1．已知命题p：∀x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1，则命题p的否定是（ ） A．∀x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1 C．∀x∈（0，+∞），lnx＜x﹣1 2．已知函数A．3
B．﹣3
B．∃x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1 D．∃x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1 ，则f[f（0）]＝（ ）
C．﹣2
D．2
3．已知i是虚数单位，z为复数，2+＝z（3+i），则在复平面内z对应的点位于（ ） A．第一象限 4．设集合
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
，集合B＝{y|y＝2|x|+1}，则A∩B＝（ ）
B．（﹣∞，﹣2] D．（3，+∞）
A．（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞） C．[2，3）
5．已知复数z，“z+＝0”是“z为纯虚数”的（ ） A．充分非必要条件 C．充要条件
B．必要非充分条件 D．既非充分也不必要条件
6．已知集合M＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，非空集合P满足：（1）P⊆M；（2）若x∈P，则﹣x∈P，则集合P的个数是（ ） A．7
B．8
C．15
D．16
7．设a＝20.4，b＝0.40.3，c＝log23，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
8．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足2x2f（x）+x3f'（x）＝lnx，（其中e为自然常数，e≈2.718），则下列说法正确的是（ ） A．f（x）在（0，+∞）上单调递增 B．f（x）在（0，+∞）上单调递减 C．f（x）在（0，+∞）上有极大值 D．f（x）在（0，+∞）上有极小值
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多
项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9．已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中一定正确的有（ ） A．ac＞bc
B．
C．ac2＞bc2
D．
10．已知数据1：x1，x2，⋯，xn，数据2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2xn﹣1，则下列统计量中，数据2是数据1的两倍的有（ ） A．均值
B．极差
C．方差
D．标准差
11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）是奇函数，f（x+1）是偶函数．则下列选项中说法正确的有（ ） A．f（2）＝0 B．f（x）周期为2
C．f（x）的图象关于直线x＝1对称 D．f（x﹣2）是奇函数
12．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r（0＜r＜2），设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（ ） A．当r＝1时，
B．当r在区间（0，2）内变化时，V先增大后减小 C．V不存在最大值
D．当r在区间（0，2）内变化时，V逐渐减小
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知二项式为 ．
14．请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）： ． ①f（x）是偶函数；
②f（x）在（0，+∞）上单调递减； ③f（x）的值域是（0，+∞）．
15．一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野免的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野免的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率
展开式的二项式系数之和为64，则n＝ ；展开式中的常数项为 ． 16．已知双曲线.
，直线
与双曲
线C的两条渐近线分别交于A，B两点，O是坐标原点，若△AOB是锐角三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是 ． 四、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．设二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1）． （1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）＝f（ex）在x∈[0，1]的最大值是1，求实数c的值．
18．高二下学期期末考试之后，年级随机选取8个同学，调查得到每位同学的每日数学学习时间xi（分钟）与期末数学考试成绩yi（分）的数据，并求得
．
（1）求学生的数学考试成绩y与学生每日数学学习时间x的线性回归方程（2）小明每日数学学习时间如果是65分钟，试着预测他这次考试的数学成绩．
；
附：＝，＝﹣．
19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD是正方形．若PD＝PA＝
，PC＝
．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）在线段PB上是否存在一点Q满足：二面角B﹣AC﹣Q的余弦值为请求出
的比值λ．若不存在，请说明理由．
？若存在，
20．已知椭圆
E的上顶点，且直线A1B与直线（1）求椭圆E的方程；
经过点A1（﹣2，0），A2（2，0），点B为椭圆
相互垂直．
D两点（2）若不垂直x轴的直线l过椭圆E的右焦点F2，交椭圆于C，（C在x轴上方），直线A1C，A2D分别与y轴交于S，T两点，O为坐标原点，求证：
．
21．已知某机床的控制芯片由n（n∈N*）个相同的单元组成，每个单元正常工作的概率为p，且每个单元正常工作与否相互独立． （1）若（2）若
，求至少有3个单元正常工作的概率；
，并且n个单元里有一半及其以上的正常工作，这个芯片就能控制机床，其
概率记为P（n）． ①求P（7）的值； ②若
，求n的值．
22．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣mx2（m∈R）． （1）选择下列两个条件之一：①在极小值点，并说明理由；
（2）已知m＞0，设函数g（x）＝f（x）+mxln（mx）．若g（x）在区间（0，+∞）上存在零点，求实数m的取值范围．
；②m＝1；判断f（x）在区间（0，+∞）是否存
参考答案
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知命题p：∀x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1，则命题p的否定是（ ） A．∀x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1 B．∃x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx＜x﹣1
D．∃x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1
解：根据题意，命题p：∀x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1，是全称命题， 其否定为：∃x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1， 故选：D． 2．已知函数，则f[f（0）]＝（ ）
A．3
B．﹣3
C．﹣2
D．2
解：根据题意，函数，
则f（0）＝1+2＝3，
则f[f（0）]＝f（3）＝log28＝3， 故选：A．
3．已知i是虚数单位，z为复数，2+＝z（3+i），则在复平面内z对应的点位于（A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解：∵2+＝z（3+i）， ∴
，
∴复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：D． 4．设集合
，集合B＝{y|y＝2|x|+1}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣2]
C．[2，3）
D．（3，+∞）
） 解：∵集合＝{x|}＝{x|﹣3＜x＜3}，
集合B＝{y|y＝2|x|+1}＝{y|y≥2}， ∴A∩B＝{x|2≤x＜3}＝[2，3）． 故选：C．
5．已知复数z，“z+＝0”是“z为纯虚数”的（ ） A．充分非必要条件 C．充要条件
B．必要非充分条件 D．既非充分也不必要条件
解：对于复数z，若z+＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+＝0．
∴“z+＝0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件． 故选：B．
6．已知集合M＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，非空集合P满足：（1）P⊆M；（2）若x∈P，则﹣x∈P，则集合P的个数是（ ） A．7
B．8
C．15
D．16
解：∵P⊆M，且x∈P，﹣x∈P，
∴满足条件的集合P应含有元素为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3， ∵P为非空集合，
∴集合P的个数为24﹣1＝15， 故选：C．
7．设a＝20.4，b＝0.40.3，c＝log23，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
＜1.5，
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
解：1＝20＜20.4＜20.5＝0.40.3＜0.40＝1， log23＞log22故b＜a＜c， 故选：D．
＝1.5，
8．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足2x2f（x）+x3f'（x）＝lnx，（其中e为自然常数，e≈2.718），则下列说法正确的是（ ） A．f（x）在（0，+∞）上单调递增
B．f（x）在（0，+∞）上单调递减 C．f（x）在（0，+∞）上有极大值 D．f（x）在（0，+∞）上有极小值
解：∵2x2f（x）+x3f'（x）＝lnx，x∈（0，+∞）， ∴2xf（x）+x2f'（x）＝令g（x）＝x2f（x），
则g′（x）＝2xf（x）+x2f'（x）；② 又（ln2x+C）′＝
，③ ，①
由①②③得x2f（x）＝ln2x+C（x＞0），
∴f（x）＝（x＞0），
又，即＝，解得C＝，
∴f（x）＝（x＞0）．
∴f′（x）＝＝＝≤0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减， 故选：B．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9．已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中一定正确的有（ ） A．ac＞bc
B．
C．ac2＞bc2
D．
解：对于A，f（x）＝xc 在（0，+∞）为减函数，当a＞b＞0时，ac＜bc，故A错误， 对于B，∵a＞b＞0， ∴
，
又∵c＜0，
∴，故B正确，
对于C，∵a＞b＞0， ∴c2＞0，
∴ac2＞bc2，故C正确， 对于D，∵a＞0＞c， ∴确． 故选：BCD．
10．已知数据1：x1，x2，⋯，xn，数据2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2xn﹣1，则下列统计量中，数据2是数据1的两倍的有（ ） A．均值
B．极差
C．方差
D．标准差
，当且仅当a＝﹣c时等号成立，故D正
解：设数据1：x1，x2，⋯，xn的均值为，标准差为s，极差为R＝xmax﹣xmin， 则数据2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2xn﹣1的均值为标准差为确． 故选：BD．
11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）是奇函数，f（x+1）是偶函数．则下列选项中说法正确的有（ ） A．f（2）＝0 B．f（x）周期为2
C．f（x）的图象关于直线x＝1对称 D．f（x﹣2）是奇函数
解：因为定义在R上的函数f（x）满足f（x）是奇函数， 所以f（0）＝0， 又f（x+1）是偶函数， 所以f（1﹣x）＝f（1+x）， 所以f（2﹣x）＝f（x），
所以f（2）＝f（0）＝0，故A正确； 则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
，方差为4s2，故A，C错误，
，极差为2xmax﹣1﹣（2xmin﹣1）＝2（xmax﹣xmin）＝2R，故B，D正
则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
故函数f（x）是周期为4的周期函数，故B错误；
由f（1﹣x）＝f（1+x），可知f（x）的图象关于直线x＝1对称，故C正确； 由已知f（x）关于（0，0）和直线x＝1对称， 从而f（x）关于（2，0）对称，
又因为f（x）的周期T＝4，可得f（x）关于（﹣2，0）对称， 所以f（x﹣2）是奇函数，故D正确． 故选：ACD．
12．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r（0＜r＜2），设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（ ） A．当r＝1时，
B．当r在区间（0，2）内变化时，V先增大后减小 C．V不存在最大值
D．当r在区间（0，2）内变化时，V逐渐减小 解：由题意，圆台的体积＝＝
对于A，当r＝1时，
，
，故选项A正确；
，
设f（r）＝﹣3r3﹣4r2+4r+8，
则f'（r）＝﹣9r2﹣8r+4在（0，2）上单调递减， 设f'（r）＝0的两个根为r1，r2（r1＜r2）， 由韦达定理
，则r2∈（0，2），
且当r∈（0，r2）时，f'（r）＞0，则f（r）单调递增， 当r∈（r2，2）时，f'（r）＜0，则f（r）单调递减， 由f（0）＝8，f（1）＝5，f（2）＝﹣24， 所以存在r0∈（1，2），使得f（r0）＝0，
当r∈（0，r0）时，f（r）＞0，即V'＞0，故函数V单调递增， 当r∈（r0，2）时，f（r）＜0，即V'＜0，故函数V单调递减， 故选项B正确，选项C错误，选项D错误． 故选：AB．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知二项式为 160 ．
解：∵（x+）n展开式的二项式系数之和是2n＝64，则n＝6，
﹣
∴（x+）6的展开式中的通项公式为：Tr+1＝C6r•2r•x62r，
展开式的二项式系数之和为64，则n＝ 6 ；展开式中的常数项
令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中的常数项的值是C63•23＝160， 故答案为：6，160．
14．请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）： f（x）＝x﹣2 ． ①f（x）是偶函数；
②f（x）在（0，+∞）上单调递减； ③f（x）的值域是（0，+∞）．
解：从具有奇偶性，单调性的角度进行分析，从基本初等函数进行考虑， 则时满足三个条件的函数f（x）可以为：f（x）＝x﹣2． 故答案为：f（x）＝x﹣2．
15．一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野免的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野免的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为
．
解：记事件A＝“猎人第一击中野兔“，事件B＝“猎人第二击中野兔“，事件C＝“猎人第三击中野兔“，D＝“野兔被击中“，
则P（D）＝P（A+B+C）＝P（A）+P（B）+P（C）＝0.8+0.2×0.4+0.2×0.6×0.2＝0.904，P（B）＝0.2×0.4＝0.08， P（B|D）＝
．
故答案为：．
16．已知双曲线.，直线与双曲
线C的两条渐近线分别交于A，B两点，O是坐标原点，若△AOB是锐角三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是 （
，2） ．
解：运用临界法：当∠AOB＝90°时，渐近线方程为y＝±x，即＝1，离心率e＝＝＝
，
（x+c）与渐近线y＝﹣x垂直时，＝
，离心率e＝＝
＝
当直线y＝＝2，
所以当△AOB是锐角三角形时，双曲线的离心率e∈（故答案为：（
，2）．
，2）．
四、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．设二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1）． （1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）＝f（ex）在x∈[0，1]的最大值是1，求实数c的值．
解：（1）根据题意，二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1），则二次函数f（x）开口向下，其对称轴为x＝1， 则有﹣＝1，解可得a＝﹣1； （2）函数g（x）＝f（ex）， 设t＝ex，若x∈[0，1]，则1≤t≤e，
函数g（x）＝f（ex）在x∈[0，1]的最大值是1，且∀x∈R，f（x）≤f（1）． 则x＝0时，g（x）取得最大值1，
即g（0）＝f（1）＝﹣1+2+c＝1，解可得c＝0； 故c＝0，
18．高二下学期期末考试之后，年级随机选取8个同学，调查得到每位同学的每日数学学习时间xi（分钟）与期末数学考试成绩yi（分）的数据，并求得
．
（1）求学生的数学考试成绩y与学生每日数学学习时间x的线性回归方程（2）小明每日数学学习时间如果是65分钟，试着预测他这次考试的数学成绩．
；
附：＝，＝﹣．
解：（1）由已知的数据可得，所以则
故线性回归方程为（2）当x＝65时，则
故预测他这次考试的数学成绩为132.5分．
，
；
，
，
，
19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD是正方形．若PD＝PA＝
，PC＝
．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）在线段PB上是否存在一点Q满足：二面角B﹣AC﹣Q的余弦值为请求出
的比值λ．若不存在，请说明理由．
？若存在，
解：（1）设正方形ABCD的边长为2a，取AD的中点M，连接PM，MC， 由平面PAD⊥平面ABCD，
，
则PM⊥AD，所以PM⊥平面ABCD，则PM2＝17﹣a2， 又PM⊥MC，所以PM2＝21﹣5a2，则解出a＝1，PM＝4，
所以体积
因此，四棱锥P﹣ABCD的体积（2）存在，理由如下：
． ；
以M为坐标原点，平行于AB为x轴正方向，MD为y轴正方向，MP为z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（0，﹣1，0），B（2，﹣1，0），C（2，1，0），P（0，0，4）， 设
4﹣4λ），则Q（2λ，﹣λ，，所以
，
，
，
设平面QAC的法向量
由，所以，令x＝1，可得
，
而
为平面ABCD的一个法向量，
所以＝，则
，
有
或
．由于点Q在PB上，所以
．
，且
．
所以在线段PB上是否存在一点Q满足：二面角B﹣AC﹣Q的余弦值为
20．已知椭圆经过点A1（﹣2，0），A2（2，0），点B为椭圆
E的上顶点，且直线A1B与直线（1）求椭圆E的方程；
相互垂直．
D两点（2）若不垂直x轴的直线l过椭圆E的右焦点F2，交椭圆于C，（C在x轴上方），直线A1C，A2D分别与y轴交于S，T两点，O为坐标原点，求证：解：（1）由题可得a＝2， 因为直线A1B与直线所以
•k＝﹣1，即
相互垂直，
，解得b＝
，
．
所以椭圆E的方程为：；
证明：（2）设直线l方程为x＝my+1（m≠0），
联立得（4+3m²）y²+6my﹣9＝0，
设C（x1，y1），D（x2，y2）， 则有y1+y2＝﹣
，y1y2＝﹣
，
A1C：y＝，令x＝0，则ys＝，同理可得yr＝，
所以||＝＝＝，
则||﹣＝＝，
因为2my1y2﹣3（y1+y2）＝2m•（﹣所以|即|
|﹣＝0， |＝，得证．
）﹣3•（﹣）＝0，
21．已知某机床的控制芯片由n（n∈N*）个相同的单元组成，每个单元正常工作的概率为p，且每个单元正常工作与否相互独立． （1）若
，求至少有3个单元正常工作的概率；
（2）若，并且n个单元里有一半及其以上的正常工作，这个芯片就能控制机床，其
概率记为P（n）． ①求P（7）的值； ②若
，求n的值．
解：（1）设至少有3个单元正常工作的概率为P1， 则P1＝
；
（2）①当n＝7时，至少有4个单元正常工作芯片就能控制机床， 所以P（7）＝因为
，
＝
＝26，
，
，
所以P（7）＝又
所以P（7）＝； ②若n＝2k﹣1（k∈N*）， 则P（n）＝＝因为
所以P（n）＝； 若n＝2k（k∈N*）， 则P（n）＝而对立事件且
则P（n）﹣
＝＝
＝
，
， ，
，
＝
，
+•••+
，
所以P（n）≠．
综上所述，n＝2k﹣1（k∈N*）．
22．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣mx2（m∈R）． （1）选择下列两个条件之一：①在极小值点，并说明理由；
（2）已知m＞0，设函数g（x）＝f（x）+mxln（mx）．若g（x）在区间（0，+∞）上存在零点，求实数m的取值范围． 解：（1）若选①：
，则函数f（x）＝ex﹣1﹣x2，
；②m＝1；判断f（x）在区间（0，+∞）是否存
﹣﹣
所以f'（x）＝ex1﹣x，f''（x）＝ex1﹣1，
因为f''（x）单调递增，且f''（1）＝0，
所以f'（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增， 则f'（x）≥f'（1）＝0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以不存在极小值点；
若选②：m＝1，则f（x）＝ex﹣1﹣x2，
﹣﹣
所以f'（x）＝ex1﹣2x，f''（x）＝ex1﹣2，
由f''（x）单调递增，且f''（1+ln2）＝0，
所以f'（x）在（0，1+ln2）上单调递减，在（1+ln2，+∞）上单调递增， 故f'（x）≥f'（1+ln2）＝﹣2ln2＜0， 又f'（4）＝e3﹣8＞0，
所以存在极小值点x0∈（1+ln2，4）．
（2）令g（x）＝0，则ex﹣1﹣mx2+mxln（mx）＝0， 又mx＞0， 所以
令t＝x﹣ln（mx）， 故et1﹣t＝0有解，
﹣
＝ex
﹣ln（mx）﹣1
﹣[x﹣ln（mx）]＝0，
设h（t）＝et﹣1﹣t，
则h'（t）＝et﹣1﹣1，令h'（t）＝0，解得t＝1，
所以h（t）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 又h（1）＝0，
所以h（t）＝et1﹣t有唯一的零点t＝1，
﹣
若g（x）在区间（0，+∞）上存在零点， 即1＝x﹣ln（mx）在（0，+∞）上有解， 整理可得1+lnm＝x﹣lnx， 令l（x）＝x﹣lnx，
则l'（x）＝1﹣，令l'（x）＝0，解得x＝1，
所以l（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 故l（x）≥l（1）＝1， 所以1+lnm≥1， 解得m≥1，
所以m的取值范围为[1，+∞）．
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