高三一轮复习《平面向量公式和基本方法》

平面向量是高一所学内容，这是一个比较有特点的知识，其在物理的“力的分解”上也有所涉及，高中数学

对于平面向量的考察形式主要有两方面：1）向量知识、公式相关题型的考察；2）结合三角函数出题或者出现在解析几何的条件中。

1、平面向量相关主要知识点

1）单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e|1，特别的：a|a|是与a同向的单位向量。

零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】。 相等向量：长度和方向都相同的向量。

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 相反向量：长度相等，方向相反的向量。ABBA。 2）向量的加减法：

三角形法则

ABBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB（指向被减数）

A,x1,y1,Bx2,y2ABx2x1,y2y1

平行四边形法则：

以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab，ab。

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那

条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段

就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法

的三角形法则可推广至多个向量相加：

3）共线（平行）定理：aba//b。当0时，a与b同向；当0时，a与b反向。 4）向量的模：若a(x,y)，则|a|5）设ax1,y1,bx2,y2则：

数量积与夹角公式：ab|a||b|cosx1x2y1y2； cosx2y2，a|a|2，|ab|(ab)2

2ab

|a||b|这儿要注意“夹角”的定义！

b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0

平行与垂直：a//bab(ab)2(|a||b|)2x1y2y1x2＝0

abab0|ab||ab| x1x2y1y20

6）向量夹角为锐角：cos0,且cos1ab0,且a,b不共线；

向量夹角为钝角：cos0,且cos1ab0,且a,b不共线。 7）OAxOByOC,xy1A,B,C共线。

8）QAQBQC0Q是三角形ABC的重心（重心分中线的两段比值是2:1）。 9）PAPBPBPCPCPAP是三角形ABC的垂心。 10）AP//(AB|AB||AC|AC)P在角A的平分线上。

11）ABADABAD说明ABAD

2、主要题型

1、普通直接套公式的题目比较简单，只要公式记对记全就可以了，不过也有需要注意的地方： 已知三角形ABC的边AB=3，AC=4，BC=5，则ABBC=

2、平面向量基本定理：向量加减法法则的应用。

主要是图形类题目中会用到，题中会出现一些特殊的分点，利用“三角形法则”“平行四边形法则”进行拆分、合并，简单的考察是用已知向量去表示要求的向量，不过这类题一旦难，就需要能在多补的表示中方向清楚，不至于到最后绕不出来。

例1、如图，四边形OABC是以向量OAa,OBb为边的平行四边形，又BN用a,b表示向量OM,ON,MN；

11BO,CMCD,试 33

例2、设D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB上的点，且AF11ABBDBC，23CE

1CA，若记ABm，CAn，试用m，n表示DE、EF、FD。 43、求数量积：

常规有三个方法：（1）ab|a||b|cos；（2）abx1x2y1y2；（3）用已知向量去表示要求的 向量；

一般这类题分为两类：坐标题和图形题。如果已知条件是坐标，那么就直接用相关坐标公式去解题。

如果是图形题，那么就要考虑是用“建系”坐标解题，还是使用普通向量公式了。相对来说，这两个方法 各有各的优劣，前者计算量相偏大，后者相对比较难推导。不过，如果遇到特殊图形题，或者可以假设成 特殊图形的话，坐标法相对会好一些。但是，如果思维已经养成倾向性，那么可以遵循自己的喜好，建议 两种方法都要会。 1）比较基础的题



（1）若向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a+2b| ．

3

（2）已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为 ． 1

（3）已知向量a，b的夹角为45°，且|a|1，|2ab|10，则|b|= ．32

2）图形类问题

21 BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF2， 例、如图，在矩形ABCD中，AB2，则AEBF的值是 ．

D E F C

A B

例、如图，在ABC中，BAC120,AB2,AC1,D是边BC上一点，DC2BD,ADBC .

A

83

B

D

C

例、如图, 在等腰三角形ABC中, 底边BC2, ADDC, AE若BDAC

1EB, 21, 则CEAB= ． 2例3、在△ABC中，若AB=1，AC=3，|ABAC||BC|，则BABC= ．

|BC|

例4、在菱形ABCD中，AB23,B

例5、如图，在等腰三角形ABC中，已知ABAC1,A120,E,F分别是边AB,AC上的点，且AEmAB,AFnAC,其中m,n(0,1),若EF,BC的中点分别为M,N,且m4n1,则MN的最小值是 .

2,BC3BE,DA3DF,则EFAC ． 3A

E B

F

C

M N

例6、在ABC中，AB=1，AC=2，O为ABC外接圆圆心，则AOBC

变式：在ABC中，AB=1，AC=2，O为ABC外接圆圆心，M为BC中点，则AOAM

例7、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxAByAC，则 x ，y

例8、已知平面向量，是 .

45CE60DAB0,满足=1，且与β-α的夹角为120°，则的取值范围

例9、如图所示,△ABC中,已知P为线段AB上的一点，OP=xOA+yOB。 （1）若BP=PA，求x，y的值；

（2）若BP=3PA，OA=4，OB=2，且OA与OB的夹角为60°时，求OPAB的值

4、向量的夹角

例1、设a(x,3)，b(2,1)，若a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是 __ ____。

例2、已知向量a、b不共线，且|a||b|，则ab与ab的夹角为 __________。

例3、已知OP=(2,1)，OA=(1,7) ，OB=(5,1)，设M是直线OP上一点，O是坐标原点 ⑴求使MA•MB取最小值时的OM； ⑵对（1）中的点M，求AMB的余弦值。

5、较难题

例1、若点O是△ABC所在平面内一点，满足3OAOBOC0，则

例2、在ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设AMxAB，

SABO的值是 ．1:5 SABCANyAC（xy0），则4xy的最小值是 ．

3、与其他知识相结合

（1）一般会出现在三角函数的条件中，比如：“已知a(sinx,cosx),b(2sinx,cosx),fxab”或者“a//b94ab”然后求值，这块主要就是涉及平面向量的坐标相关公式，难度一般的。

（2）有时候会出现在解析几何的条件中，比如“AF2FB”，也会出现“平行， 垂直”“锐角”“钝角”按内容，用平面向量去解决； 还有就是用平面向量去解决“垂直”要比用“斜率”要好，起码不用涉及存不存在。

这个在后面的三角和解析几何中会有相关题目。