含有一个量词的命题的否定

1.4.3 含有一个量词的命题的否定

学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

知识点一 全称命题的否定

思考 尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．

(1)所有矩形都是平行四边形；

(2)每一个素数都是奇数；

(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.

答案 (1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：

(2)存在一个素数不是奇数；

(3)∃x0∈R，x20－2x0＋1<0.

梳理 写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．

对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．

全称命题的否定是特称命题．

知识点二 特称命题的否定

思考 尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法．

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x0∈R，x20＋1<0.

答案 (1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：

(2)所有平行四边形都不是菱形；

(3)∀x∈R，x2＋1≥0.

梳理 写特称命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定．

对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．特称命题的否定是全称命题．

(1)命题綈p的否定为p.(√)

(2)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)

(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(×)

类型一 全称命题的否定

例1 写出下列全称命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0.

考点 全称量词的否定

题点 含全称量词的命题的否定

解 (1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．

(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．

(3)其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．

(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.

反思与感悟 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．

跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：

(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)p：所有自然数的平方都是正数；

(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.

考点 全称量词的否定

题点 含全称量词的命题的否定

解 (1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．

(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．

(3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根．

(4)綈p：存在实数x0，使得x20＋1<0.

类型二 特称命题的否定

例2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假．

(1)p：∃x0∈R,2x0＋1≥0；

(2)q：∃x0∈R，x20－x0＋

1

＜0； 4

(3)r：有些分数不是有理数．

考点 存在量词的否定

题点 含存在量词的命题的否定

解 (1)綈p：∀x∈R,2x＋1＜0，綈p为假命题．

(2)綈q：∀x∈R，x2－x＋

1≥0. 4

11∵x2－x＋＝x－2≥0，∴綈q是真命题．

24

(3)綈r：一切分数都是有理数，綈r是真命题．

反思与感悟 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立．

跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假．

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.

考点 存在量词的否定

题点 含存在量词的命题的否定

解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．

(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．

(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．

类型三 含量词的命题的应用

例3 已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．

考点 含有一个量词的命题

题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围

解 因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，

x20＋ax0＋1＜0”．

由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．

由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，

借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4＞0，

解得a＜－2或a＞2.

所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

引申探究

把本例中“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．

解 由题意知Δ＝a2－4≤0，解得a∈[－2,2]．

故a的取值范围为[－2,2]．

反思与感悟 含有一个量词的命题与参数范围的求解策略

(1)对于全称命题“∀x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(a＜f(x)min)．

(2)对于特称命题“∃x0∈M，a＞f(x0)(或a＜f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max)．

(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．

跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.

(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．

考点 含有一个量词的命题

题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围

解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，

即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.

要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．

故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.

(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.

又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.

∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).

1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )

A．∀x∈R，|x|＋x2＜0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

C．∃x0∈R，|x0|＋x20＜0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0

考点 全称量词的否定

题点 含全称量词的命题的否定

答案 C

2．∃m0，n0∈Z，使得m20＝n20＋2 017的否定是( A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 017

B．∃m0，n0∈Z，使得m20≠n20＋2 017

C．∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 017

D．以上都不对

考点 存在量词的否定

题点 含存在量词的命题的否定

答案 C

)

3．命题“∀x∈R，x＞sin x”的否定是________________．

考点 全称量词的否定

题点 含全称量词的命题的否定

答案 ∃x0∈R，x0≤sin x0

4．由命题“存在x0∈R，使e则实数a的值是________．

x01－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，

考点 含有一个量词的命题

题点 含一个量词的命题的否定

答案 1

解析 其否定为：∀x∈R，使e|x－1|－m＞0，

且为真命题．m＜e|x－1|.

只需m＜(e|x－1|)min＝1.故a＝1.

5．写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝0；

(2)p：所有的正方形都是菱形；

(3)p：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.

考点 含有一个量词的命题

题点 含一个量词的命题的否定

解 (1)綈p：∀x∈R，x2＋2x＋2≠0，真命题．

由为∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0恒成立．

(2)綈p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．

因为所有的正方形都是菱形．

(3)綈p：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．

因为当x＝－1时，x3＋1＝0.

1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“<”．

2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；

第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．

一、选择题

1．下列命题中，真命题的个数是( )

①存在实数x0，使得x20＋2＝0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既是奇函数又是偶函数．

A．0 B．1 C．2 D．3

考点 含有一个量词的命题

题点 含一个量词的命题真假判断

答案 B

解析 x2＋2≥2，故①是假命题；∀x∈R，|sin x|≤1，故②是假命题；f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，所以③是真命题．故选B.

2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )

2A．存在x0∈R，x30－x0＋1≤0

2B．存在x0∈R，x30－x0＋1≥0

2C．存在x0∈R，x30－x0＋1＞0

D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0

考点 全称量词的否定

题点 含全称量词的命题的否定

答案 C

解析 由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x0∈R，

2x30－x0＋1＞0”．故选C.

3．已知命题p：存在a∈(－∞，0)，a2－2a－3＞0，那么命题p的否定是( )

A．存在a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0

B．存在a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0

C．对任意a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0

D．对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0

考点 存在量词的否定

题点 含存在量词的命题的否定

答案 D

解析 易知綈p：对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0，故选D.

4．已知p：∀x∈R，ax2＋2x＋3＞0，如果綈p是真命题，那么a的取值范围是( A．a＜13 B．0＜a≤13 C．a≤11

3 D．a≥3

考点 全称量词的否定

题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围

答案 C

)

解析 易知綈p：∃x0∈R，ax20＋2x0＋3≤0，

显然当a＝0时，满足题意；

1当a＞0时，由Δ≥0，得0＜a≤；

3

当a＜0时，满足题意．

1所以a的取值范围是－∞，.

3

5．下列命题中，假命题是( )

A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0

C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2

考点 含有一个量词的命题

题点 含一个量词的命题真假判断

答案 B

解析 对于∀x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的图象是将y＝2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>0恒成立，A为真命题；当x＝1时，(x

－1)2＝0，故B为假命题；当06．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )

A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n

B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n

C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0

D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0

考点 全称量词的否定

题点 含全称量词的命题的否定

答案 D

解析 “f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.

7．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )

A．∃x1∈R，f(x1)≤f(x0) B．∃x1∈R，f(x1)≥f(x0)

C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)

考点 含有一个量词的命题

题点 含一个量词的命题真假判断

答案 C

解析 当a>0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象为开口向上的抛物线，若x0满足关于

x的方程2ax＋b＝0，则x0＝－

b2a为抛物线顶点的横坐标，f(x)min＝f(x0)，故对于∀x∈R，

f(x)≥f(x0)成立，从而选项A，B，D为真命题，选项C为假命题．

二、填空题

8．已知p：∀x∈R,9x2－6x＋1＞0，q：∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2，则p∨q是________命题．(填“真”“假”)．

考点 含有一个量词的命题

题点 含一个量词的命题真假判断

答案 真

解析 由于9x2－6x＋1＝(3x－1)2≥0，所以p为假命题．因为sin x0＋cos x0＝2

πsinx0＋≤

4

2，

所以q为真命题，

因此p∨q是真命题．

9．命题“至少有一个正实数x0满足方程x20＋2(a－1)x0＋2a＋6＝0”的否定是_____________．

考点 存在量词的否定

题点 含存在量词的命题的否定

答案 ∀x∈(0，＋∞)，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠0

10．设命题p：∀x∈R，x2＋ax＋2＜0，若綈p为真，则实数a的取值范围是________．

考点 全称量词的否定

题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围

答案 (－∞，＋∞)

解析 綈p：∃x0∈R，x20＋ax0＋2≥0为真命题，

显然a∈R.

11．命题“对任意x∈R，都有|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是_________________________.

考点 全称量词的否定

题点 含全称量词的命题的否定

答案 ∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3

三、解答题

12．若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．

考点 简单逻辑联结词的综合应用

题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围

解 x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，

令f(x)＝x2－2ax＋2－a，

所以全称命题转化为“∀x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立”，



所以Δ≤0或a＜－1，

f－1≥0，

Δ＝4a2－42－a＞0，

即－2≤a≤1或－3≤a＜－2，所以－3≤a≤1.

故所求实数a的取值范围为[－3,1]．

13．已知p：∀a∈(0，b](b∈R且b＞0)，函数f(x)＝

xπ3sin＋的周期不大于4π.

a3

(1)写出綈p；

(2)当綈p是假命题时，求实数b的最大值．

考点 全称量词的否定

题点 全称量词的命题的否定

解 (1)綈p：∃a0∈(0，b](b∈R且b＞0)，

函数f(x)＝

xπ3sin＋的周期大于4π.

a03

(2)由于綈p是假命题，所以p是真命题，

2π

所以∀a∈(0，b]，≤4π恒成立，

1

a解得a≤2，所以0＜b≤2，所以实数b的最大值是2.

四、探究与拓展

14．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1,1]的值都有y＞0，则实数x的取值范围为____________．

考点 简单逻辑联结词的综合应用

题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围

答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析 设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1,1]，

∵当a∈[－1,1]时，y＝f(a)＞0恒成立，

∴对a的系数讨论如下：

①当x＝2时，f(a)＝2＞0显然成立；

②当x≠2时，由f(a)＞0，a∈[－1,1]恒成立，得

ff－1＞0，1＞0，

x2－2＞0，即

x2－2x＋2＞0，

解得x＞2或x＜－2.

综上可得，x的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

15．给出两个命题，命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．

(1)甲、乙中至少有一个是真命题；

(2)甲、乙中有且只有一个真命题．

考点 简单逻辑联结词的综合应用

题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围

解 当甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，

1

解得a＞或a＜－1.

3

当乙命题为真时，2a2－a＞1，解得

1

a＞1或a＜－. 2

(1)甲、乙中至少有一个是真命题时，

11

a的取值范围是－∞，－∪，＋∞.

23

(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：

1



当甲真乙假时，a的取值范围是，1；

3

1当甲假乙真时，a的取值范围是－1，－，

2

11

故a的取值范围为－1，－∪，1.

23