大一下学期高等数学期末考试试题及答案

大一下学期高等数学期末

考试试题及答案

Last updated on the afternoon of January 3, 2021

高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】

院（系）别

大题 一 小题 得分 二 3 三 4 5 四 五 六 七 班级学号 姓名 成绩

1 2 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线

上）

1、已知向量a、b满足ab0，a2，b2，则ab ．

3z2、设zxln(xy)，则 ． 2xy3、曲面x2y2z9在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．

4、设f(x)是周期为2的周期函数，它在[,)上的表达式为f(x)x，则

f(x)的傅里叶级数

在x3处收敛于 ，在x处收敛于．

L5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则(xy)ds ．

※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．

二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

2222x3yz91、求曲线2在点M0(1,1,2)处的切线及法平面方程． 22z3xy2、求由曲面z2x22y2及z6x2y2所围成的立体体积． 3、判定级数(1)nlnn1n1是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛 nxz2z4、设zf(xy,)siny，其中f具有二阶连续偏导数，求,．

yxxy5、计算曲面积分dS,其中是球面x2y2z2a2被平面zh(0ha)截z出的顶部．

三、（本题满分9分）

抛物面zx2y2被平面xyz1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 四、（本题满分10分）

计算曲线积分(exsinym)dx(excosymx)dy，

L其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周

x2y2ax(a0)．

五、（本题满分10分）

xn求幂级数n的收敛域及和函数．

n13n六、（本题满分10分）

计算曲面积分I2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy，

其中为曲面z1x2y2(z0)的上侧． 七、（本题满分6分）

设f(x)为连续函数，f(0)a，F(t)[zf(x2y2z2)]dv，其中t是由

t曲面zx2y2与zt2x2y2所围成的闭区域，求limt0F(t)． 3t-------------------------------------

备注：①考试时间为2小时；

②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。

高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】

参考解答与评分标准

一、填空题【每小题4分，共20分】1、4；2、3，0；5、2. 二、试解下列各题【每小题7分，共35分】

1；3、2x4yz14；4、2ydzdy3yz2xdy5xdxdx1、解：方程两边对x求导，得，从而，dx4yydyzdz3xdxdxdz7x…………..【4】 dx4z该曲线在1,1,2处的切向量为T(1,,)57481(8,10,7).…………..【5】 8故所求的切线方程为

x1y1z2………………..【6】 8107法平面方程为8x110y17z20即8x10y7z12……..【7】

z2x22y222xy2，该立体在xOy面上的投影区域为２、解：22z6xyDxy:x2y22．…..【2】

故所求的体积为V【7】

11n３、解：由limnunlimnln(1)limln(1)10，知级数un发

nnnnnn1dvd2020d6222dz220(632)d6……..

散…………………【3】 又|un|ln(1)ln(1条件收敛．【7】 ４、解：

1n11)|un1|,lim|un|limln(1)0.故所给级数收敛且

nnn1nz11(f1yf2)0yf1f2，…………………………………【3】 xyy2zx11xf1y[f11xf12(2)]2f2[f21xf22(2)]xyyyyyf1xyf111xff.【7】 22322yy５、解：的方程为za2x2y2，在xOy面上的投影区域为

Dxy{(x,y)|x2y2a2h2}．

22又1zxzyaa2x2y2，…..………【３】

故

2a2h2ddSadxdy2ad2200zDxyaxya2212aln(a22)20a2h2a2aln..【7】

h三、【9分】解：设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为

dx2y2z2……【1】

令L(x,y,z)x2y2z2(zx2y2)(xyz1)，

Lx2x2x0L2y2y0y13则由Lz2z0，解得xy，z22zx2y2xyz1极值点

3．于是得到两个可能

M1(13131313,,23),M2(,,23).…………………【7】 2222又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．

故dmax|OM2|953,dmin|OM1|953.……【9】

四、【10分】解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得

I2【5】

LOA(exsinym)dx(excosymx)dymdD8ma2．………………

而I1OA(esinym)dx(ecosymx)dymdxma…………【8】

0xxa(exsinym)dx(excosymx)dyI2I1maL8ma2.……………………

…【10】

an1n3n1limR3，收敛区间为五、【10分】解：limnann13n13n(3,3)…………【2】

11又当x3时，级数成为，发散；当x3时，级数成为，收敛．……

nn1n1nn【4】

故该幂级数的收敛域为3,3………【5】

xn令sxn（3x3），则

n1n3xn11xn1111,(|x|3)……【8】 s(x)n()3n1331x/33xn13于是s(x)s(x)dx0xxdxln3x0ln3ln3x，03xx（3x3）………………….【10】

六、【10分】解：取1为z0(x2y21)的下侧，记与1所围成的空间闭区域为

，则由高斯公式，有I212xdydz2ydzdx3z33201021dxdy6x2y2zdv………….…【5】

1206dd2zdz2…………………….…【7】

而

I12x3dydz2y3dzdx3z21dxdy3z21dxdy311x2y21dxdy3….

…【9】

II2I123.…………………….…【10】

七、【6分】解：Ft202r2dr….…【2】 d4sindrcosfr00tt4228….…【4】 0rfrdrt22t322t2f(t2)Ft222limf(t2)22a.lim故limt0t0t0t33t233【6】