江西省宜春市丰城中学2015-2016学年高二上学期第一次段考数学（理）
试题
题号 得分 一 二 三 总分 ……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………
评卷人 得分 一、选择题 本大题共12道小题。
1.
用一个平面去截一个圆柱，得到的图形不可能是（ ） A．
B．
C．
D．
2.
如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF是异面直线，AC和A1D的公垂线，则EF和BD1的关系是（
A．相交但不垂直 B．垂直 C．异面 D．平行 3.
一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为（ ）A．4：9 B．9：4 C．4：27 D．27：4
4.
下列说法正确的是（ ）
第1页，总18页
） …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
A．若长方体的长、宽、高各不相同，则长方体的三视图中不可能有正方形（以长×宽所在的平面为主视面）
B．照片是三视图中的一种
C．若三视图中有圆，则原几何体中一定有球体 D．圆锥的三视图都是等腰三角形 5.
以等腰直角三角形ABC斜边AB的中线CD为棱，将△ABC折叠，使平面ACD⊥平面BCD，则AC与BC的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．不确定 6.
下列说法正确的个数有（ ） （1）三角形、梯形一定是平面图形；
（2）若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形； （3）三条平行线最多可确定三个平面；
（4）平面α和β相交，它们只有有限个公共点；
（5）若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则这两平面重合． A．2 7.
下列结论正确的是（ ）
A．若直线a∥平面α，直线b⊥a，b⊊平面β，则α⊥β B．若直线a⊥直线b，a⊥平面α，b⊥平面β，则α⊥β C．过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 D．过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直 8.
a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的平面β（ ） A．只能作一个 B．不存在
C．至多可以作一个 D．至少可以作一个 9.
如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第2页，总18页
B．3 C．4 D．5
………线…………○………… ………线…………○…………
10.
一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条（ ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．平行 11.
关于下列几何体，说法正确的是（ ）
……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………
A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥 C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台 12.
下列说法正确的是（ ）
A．正方形的直观图可能是平行四边形 B．梯形的直观图可能是平行四边形 C．矩形的直观图可能是梯形
D．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线 评卷人 得分 一、填空题 本大题共4道小题。
13.
若a∈N，又三点A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共线，则a= ． 14.
给出下列命题：
①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
第3页，总18页
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直； ⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直； ⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体． 其中正确命题的序号是 ．
15.
用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体形礼品盒完全包好，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是 ．
16.
棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 评卷人 得分 二、解答题 本大题共6道小题。
17.
如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证： （1）直线EF∥面ACD； （2）平面EFC⊥面BCD．
18.
如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=
CD=1．现以AD为一边向梯形外作正方形
ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2． （1）求证：AM∥平面BEC； （2）求证：BC⊥平面BDE； （3）求点D到平面BEC的距离．
第4页，总18页
………线…………○………… ………线…………○…………
……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………
19.
某个几何体的三视图如图所示（单位：m） （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积．
20.
如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD，DA上的点．且满足
=
=2．
（1）求证：四边形EFGH是梯形；
（2）若BD=a．求梯形EFGH的中位线的长．
21.
第5页，总18页
=
=
，
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
正三棱锥V﹣ABC的底面边长是a，侧面与底面成60°的二面角．求 （1）棱锥的侧棱长；
（2）侧棱与底面所成的角的正切值．
22.
在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，点M是线段AB上的一点，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM． （1）证明：面PAB⊥面ABCD；
（2）求直线CM与平面PCD所成角的正弦值．
试卷答案
1.D
【考点】平面的基本性质及推论． 【分析】结合图形判断截面的位置，即可．
【解答】解：用一个平面去截一个圆柱，截面与底面平行，可得A；截面与底面不平行，不经过底面时，可得C；截面平行圆柱的母线时，可得B，不能得到D． 故选：D． 2.D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】建立以D1为原点的空间直角坐标系D1﹣xyz，设正方形的边长为1，利用向量法，我们易求出BD1与A1D和AC都垂直，根据共垂线的性质，可以得到两条线段平行．
第6页，总18页
………线…………○………… ………线…………○…………
【解答】解：建立以D1为原点的空间直角坐标系D1﹣xyz，且设正方形的边长为1
所以就有D1（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1） 所以 所以
•
=（﹣1，0，1），•
=（﹣1，1，0），
=（﹣1，﹣1，1）
=﹣1+1=0 所以A1D⊥BD1，
=1﹣1=0 所以AC⊥BD1，
所以BD1与A1D和AC都垂直 ……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………又∵EF是AC、A1D的公垂线， ∴BD1∥EF 故选D 3.A
【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】利用圆锥的体积和球的体积相等，通过圆锥的底面半径与球的半径的关系，推出圆锥的高与球半径之比． 【解答】解：V圆锥=，V球=
，V圆锥=V球
∵r=3R， =
，
∴
=
．
故选A． 4.A
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据简单几何体的三视图，逐一分析四个命题的真假，可得结论．
【解答】解：若长方体的长、宽、高各不相同，则长方体的三视图中不可能有正方形（以长×宽所在的平面为主视面），正确；
照片不能客观的反映几何体的真实情况，不是三视图中的一种，错误； 若三视图中有圆，则原几何体中不一定有球，如圆锥，圆柱等，错误； 圆锥的三视图有两等腰三角形一个圆，错误； 故选：A．
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
5.B
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】先判断折叠后△ACD，△BCD，△ABD的形状，进而判断出△ABC的形状，从而可得答案． 【解答】解：如图所示：
折叠后∠ACD=∠BCD=45°，AD⊥CD，BD⊥CD，则∠ADB为二面角A﹣CD﹣B的平面角， 又平面ACD⊥平 面BCD，所以∠ADB=90°，所以△ADB为等腰直角三角形， 设AD=1，则AC=BC=AB=所以∠ACB=60°． 故选：B． 6.B
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由平面图形的概念判断（1）正确；由公理1判断（2）正确；画出说明（3）正确，（5）错误；由公理3说明（4）错误．
【解答】解：（1）三角形、梯形一定是平面图形，正确；
（2）若四边形的两条对角线相交于一点，则两对角线可以确定一个平面，由公理1可知四边形四条边在平面内，该四边形是平面图形，正确； （3）如图，
，所以△ABC为正三角形，
三条平行线最多可确定三个平面，正确；
（4）由公理3可知，平面α和β相交，它们有无数个公共点，故（3）错误；
（5）若A，B，C，D四个点既在平面α内，又在平面β内，则这两平面重合，错误，如图：
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………线…………○………… ………线…………○…………
∴正确的结论是3个， 故选：B． 7.B ……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
【分析】对于A判断α，β的关系，判断正误；对于B，判断是否满足平面与平面垂直的判定定理即可判断正误．对于C说明，直线与平面的关系，判断正误；对于D，利用平面与平面垂直的平面判断正误即可．
【解答】解：对于A，若直线a∥平面α，直线b⊥a，b⊊平面β，如果b∥β，则α∥β，所以A不正确；
对于B，若直线a⊥直线b，a⊥平面α，b⊥平面β，则α⊥β，满足平面与平面垂直的判定定理，所以B正确；
对于C，过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直，如果这些与平面垂直，则有无数个平面与已知平面垂直，所以C不正确；
对于D，过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂平行，不是垂直，平面的平面有无数个． 故选：B． 8.C
【考点】平面的基本性质及推论；平面与平面平行的性质． 【分析】由平面与平面平行的性质得这样的平面β有且只有1个 【解答】解：当a∥α时，过a作平面β，使得β∥α， 由平面与平面平行的性质得： 这样的平面β有且只有1个．
a与α相交时，设平面为β，a与α交点为P，
根据题意P∈β，P∈α，则α∩β=l且P∈l，这与α∥β矛盾， ∴这样的β不存在．
综上所述，过平面α外一条直线a与α平行的平面的个数为至多1个．
第9页，总18页
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
故选：C． 9.C
【考点】直线的一般式方程． 【分析】先把Ax+By+C=0化为y=﹣
，数形结合即可获取答案
【解答】解：∵直线Ax+By+C=0可化为又AC＜0，BC＜0 ∴AB＞0，∴
∴直线过一、二、四象限，不过第三象限． 故答案选C． 10.C
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】因为直线与两条平行线中的一条直线成为异面直线，故它与另一条直线不可能平行，由此可得另一条直线与该直线可能相交，也可能异面．然后可以在正方体模型中，找出符合题意的位置关系，从而得到正确答案．
【解答】解：举例说明：给出正方体模型，如右图 ①直线AB与直线A1B1平行，且直线BC与直线A1B1异面 此时，直线BC与直线AB相交；
②直线AB与直线A1B1平行，且直线CC1与直线A1B1异面 此时，直线BC与直线AB异面；
综上所述，一条直线与两条平行线中的一条异面， 则它与另一条可能相交，也可能异面． 故选C
，
，
，再由AC＜0，BC＜0得到﹣
，﹣
第10页，总18页
………线…………○………… ………线…………○…………
……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………11.D
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】利用圆柱、圆锥、圆台的定义直接求解．
【解答】解：∵图①的上下底面既不平行又不全等，∴图①不是圆柱，故A错误； ∵图②的母线长不相等，故图②不是圆锥，故B错误； ∵图④的上下底面不平行，∴图④不是圆台，故C错误；
∵图⑤的上下底面平行，且母线延长后交于一点，∴图⑤是圆台，故D正确． 故选：D． 12.A
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】根据直观图的做法，在做直观图时，原来与横轴平行的与X′平行，且长度不变，原来与y轴平行的与y′平行，长度变为原来的一半，且新的坐标轴之间的夹角是45度，根据做法，得到四个说法的正误．
【解答】解：根据直观图的做法，在做直观图时，原来与横轴平行的与X′平行，且长度不变， 原来与y轴平行的与y′平行，长度变为原来的一半， 且新的坐标轴之间的夹角是45度， ∴原来垂直的画出直观图不一定垂直， 原来是对边平行的仍然平行， 故选A． 13.2
【考点】三点共线．
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
【分析】利用三点共线，结合向量平行，求解即可． 【解答】解：三点A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共线， 可得
=（1﹣a，3），
，
=（1，﹣a﹣1），
可得3=（1﹣a）（﹣a﹣1），a∈N，解得a=2． 故答案为：2． 14.①⑤
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据正方体中取对应的对角线构成的四面体是正四面体． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥； ③当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱； ④一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直； ⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直； ⑥所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体．
【解答】解：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点正确，如图四面体B1﹣ACD1是正四面体
；
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，
如图所示，
若AB=BC=AC=VA，且VA⊥平面ABC，但三棱锥V﹣ABC表示正三棱锥，∴②错误； ③当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱，
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………线…………○………… ………线…………○…………
如两个侧面不是相邻的时，侧棱与底面不一定垂直，∴③错误；
④一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直，否则，这两条侧棱互相平行，∴④错误； ⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直，如②中图形，∴⑤正确； ⑥所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体， ∵各相邻侧面并不一定都互相垂直，∴⑥错误． 故答案为：①⑤
15.8 ……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】5个边长为1的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为1的等腰直角三角形，就可以包住棱长为1的正方体．
【解答】解：把5个边长为1的正方形组成十字形， 并在四端加上四个斜边为1的等腰直角三角形， 就可以包住棱长为1的正方体，而这个形状可以用边长为2的正方形来覆盖，
而这个正方形面积为8， ∴所需包装纸的最小面积为8． 故答案为：8．
16.27π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积． 【解答】解：正方体的对角线就是球的直径，设其体对角线的长为l，
第13页，总18页
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
则l==3，
故答案为：27π． 17.
【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；
（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件． 【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点． ∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD； （2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD， ∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD 又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC， ∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD 18.
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．
【分析】（1）欲证AM∥平面BEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AM与平面BEC内一直线平行，取EC中点N，连接MN，BN，根据中位线定理和条件可知MN∥AB，且MN=AB，从而得到四边形ABNM为平行四边形，则BN∥AM，BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，满足定理所需条件；
（2）欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件； （3）过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC，从而点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度，在直角三角形BDE中，利用等面积法即可求出DG，从而求出点D到平面BEC的距离． 【解答】解：
（1）证明：取EC中点N，连接MN，BN． 在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，
第14页，总18页
………线…………○………… ………线…………○…………
所以MN∥CD，且由已知AB∥CD，
所以MN∥AB，且MN=AB． 所以四边形ABNM为平行四边形． 所以BN∥AM．
． ，
又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC， ……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………所以AM∥平面BEC．
（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD． 所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得．在△BCD中，，
所以BD2+BC2=CD2． 所以BC⊥BD． 所以BC⊥平面BDE．
（3）由（2）知，BC⊥平面BDE
又因为BC⊂平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC． 过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC 所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度 在直角三角形BDE中，
所以
所以点D到平面BEC的距离等于
．
19.
第15页，总18页
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，（1）利用三视图的数据求出几何体的表面积； （2）利用组合体的体积求出几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图可知，该几何体是由半球和正四棱柱组成，棱柱是正方体棱长为：2，球的半径为1，
（1）该几何体的表面积=正方体的表面积+半球面面积﹣球的底面积． ∴S=6×2×2+2π×1﹣π×1=24+π（m）． （2）该几何体的体积为正方体的体积+半球的体积， V=2×2×2+20.
【考点】直线与平面平行的性质；平行线分线段成比例定理． 【分析】（1）利用比例关系，求出EH∥BD，FG∥BD，EH=是梯形； （2）EH=
=
，FG==
BD==
，
a，即可求梯形EFGH的中位线的长．
=
=2，∴EH∥BD，FG∥BD，EH=
，
，FG=
BD，即可证明四边形EFGH
×π×13=8+
π（m3）
2
2
2
【解答】（1）证明：∵FG=
BD．
∴EH∥FG，EH≠FG， ∴四边形EFGH是梯形； （2）解：∵BD=a， ∴EH=
=
，FG=
BD=．
a，
∴梯形EFGH的中位线的长为21.
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】（1）过顶点V做VO⊥平面ABC，过O做OD⊥AB，垂足为D，连接VD，则∠VDO为侧面与底面成的二面角，从而∠VDO=60°，分别求出OD、VD的长，由此利用勾股定理能求出棱锥的侧棱长．
第16页，总18页
………线…………○………… ………线…………○…………
（2）连结BO，∠VBO是侧棱与底面所成的角，由此能求出侧棱与底面所成的角的正切值． 【解答】解：（1）过顶点V做VO⊥平面ABC ∵V﹣ABC是正三棱锥，∴O为△ABC中心， 过O做OD⊥AB，垂足为D，连接VD， 则∠VDO为侧面与底面成的二面角，
∵侧面与底面成60°的二面角，∴∠VDO=60°， ∵△ABC的边长是a，∴OD=
=
=
，
……○ __○…___……___…_…__…：…号…订考_订_…__…_…___……___……：级…○班○_…___……___…_…__…_…：名…装姓装…___…_…__…_…___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………∴cos∠VDO===，解得VD=，
∴VA===．
∴棱锥的侧棱长为．
（2）连结BO，
∵VO⊥底面ABC，∴∠VBO是侧棱与底面所成的角， ∵OB=2OD=
，VO=
=
∴tan∠VBO===．
∴侧棱与底面所成的角的正切值为．
22.
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）只要证明PM⊥面ABCD利用面面垂直的判定定理证明即可；
第17页，总18页
=
，
………线…………○…………
（2）过点M作MH⊥CD，连结HP，得到CD⊥平面PMH进一步得到平面PMH⊥平面PCD；过点M作MN⊥PH，得到∠MCN为直线CM与平面PCD所成角，通过解三角形得到所求． 【解答】（1）证明：由AB=2PB=4BM，得PM⊥AB， 又因为PM⊥CD，且AB∩CD，所以PM⊥面ABCD，… 且PM⊂面PAB．所以，面PAB⊥面ABCD．… （2）解：过点M作MH⊥CD，连结HP， 因为PM⊥CD，且PM∩MH=M，
所以CD⊥平面PMH，又由CD⊂平面PCD，
所以平面PMH⊥平面PCD，平面PMH∩平面PCD=PH，过点M作MN⊥PH， 即有MN⊥平面PCD，所以∠MCN为直线CM与平面PCD所成角． … 在四棱锥P﹣ABCD中，设AB=2t，则，
∴，
， 从而
， 即直线CM与平面PCD所成角的正弦值为
． …
第18页，总18页
，
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…，
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