湖北省黄冈中学2019年春季高一数学

期末考试试题(理)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题(本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在

每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．)

11．已知Ax|2x1,Bx|x,则A11A．，

3231 B．，2B等于( )

1 D． C．，32．如果两个球的体积之比为1:27，那么两个球的表面积之

比为( ) A．1:27 B．1:9 C．1:3 D．2:9

3．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或2条 4．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底

角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( ) A．22

B．122 C．222 D．12

5．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A．yx1 B．ysinx1，x(0,)

xsinx2C．yx23x22

D．yx1

x6．设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列 A．若lm，m，则l B．若l，l//m，则m C．若l//，m，则l//m D．若l//，m//，则l//m 7．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、yR，都有

f(x)f(y)f(xy)，若a11，anf(n)(nN*)，则数列{an}的前21C．,1

1D．,1

n项和Sn的取值范围是( )

1A．,2

28．设变量x、y

22xy20满足约束条件x5y100，则目标函数

xy801B．,2

2z＝

3x－4y的最大值和最小值

分别为( ) A．3，－11 B．－3，－11 C．11，－3 D．11，3

9．如图在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6,AD4,AA13，分

别过BC．A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其

,VV,V3VBEBCFC，若体积分别记为VVV1:V2:V31:4:1，则截面A1EFD1的面积为( ) A．410 B．83 C．413 D．16

10．设M是

ABC内一点,且ABAC23,BAC30,定义f(M)(m,n,p),其中

1AEA1DFD12A1EBE1D1FCF11111m、n、p分别是MBC,MCA,MAB的面积,若f(M)(1,x,y)则142xy的最小值是( ) A．8 B．9 C．16 D．18

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．

11．函数y(12x)(x1)的定义域是__________．

12．若圆锥的表面积是16π，侧面展开图的圆心角是120，则圆锥的体积是__________．

13．已知x2y40，则3x9y的最小值为__________．

21414．长方体A中，则BC，CD，DD5，BCDABCD1111122AC和BD111所成角的大小为_______．

15．将一个长．宽分别是b,a(0ab)的铁皮的四

角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则b的取值范围是

a

__________．

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)

已知关于x的不等式ax50的解集为M．

x2a(1)若a＝4时，求集合M．

(2)若3∈M且5M，求实数a的取值范围．

17．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩

形，正视图是一个底边长为8，高为4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S．

18．{an}为等差数列，公差d＞0，Sn是数列{an}前n项和，已知a1a427,S424．

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)令bn1，求数列{bn}的前n项和Tn．

anan1

19．如图，已知AB平面ACD，DE平面

ACD，△ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点． (1)求证：AF//平面BCE；

(2)求证：平面BCE平面CDE； (3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

20．甲、乙两公司生产同一种新产品，经测

算，对于函数f(x)、g(x)及任意的x0，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司

有失败的风险，否则无失败的风险；当

乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败

的风险．

(1)请解释f(0)．g(0)的实际意义；

(2)当f(x)x4，g(x)x8时，甲．乙两公司为了避免

恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能的少投入宣传费用，问此时甲乙两公司应各投入多少宣传费用？

21．(本小题满分14分)

已知公差为d(d1)的等差数列{an}和公比为q(q1)的等比数列{bn}，满足集{a3,a4,a5}{b3,b4,b5}{1,2,3,4,5} (1)求通项an,bn；

(2)求数列{anbn}的前n项和Sn； (3)若恰有4个正整数n使不等式

求正整数p的值．

(重点班)

已知定义域在R上的单调函数yf(x)，存在实数x0，使得对于任意的实数x1,x2总有f(x0x1x0x2)f(x0)f(x1)f(x2)恒成立．

2anpanbn1p8成立，bn(1)求x0的值；

(2)若fx0＝1，且对任意正整数n，有an1bnfn1，记Tnb1b2b2b32bnbn1，求an与

1fn，

Tn；

(3)在(2)的条件下，若不等式

an1an2a2n4[log1(x1)log1(9x21)1]3522对任意不小

于2的正整数n都成立，求实数x的取值范围．

湖北省黄冈中学2019年春季高一数学

期末考试试题(理) 参考答案及解析

1．B 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 7．C 8．A 9．C 10．D

11．[1,1] 12．16223π 13．18 14．60° 15．1b5

a41 B＝，2解析：

11．A{x|x1},Bx|x,故A232．由球的体积公式知两个球的半径之比为1:3，再由表面积公式知表面积之比为1:9．

3．此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线． 4．恢复后的原图形为一直角梯形S1(121)222．

25．对于A：y对于

112，对于B：不能保证sinx，

sinxxC：不能保证x2221，对于D：不能保证x0．

x2x6．对于A，l与可以平行，也可以为平面的斜线；

对于C，l可以在平面内；对于D，l与m可以平行，可以相交，也可异面．

7．由题可得：an1f(n1)f(n)f(1)1an,∴an(1)n,

2211n1()11Sn221()n[,1)． 122128．画出平面区域如图所示：

可知当直线z3x-4y平移到点(5，3) 时，目标函数z3x-4y取得最大值3；

当直线z3x-4y平移到点(3，5)时，目标函数z3x-4y取得最小值－11，故选A．

9．由于V1:V2:V31:4:1，所以1AEA1AAD1BEA1AEF，且

24ADEF，所以AE1BE2，所以A1E223213，则截213．

面A1EFD1的面积为4而

1210．由条件可得，|AB||AC|4，∴S1|AB||AC|sinBAC1，

2SMBC，∴

xy12，∴

1414y4x2(xy)()2(5)18， xyxyxy当且仅当y2x1时等号成立．

311．(12x)(x1)≥01≤x≤1．

212．设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题可得：

16r2rlr2，则圆锥的高为622242，故圆2ll62r3锥的体积为1224321623．

x213．39332332918，当且仅当33，即y1xyx2yx2yx2y时取等号，即3x9y的最小值为18． 14．将B1D1平移到A1F，则在中 AF1C2232(7)21A1F2；AC；CF7，故cosFAC1312232FAC160

15．长方体的外接球的直径是长方体的体对角线，故只需考虑体对角线有最小值即可，设切去的正方形边长为

ax(0x)， 长方体的体对角线为l，则

2f(x)l2(a2x)2(b2x)2x29x2(4a4b)xa2b2，

af(x)要在区间(0,)内有最小值，则二次函数的对称轴必

2要此区间内，

36(a2b2)(4a4b)24a4ba0， 即且

36182令bt代入得t5，故1t5． a4416．解：

(1)当a＝4时，原不等式等价于4x50，解得x＜－2

x24或5x2，

4即集合M＝{x|x＜－2，或5x2}．

4(2)由3∈M，得3a50，解得a＞9或a5． 由

9a5M，得5a5≥0或

25a325－a＝0，解得1≤a≤25．

3综上所述，所求a的取值范围为1≤a5或9＜a≤25． 17．解：

由题知该几何体是一底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥PABCD．

(1)体积V1(86)464

3(2)该四棱锥有两个侧面PAD、PBC是全等的等腰三角形，

且BC边上的高为hPAB、PCD8224()4212；另外两个侧面

AB也是全等的等腰三角形，边上的高

6故侧面积S2(1642185)24240． h242()25．22218．解：

(1)S44(a1a4)24,a1a412

2又a1a427， d＞0，∴a13,a49,d2,，∴an2n1． (2)bn11111() anan1(2n1)(2n3)22n12n31111111111n． Tn[()()()]()＝6n9235572n12n3232n319．(1)证：取CE的中点G，连FG、BG

∵F为CD的中点，∴GF//DE且GF1DE

2∵AB平面ACD，DE平面ACD， ∴AB//DE，∴GF//AB又AB1DE，

2∴GFAB.∴四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG． ∵AF平面BCE，BG平面BCE， ∴AF//平面BCE．

(2)证：∵ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AFCD

∵DE平面ACD，AF平面ACD，∴DEAF． 又CDDED，故AF平面CDE． ∵BG//AF，∴BG平面CDE． ∵BG平面BCE，

∴平面BCE平面CDE．

(3)解：在平面CDE内，过F作FHCE于H，连BH．

∵平面BCE平面CDE，∴FH平面BCE． ∴FBH为BF和平面BCE所成的角． 设ADDE2AB2a，则FHCFsin45BFAB2AF2a2(3a)22a，

2a， 2Rt△FHB中，sinFBHFHBF2． 424∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为．

20．解：

(1)f(0)表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要回避失

败的风险，至少要投入f(0)万元的宣传费；g(0)表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要回避失败的风险，至少要投入g(0)万元的宣传费． (2)将甲公司投入的宣传费用x来表示，

乙公司投入的宣传费用y来表示，依题意， 当yf(x)x4时，乙公司无失败的风险．

当xg(x)y8时，甲公司无失败的风险．如图示： 阴影部分区域表示甲．乙两公司均无失败的风险

x12yx4由，知

y16xy8故在双方均无失败风险的情况下，

甲公司至少投入12万元，甲公司至 少投入16万元． 21．解：

(1)∵1，2，3，4，5这5个数中成公差大于1的等差

数列的三个数只能是1，3，5；成公比大于1的等比数列的三个数只能是1，2，4 而a3,a4,a5b3,b4,b51,2,3,4,5，

∴a∴a1,a43,a55,b31,b42,b54

1,q2，∴ana1n1d2n5,bnb1qn12n3 13,d2,b143n3nn(2)∵ab2n52

∴S3212122n52 2S2Sn＝32122n722n52，两式相减

得

S322222222n52 3122n52

210n3n10n3n2n210n3n2nn1n24∴Sn72n72n2 4(3)不等式

2anpan8即4ppn，p0，∴n1,2显然成立 32n5258(2n5)8p当n3时，有4p2nn，即

2n12n12n5p82312n522np5bn1p82n2p8等价于 2n52n3bn2n1设cn，由cn122n51，得n3.5．

cn2n32n58(2n5)单调递减 n122n5而当n3时，p22；当n4时，p44；

35当n5时，p37；当n6时，p26；

1125∴当n4时，c单调递增，即n∴恰有4个正整数n使不等式

2anpanbn1p8成立的正bn整数p值为3． (重点班)解：

(1)令x1x20，得f0fx02f0fx0f0①

令x11，x20，得fx0fx0f1f0f1f0② 由①②得fx0f1，又因为fx是单调函数x01 (2)由(1)可得fx1x2f1fx1fx2fx1fx21

则fn1fnf11fn2

1 2n1111111f(1)f()f()f()f(1)f()0,b1f()11222222 11111f(n)f(n1n1)2f(n1)f(1)2f(n1)122222

11112bn12f(n1n1)2f(n1)2f(n)1bn2222 11bnb1()n1()n122 111111111Tn()o()1()1()2()n1()n()1()3()2n1222222222 21[1()n]34

又f11fn2n1nN*an令F(n)an1an21a2n

则F(n1)F(n)4n14n32n10124[log1(x1)log1(9x21)1]3535222211当n2,nN时，F(n)F(n1)F(2)a3a412

35

即log1(x1)log1(9x21)2

x109x210解得或5x1或1x1933x1 129x14511故x,,1

933