高考数学圆锥曲线知识点总结

高考数学圆锥曲线知识点总结 方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：假设曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0。

两条曲线的交点：假设曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点

f1(x0,y0)0{f2(x0,y0)0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有

交点。 二、圆：

1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.

2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2

((2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为

D2E24F2DE,)22半

径是

DED2。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+2)2+(y+2)2=

E2-4F4

DE②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2,-2);

③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=

(x0-a)2(y0-b)2。

直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。

AB与半②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离径r的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义：

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线：

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dAaBbC22

椭圆、双曲线、抛物线性质比照 椭圆 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.〔01〕 抛物线 定义 与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 轨迹条件 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. 点集{M｜ ｜MF｜=点M到=±2a,｜F2F2｜＞2a}. 直线l的距离}. 图形 标准方 方程 程 x2y2212ab(ab>0) x2y2212ab(a>0,b>0) y22px 参数方程 xacosybsin(参数为离心角） ─axa，─byb 原点O〔0，0〕 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b F1(c,0), F2(─c,0) xasecybtan(参数为离心角） |x|  a，yR 原点O〔0，0〕 x2pt2y2pt(t为参数) x0 范围 中心 顶点 (a,0), (─a,0) x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. F1(c,0), F2(─c,0) (0,0) x轴 对称轴 焦点 pF(,0)2 px=-2 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. 准 线 a2x=±c 准线垂直于长轴，且在椭圆外. a2x=±c 准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. 2c 〔c=ab〕 - 2 -

22焦距 2c 〔c=ab〕 22

离心率 【备注1】双曲线： ec(0e1)a ec(e1)a e=1 222⑶等轴双曲线：双曲线xya称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率e2.

x2y222ab⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与

x2y2x2y2202aba2b2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.

x2⑸共渐近线的双曲线系方程：ax22的双曲线方程可设为a2y2b2(0)xyxy00abab的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它

y2b2(0).

【备注2】抛物线：

pp22yy22〔1〕抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线=-2px(p>0)的焦点坐标是pppp2x22(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线=2py(p>0)的焦点坐标是(0,2)，准线方程y=-2 ，开口向上； pp2抛物线x=-2py〔p>0〕的焦点坐标是〔0,-2〕，准线方程y=2，开口向下.

2y〔2〕抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离

MFx0p22；抛物线y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)

MF与焦点F的距离

px02

pp2y〔3〕设抛物线的标准方程为=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2，顶点到准线的距离2，焦点到

准线的距离为p.

2y〔4〕已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，

p2p2pxx,AFxAB2121ABx1x242(AF叫sin2(α为直线AB的倾斜角)，y1y2p，则弦长=+p或

做焦半径).

五、坐标的变换：

〔1〕坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

〔2〕坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

〔3〕坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中

xx'hx'xh''(x,y).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 yy'k或 y'yk 的坐标是

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叫做平移(或移轴)公式.

中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表： 方 程 焦 点 (±c+h,k) 焦 线 对称轴 x=h y=k x=h y=k x=h y=k x=h y=k (x-h)2(y-k)2a2+b2=1 椭圆 a2x=±c+h a2y=±c+k a2x=±c+k a2y=±c+k (x-h)2(y-k)2b2+a2 =1 (x-h)2(y-k)2a2-b2=1 双曲线 (h,±c+k) (±c+h,k) (y-k)2(x-h)2a2-b2=1 (y-k)2=2p(x-h) (h,±c+h) p(2+h,k) p(-2+h,k) p(h, 2+k) p(h,- 2+k) px=-2+h px=2+h py=-2+k py=2+k y=k (y-k)2=-2p(x-h) 抛物线 (x-h)2=2p(y-k) y=k x=h (x-h)2=-2p(y-k) x=h 六、椭圆的常用结论： 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x2y2x0xy0y121222P0P0(x0,y0)abab假设在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

x2y2212PP0(x0,y0)ab假设在椭圆外，则过0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是

x0xy0y21a2b.

x2y2212F1PF2ab椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形

的面积为

SF1PF2b2tan2.

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x2y2212|MF1|aex0|MF2|aex0F1(c,0)F2(c,0)M(x0,y0)ab椭圆〔a＞b＞0〕的焦半径公式,( ,).

设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的

椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

xybKAB1kkOMAB222(x,y)ba，AB是椭圆a的不平行于对称轴的弦，M00为AB的中点，则即x0xy0yx02y02x2y22122222P0(x0,y0)ababab； 假设在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是

【推论】：

222b2x02ay0。

x2y2x2y2x0xy0yx2y22122221222P0(x0,y0)bbab。椭圆ab1、假设在椭圆a内，则过Po的弦中点的轨迹方程是a〔a＞b＞o〕的两个顶点为

A1(a,0)A2(a,0),

，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方

x2y2212b程是a.

x2y2212A(x0,y0)b2、过椭圆a (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线

kBCBC有定向且

b2x02ay0〔常数〕.

x2y2212PF1F2PF2F1b3、假设P为椭圆a〔a＞b＞0〕上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，

actancot22. 则acx2y2212b4、设椭圆a〔a＞b＞0〕的两个焦点为F1、F2,P〔异于长轴端点〕为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，sinceF1PF2PF1F2F1F2Pa记, ,，则有sinsin.

x2y2212b5、假设椭圆a〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤21时，可在椭圆

上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2212ab6、P为椭圆〔a＞b＞0〕上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当

A,F2,P三点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)2122ab7、椭圆与直线AxByC0有公共点的充要条件是

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A2a2B2b2(Ax0By0C)2.

x2y2212b8、已知椭圆a〔a＞b＞0〕，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.〔1〕

222211114abab|OP|2|OQ|2a2b2;〔2〕|OP|2+|OQ|2的最大值为a2b2;〔3〕SOPQ的最小值是a2b2.

x2y2212b9、过椭圆a〔a＞b＞0〕的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，|PF|e|MN|2. 则

x2y2212P(x0,0)b10、已知椭圆a〔 a＞b＞0〕 ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, a2b2a2b2x0aa. 则

x2y2212F1PF2b11、设P点是椭圆a〔 a＞b＞0〕上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则2b2|PF1||PF2|SPF1F2b2tan1cos.(2) 2. (1)

x2y2212b12、设A、B是椭圆a〔 a＞b＞0〕的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,

2ab2|cos||PA|2222PBA,BPA，accos.(2) tantan1e.(3) c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)

SPAB2a2b22cotba2.

x2y2212ab13、已知椭圆〔 a＞b＞0〕的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B

两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 〔注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.〕 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论：

1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.〔内切：P在右支；外切：P在左支〕

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x0xy0yx2y2121222P0P0(x0,y0)abab5、假设在双曲线〔a＞0,b＞0〕上，则过的双曲线的切线方程是.

x2y2212P0(x0,y0)ab6、假设在双曲线〔a＞0,b＞0〕外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点

x0xy0y212b弦P1P2的直线方程是a.

x2y2212F1PF2ab7、双曲线〔a＞0,b＞o〕的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲

线的焦点角形的面积为

SF1PF2b2cot2.

x2y2212F(c,0)F(c,0)M(x0,y0)ab8、双曲线〔a＞0,b＞o〕的焦半径公式：(1 , 2〕当在右支上时，|MF1|ex0a|MF2|ex0a,

；当

M(x0,y0)在左支上时，

|MF1|ex0a|MF2|ex0a,

。

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应

于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

xyKOMKAB122(x,y)b11、AB是双曲线a〔a＞0,b＞0〕的不平行于对称轴的弦，M00为AB的中点，则

22b2x02ay0，

KAB即

b2x02ay0。

x0xy0yx02y02x2y22122222P0(x0,y0)ababab. 12、假设在双曲线〔a＞0,b＞0〕内，则被Po所平分的中点弦的方程是x2y2x2y2x0xy0y2122222P0(x0,y0)ababab. 13、假设在双曲线〔a＞0,b＞0〕内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

【推论】：

x2y2212A(a,0)A2(a,0)b1、双曲线a〔a＞0,b＞0〕的两个顶点为1,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时x2y2212bA1P1与A2P2交点的轨迹方程是a.

x2y2212A(x0,y0)b2、过双曲线a〔a＞0,b＞o〕上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则

kBC直线BC有定向且

b2x02ay0〔常数〕.

x2y2212PF1F2b3、假设P为双曲线a〔a＞0,b＞0〕右〔或左〕支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, ,

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cacatancottancotPF2F122〔或ca22〕. ，则cax2y2212ab4、设双曲线〔a＞0,b＞0〕的两个焦点为F1、F2,P〔异于长轴端点〕为双曲线上任意一点，在△PF1F2sinceF1PF2PF1F2F1F2P中，记, ,，则有(sinsin)a.

x2y2212ab5、假设双曲线〔a＞0,b＞0〕的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤21时，可在

双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2212|AF2|2a|PA||PF1|ab6、P为双曲线〔a＞0,b＞0〕上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,

当且仅当

A,F2,P三点共线且P和

A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y221222222ab7、双曲线〔a＞0,b＞0〕与直线AxByC0有公共点的充要条件是AaBbC. x2y2212ab8、已知双曲线〔b＞a ＞0〕，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.

222211114abab2|OQ|2a2b2;〔2〕|OP|2+|OQ|2的最小值为b2a2;〔3〕SOPQ的最小值是b2a2. 〔1〕|OP|x2y2212ab9、过双曲线〔a＞0,b＞0〕的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交|PF|ex轴于P，则|MN|2.

x2y2212P(x0,0)ab10、已知双曲线〔a＞0,b＞0〕,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, a2b2a2b2x0x0a. a则或

x2y2212F1PF2ab11、设P点是双曲线〔a＞0,b＞0〕上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则2b2|PF1||PF2|SPF1F2b2cot1cos.(2) 2. (1)

x2y2212ab12、设A、B是双曲线〔a＞0,b＞0〕的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,

2ab2|cos||PA|222PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|accos|.

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2tantan1e(2) .(3)

SPAB2a2b22cotba2.

x2y2212ab13、已知双曲线〔a＞0,b＞0〕的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交

于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂

直.

15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 抛物线的常用结论：

4acb2b()ay2bycx4a2a. ①顶点

2②y2px(p0)则焦点半径

PFxP2;x2py(p0)则焦点半径为

2PFyP2.

③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2x2pty2pty2pt2y22pxx22py④〔或〕的参数方程为〔或〕〔t为参数〕.

y22px ▲y22px ▲x22py ▲x22py ▲yyyy图形 OxxOxOxO 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点 pF(,0)2 p2 x0,yR xx轴 F(xp,0)2 F(0,p)2 pF(0,)2 p2 xR,y0 y p2 x0,yR p2 xR,y0 yy轴 〔0,0〕 e1 PFpx12 PFpx12 PFpy12 PFpy12 圆锥曲线的性质比照 圆锥曲线 标准方程

椭圆 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 双曲线 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 - 9 -

抛物线 y^2=2px p>0 范围 对称性 顶点 焦点 准线 渐近线 离心率 焦半径 焦准距 通径 参数方程 过圆锥曲线上一点 斜率为k的切线方程 x∈[-a,a] y∈[-b,b] 关于x轴,y轴,原点对称 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2-b^2】 x=±(a^2)/c —————————— e=c/a,e∈(0,1) ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·cosθ y=b·sinθ，θ为参数 (x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 (x0,y0)的切线方程 y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2] x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) y∈R 关于x轴,y轴,原点对称 (a,0),(-a,0) (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2+b^2】 x=±(a^2)/c y=±(b/a)x e=c/a,e∈(1,+∞) ∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a∣ p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·secθ y=b·tanθ,θ为参数 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1 y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] x∈[0,+∞) y∈R 关于x轴对称 (0,0) (p/2,0) x=-p/2 ————— e=1 ∣PF∣=x+p/2 p 2p x=2pt^2 y=2pt,t为参数 y0·y=p(x+x0) y=kx+p/2k - 10 -