大一高等数学复习题(含标准答案)

一、

单项选择题：

1、f(x)1的定义域是（ D ）

lgx5A、,5(5,) B、,6(6,)

C、,4(4,) D、,4(4,5)5,6(6,)

2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x)的定义域是（ B ） A、[1，2] B、[1，2] C、[2,2] D、[2,1][1,2] 3、函数ylg(x21x)lg(x21x)( D ) A、是奇函数，非偶函数 B、是偶函数，非奇函数 C、既非奇函数，又非偶函数 D、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为R，且原式=lg(x+1-x)=lg1=0 4、函数f(x)1x2(0x1)的反函数fA、1x2 B、1x2

C、1x2(1x0) D、1x2(1x0) 5、下列数列收敛的是（ C ）

12

2

2

(x)（ C ）

1n1,n为奇数nn1A、f(n)(1) B、f(n)

1n11,n为偶数n12n1,n为奇数n,n为奇数2nC、f(n) D、f(n) n112,n为偶数,n为偶数n12n解：选项A、B、D中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C的数列极限为0 6、设yn0.111，则当n 时，该数列（ C ）

n个1A、收敛于 B、收敛于 C、收敛于

1 D、发散 9解：yn0.111111112n(1n) 1010910107、“f(x)在点x=x0处有定义”是当xx0时f(x)有极限的（ D ） A、必要条件 B、充分条件 C、充分必要条件 D、无关条件 8、下列极限存在的是（ A ） A、

limx(x1)1 B、 lim2xxxx211xC、lime D、limx0xx21 x解：A中原式lim(1x1)1 xx22xsinx9、lim=（ A ）

x2x2sinxA、

1 B、2 C、0 D、不存在 2解：分子、分母同除以x2，并使用结论“无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量”得

sin(x21)（ B ） 10、limx1x1A、1 B、2 C、

1 D、0 2sin(x21)2 解：原式=lim(x1)2x1x111、下列极限中结果等于e的是（ B ）

sinxsinxsinxsinx) B、lim(1) A、lim(1x0xxxsinx)C、lim(1xxsinxxxxsinx) D、lim(1x0xsinxx

解：A和D的极限为2， C的极限为1 12、函数y1的间断点有（ C ）个 ln|x|A、1 B、2 C、3 D、4

解：间数点为无定义的点，为-1、0、1

13、下列函灵敏在点x=0外均不连续，其中点x=0是f(x)的可去间断点的是（ B） A、f(x)11x11 B、f(x)sinx xx1xC、f9x)e D、f(x)e,x0

xe,x0解：A中极限为无穷大，所以为第二类间断点

B中极限为1，所以为可去间断点

C中右极限为正无穷，左极限为0，所以为第二类间断点 D中右极限为1，左极限为0，所以为跳跃间断点 14、下列结论错误的是（ A ）

A、如果函数f(x)在点x=x0处连续，则f(x)在点x=x0处可导 B、如果函数f(x)在点x=x0处不连续，则f(x)在点x=x0处不可导 C、如果函数f(x)在点x=x0处可导，则f(x)在点x=x0处连续 D、如果函数f(x)在点x=x0处不可导，则f(x)在点x=x0处也可能连续 15、设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),则f(0)=( A ) A、6 B、3 C、2 D、0 16、设f(x)=cosx，则lim’

x0f(a)f(ax)（ B ）

xA、sina B、sina C、cosa D、cosa 解：因为原式=lim2x0f(a)f(ax)f(a)

x17、ycos2x，则dy（ D ）

A、(cos2x)(2x)dx B、(cos2x)dcos2x C、2cos2xsin2xdx D、2cos2xdcos2x

18、f(x)在点x=x0处可微，是f(x)在点x=x0处连续的（ C ） A、充分且必要条件 B、必要非充分条件 C、充分非必要条件 D、既非充分也非必要条件

2219、设yxne2x，则y(n)(0)（ A ）

A、n!(2)n B、n! C、n!(2)n1 D、n!-2

20、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ A ） A、y=x2

-5x+6 [2，3] B、y1(x1)2 [0，2]

C、yxex [0，1] D、yx1,x51,x5 [0，5]

21、求下列极限能直接使用洛必达法则的是（ B ）

x2sin1A、limsinx B、tan5xxxxlimsinxx C、x0lim D、limx0

x2sin3xsinx22、设f(x)2x3x2，则当x趋于0时（ B ）

A、f(x)与x是等价无穷小量 B、f(x)与x是同阶非等价无穷小量 C、f(x)是比x较高阶的无穷小是 D、f(x)是比x较低阶的无穷小量 解：利用洛必达法则

f(x)2x3xlimx0xlim202xln23xln3x0x0limx01ln2ln31 23、函数f(x)exex在区间（-1，1）内（ D ）

A、单调增加 B、单调减少 C、不增不减 D、有增有减 24、函数yx1x2在（-1，1）内（ A ） A、单调增加 B、单调减少 C、有极大值 D、有极小值 25、函数y=f(x)在x=x0处取得极大值，则必有（ D ） A、f ’(x0)=0 B、f ”(x0)<0

C、f ‘(x0)=0且f “(x0)<0 D、f ‘(x0)=0或f ‘(x0)不存在

26、f ‘(x0)=0，f “(x0)>0是函数f(x)在点x=x0处以得极小值的一个（A、必要充分条件 B、充分非必要条件 C、必要非充分条件 D、既非必要也非充分条件

） B 27、函数y=x+12x+1在定义域内（ A ）

A、单调增加 B、单调减少 C、图形上凹 D、图形下凹

28、设函数f(x)在开区间（a，b）内有f ‘(x)<0且f “(x)<0，则y=f(x)在(a，b)内（ C ） A、单调增加，图形上凹 B、单调增加，图形下凹 C、单调减少，图形上凹 D、单调减少，图形下凹 29、对曲线y=x+x，下列结论正确的是（ D ）

A、有4个极值点 B、有3个拐点 C、有2个极值点 D、有1个拐点 30、若

5

3

3

f(x)dxxe2z22xC，则f(x)=（ D ）

22x C、2xe D、2xe(1x)

2xA、2xe B、4xe2z31、已知y2x，且x=1时y=2，则y=( C ) A、x B、x+C C、x+1 D、x+2 32、darcsinx（ B ） A、arcsin2

2

2

2

x B、arcsinx+C C、arccosx D、arccosx+C

33、设f(x)存在，则

df(x)（ B ）

A、f(x) B、f(x) C、f(x)+C D、f(x)+C 34、若

f(x)dxx2C，则xf(1x2)dx（ D ）

2222A、2(1x)C B、2(1x)C

11(1x2)2C D、(1x2)2C 221122222解：xf(1x)dxf(1x)d(1x)(1x)C

22C、35、设

f(x)dxsinxC，则f(arcsinx)1x2dx（ D ）

A、arcsinx+C B、sin1x2C C、解：原式=

1(arcsinx)2C D、x+C 2f(arcsinx)darcsinxsin(arcsinx)cxC

x36、设f(x)e，则

f(lnx)dx（ C ） xA、11C B、lnxC C、C D、lnx+C xx解：原式=

f(lnx)dlnxf(lnx)CelnxC1C x37、设xf(x)dxarcsinxC，则

1dx（ B ） f(x)31(1x2)3C B、(1x2)3C 43322222C、3(1x)C D、3(1x)C

43A、解：对xf(x)dxarcsinxC两端关于x求导得

xf(x)11x2，即f(x)1x1x2，

所以

111dxx1x2dx1x2d(1x2)(1x2)2C f(x)2338、若sinx是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx（ A ） A、xcosx-sinx+C B、xsinx+cosx+C C、xcosx+sinx+C D、xsinx-cosx+C

解：由sinx为f(x)的一个原函数知f(x)=cosx，则使用分部积分公式得 39、设f(e)1x，则f(x)=（ B ）

xx2C D、xlnx-x+C A、1+lnx+C B、xlnx+C C、x240、下列积分可直接使用牛顿—莱布尼茨公式的是（ A ） A、

5014dxx3dxdx B、 C、11x20x21xdx(x5)232 D、

11exdx xlnx解：选项A中被积函数在[0，5]上连续，选项B、C、D中被积函数均不能保证在闭区间上连续 41、

22|sinx|dx（ A ）

A、0 B、220|sinx|dx C、2(sinx)dx D、22sinxdx

20042、使积分

20kx(1x2)2dx32的常数k=（ C ）

A、40 B、-40 C、80 D、-80

22k2k1222)k32 解：原式=(1x)d(1x)(2021x20512x1,1x043、设f(x)，则 f(x)dx（ B ）

11x,0x1A、解

11151115 B、 C、 D、 2ln232ln232ln232ln23：

11f(x)dx(2x1)dx1x2dx(100131021x152x)(1x)2

1302ln23ln244、yx0(t1)2(t2)dt，则

dydx（ B ）

x0A、-2 B、2 C、-1 D、1 解：dy/dx=(x+1)(x+2)

45、下列广义积分收敛的是（ B ）

1dx1dx1dxdxA、 B、 C、 D、3

000x0xxxx2

1解：四个选项均属于二、填空题 1、e10dx，该广义积分当p<1时收敛，大于等于1时发散 xpxexdx（ ）

解：原式=eedxedee+C 2、已知一函数的导数为f(x)xexexxex11x2，且当x=1时，函数值为，

32则此函数F(x)=( arcsinx )

解：

F(x)f(x)F(x)11x2dxarcsinxC

3F(1)arcsin1C,C23、曲线yex2的上凸区间是（ （22,22） ） 解：y2xex2,y2(2x21)ex2,x22 4、

22sin2x)cos3(xxdx（

8 ） 2x3cos2为奇函数，23xcos2xdx0解：

2

212121cos4xsin2xcos2xdx22sin2xdxdx20420285、若f(x)的一个原函数是sinx，则

f(x)dx（ -sinx+C ）

解：f(x)(sinx)cosx,f(x)sinx,f(x)cosx 6、设f(x)xln(xx2a2)x2a2，其中a0，则f(0)（

1a f(x)ln(xx2a2)xxx2a2(112x12x2a2)22xx2a2ln(xx2a2)解：f(x)112x1xx2a2(12x2a2)x2a2f(0)1a27、曲线xcostcos2ty1sint上对应于t4的点外的法线斜率为（ 12 8、设yf(2x2)，而f(x)tanx，则dyx（ 2 ）

8解：

dydxf(2x2)(2x2)4xtan(2x2) 9、lim1n(n212n2nnn（ 122)2 ） 10、设f(x)lim(n1)x21，则f(x)的间断点为x=（ 0 ）

nnx解：x不等于0时，f(x)limx1nnx n1x21n1）

） X=0时，f(x)=f(0)=0,显然x不等于0时，f(x)=1/x 连续，又limf(x)f(0)

x0三、计算题

x211x21、求极限lim22 2x0xsinx参考答案：

x211141[1x2x4o(x4)]xo(x4)1288原式=lim2 lim44x0x08xx2、求极限

limx031x21x(ex1)

(3x1)ln(1x)参考答案：

利用等价无穷小：e1~x,a1~xlna,ln(1x)~x,(1x)1~x 原式=

xx12x1x1x(e1)11x1x(e1)1xx3limlim2limlimlim22x0x0x0x0x2ln3x0x2ln33ln3(ln3)x2xx32x32x

xa(tsint)d2y3、设，求 2dxya(1cost)参考答案：

dyytasint dxxta(1cost)dy)dydxddydt2dxdtdx dxdxcost(1cost)sintsint1cost11a(1cost)a(1cost)3a(1cost)2(1cost)22d(d2y4、求由方程y1xe所确定隐函数的二阶导数

dx2y参考答案：

把原方程两边对自变量x求导，得

dydyeyxey dxdxdyeyey解得 dx1xey2y则

dyde()dx2dx2y2yeydydy(2y)ey()2ydxdx(3y)e

(2y)2(2y)3-2

5、近似计算数e的值，使误差不超过10 参考答案：

ex1x121xxn 2!n!11e令x=1e11

2!n!(n1)!要使误差Rn103，只需Rn经计算，只需取n=5,所以

3102

(n1)!e11112.50.16670.04170.00832.71672.72 2!5!36、讨论函数f(x)x(1x)的凸性与相应曲线拐点 参考答案： 函数的定义为R

f(x)3x24x3

f(x)6x12x26x(12x)

由f(x)0可得x=0,1/2 列表如下：

x (-∞，0) - 凹 0 0 拐点 （0，1/2） + 凸 1/2 0 拐点 （1/2，+∞） - 凹 f(x) f(x) 所以凹区间为(,0)(,) 凸区间为(0,)

121211) 216227、 求函数yx的单调区间、极值点

x拐点为（0，0）和(,参考答案：

定义域为(,0)(0,)．

2x31由y2x222，令y0得驻点x1，列表给出单调区间及极值点：

xxx (,0) － (0,1) — １ ０ 极小值3 (1,) ＋ y f(x) ] ] Z 所以，函数的单调递减区间为(,0)，(0,1]，单调递增区间为[1,)，极小值点为(1,3) 8、 求由y=参考答案：

x,y=x,x=2所围图形的面积

A=(x-x)dx+蝌0121(x-xdx)=74-2 331x29、设f(x)xe参考答案：

3x0，求f(x2)dx．

1x0方法一：先作变量代换

31f(x2)dx13301x2t1011f(t)dt(1t2)dtetdt

1001 [tt]et417e1e1． 331(x2)2方法二：先给出f(x2)(x2)ex2，于是 x271e 331f(x2)dx[1(x2)2]dxe(x2)dx122310、求曲线y(x1)33x在A（-1，0），B（2，3），C（3，0）各点处的切线方程

参考答案：

11x1y3x(x1)(3x)3(1)33x

333(3x)232在A（-1，0）点处，ky(1)34 所以在A点处的切线方程为y34(x1) 而在B（2，3）点处，ky(2)0 所以在B点处的切线方程为y-3=0

又在C（3，0）点处，ky(3)不存在，即切线与x轴垂直 所以C点处的切线方程为x=3 11、在区间0,



上，曲线与直线x,y0所围成的图形分别绕x轴和y轴ysinx22

所产生的放置体的体积。 参考答案：

绕x轴所产生的体积为

220Vx(sinx)dx201cos2x2dx 24绕y轴所产生的体积为：

Vy()dy(arcsiny)2dy020111212y(arcsiny)yy2arcsinydy002401y2331arcsiny132d1y2arcsinyd1y2

00244441y11212arcsiny1y021y2dy021y2四、证明题（每小题5分，共10分）

1211、设a0,a1,a2,an是满足a0aa1a2n0的实数。 23n12n证明多项式f(x)a0a1xa2xanx在（0，1）内至少有一个零点

参考答案： 令F(x)a0xaa12xnxn1 2n1显然F（x）在[0，1]上连续，（0，1）内可导， 且F（0）=0，F(1)a0aa1a2n0 23n1由罗尔定理得，在（0，1）内至少存在一点ξ，使F()0，

n即a0a1an0

2n从而f(x)a0a1xa2xanx在（0，1）内至少有一个零点

2、证明方程x=asinx+b，且a>0,b>0至少有一个正根，且不超过a+b 参考答案：（写出辅助函数1分，证明过程4分） 令f(x)=x-asinx-b

显然f(x)是一个初等函数，所以在[0，a+b]上连续 又f(x)在端点处的函数值有f(0)=-b<0 且f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b

=a-asin(a+b)

=a[1-sin(a+b)]>=0 若f(a+b)=0,则a+b为方程的根

若f(a+b)>0，由零点存在定理可知，在（0，a+b）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0 此即说明方程x=asinx+b至少有一个不超过a+b的正根 3、 证明方程xx10有且仅有一个小于1的正实根. 参考答案：

（一） 先证存在性

5设f(x)x5x1，则f(x)在[0,1]连续,且f(0)1,f(1)1，由零点定理x0(0,1),使f(x0)0，即为方程的小于1的正实根（二） 再证唯一性

假设另有x1(0,1),x1x0,使f(x1)0.因为f(x)在x0,x1之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一个(在x0,x1之间)，使得f()0.但f(x)5x410,(x(0,1))，这与f()0矛盾，假设不成立综上，方程x55x10有且仅有一个小于1的正实根.

4、 证明当0ab时,有不等式

baba arctanbarctana1b21a2参考答案：（写出辅助函数并说明满足拉格朗日定理条件2分，余下步骤3分）

令f(x)arctanxx[a,b]

显然,f(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导, 1且f(x)(arctanx)1x2于是由拉格朗日中值定理，可得

arctanbarctana1(ba)(ab) 12因为

bababababa，所以 arctanbarctana222221b11a1b1a