数单调性。

对于函数f (x) = x2 在区间(-∞，0)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f (x1)>f (x2)，即

x12>x22. 称f (x) = x2在(-∞，0)上单调递减

学生类比y轴左侧，描述y轴右侧单调性

对于函数f (x) = x2 在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f (x1)＜f (x2)，即

x12＜x22.称f (x) = x2在(0，+∞)上单调递增

试一试：根据图象，函数f (x) = -x2 ，f (x) = 各有怎样的单调性？

通过归纳f (x) = x2 ，f (x) =符号表达。得到函数单调性概念。

，f (x) = -x2 总结函数y=f (x)在区间D上单调性的

3、规范概念

函数单调性的概念

一般地，设函数f (x)的定义域为I： 如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是单调递增；

特别的，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有

f (x1)＞f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是单调递减. 特别的，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数

如果函数 y=f (x) 在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数 y=f (x) 在这一区

间具有单调性，区间D叫做 y=f (x) 的单调区间.

教师要强调取值的任意性，以及单调递增和单调递减是局部性质，与增函数减函数区分开来。

学生活动：给学生时间理解记忆定义。

练习1：判断

①函数 f (x)=x2 是增函数；（ ）

②定义在[1,2]上的函数f (x)满足 f (1) < f(2)，则函数f (x)

在[1,2]上是增函数；（ ）

强调学生：函数单调性是针对某个区间而言的以及x1，x2取值是任意的

三、学以致用，能力提升

例1

根据定义，研究函数f (x) = kx+b（k≠0）的单调性.

总结用定义证明函数单调性步骤：

取值：设任意x1,x2 属于 给定区间且x1作差变形： 作差f (x1)-f (x2) ，并通过因式分解、配方、有理化等手段，转化易判断±式子。

定号：确定f (x1)-f (x2)的符号

下结论：根据f (x1)-f (x2)的符号，判断单调性。

学生活动：两分钟时间整理，理解定义法判断函数单调性步骤。

练习2：

证明函数f(x)=-3x+1在R上是减函数.

四、达标练习 巩固提高

根据定义，证明函数f (x) = x+在区间（1，+∞）单调递增。

五、小结

1．函数的单调性、单调区间及增（减）函数的概念；

2．判断函数单调性的方法：

（1）定义法：

用定义证明函数单调性的一般步骤：

取 值 → 作差变形 → 定 号 → 下结论

（2）图象法：

在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图 象是下降的.

学情分析

学生在初中已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数的图像，对增减性已有初步感性认识，所以本节课是学生数学思想的一次提升。函数单调性是函数概念的延续和拓展，又为后续学习指数函数、对数函数等内容打下扎实基础，对进一步求解函数的最大值和最小值等数学问题有着广泛作用。

效果分析

本节课要使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法。在课堂教学时更要注意到培养学生从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程和不断探求新知识的能力，因而本节课的教学效果在这一方面达到了预定的教学效果。

课堂上通过大量提问练习，使学生及时掌握相关知识，设置各种问题、数形结合，可以激发学生学习的兴趣，因此学生的积极性较高。

但是本节课教学过程中出现了一些问题，原本计划学生练习后用投影展示部分学生的

结果，然后让同学一起分析总结，但是由于投影设备出了故障无法展示，因此这部分没有达到预定的教学效果。

教材分析

《函数的单调性》是人教a版高中数学新教材必修第一册第三章第二节的内容。在此之前，学生已经学习了函数的概念、定义域、值域及表示方法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

评测练习

1、下列函数在（0，+∞）为减函数的是（ ）

A y= B y=2x C y= x2 D y=

2、函数y=(k+2)x+1在R上是增函数，则k的取值范围是（ ）

3、证明：函数y=在（-1，+∞）上是增函数。

课后反思

本节课在备课时要考虑到要使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法。在课堂教学时更要注意到培养学生从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程和不断探求新知识的能力，因而本节课的教学效果在这一方面达到了预定的教学效果。

但是本节课教学过程中出现了一些问题，原本计划学生练习后用投影展示部分学生的结果，然后让同学一起分析总结，但是由于投影设备出了故障无法展示，因此这部分没有达到预定的教学效果。

课标分析

一、强调数学方法上的循序渐进性，重视基础、拾级而上，比如函数的单调性这节，从学生熟悉的一次函数二次函数入手逐层递进，数学学习具有系统性和连续性。

二、强调数学学习方式上的多样化，促进学生的全面发展，设置了多个思考题，使学生采取“阅读自学、独立思考、实践探究、合作交流”等多种学习方式。

三、关注学生问题意识的培养，注重学生发现问题和提出问题、分析和解决问题的能力，如“观察”“思考”和“探究”中的内容多以问题的形式出现，以及正文旁边的提问框也是提出问题让学生思考。

总的来说，新教材课标更加突出学生的主体地位，让学生独立思考，自主学习。