材料力学第五版孙训方版课后习题答案[1]1

解：由题意可得：

l01fdxF,有kl3F,k3F/l33

l0FN(x1)3Fx2/l3dxF(x1/l)3[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高l10m，其横截面面尺寸如图所示。荷载F1000kN，材料的密度2.35kg/m，试求墩身底部横截面上的压应力。

3解：墩身底面的轴力为：

N(FG)FAlg 2-3图 1000(323.1412)102.359.83104.942(kN)

墩身底面积：A(323.141)9.14(m)

因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。

22N3104.942kN339.71kPa0.34MPaA9.14m2

[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

2-7图

解：取长度为dx截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：

d(l)lFdxFFldxldx ， 0EA(x)EA(x)E0A(x)rrdd1drr1xx1， ，r21xr12l2l2r2r1lddd1ddd1dd1x1)du2dx A(x)2x1u2，d(22l22l2l222ldd2ldx2ldudxdu，221du(2)

d2d1A(x)(d1d2)uu因此，

ll0lFFldx2Fldudx() EA(x)E0A(x)E(d1d2)0u2l2Fl2Fl11 dddE(d1d2)u0E(d1d2)21x122l02Fl11 d1d1E(d1d2)d2d1l2l22l24Fl2Fl2Edd

E(d1d2)d2d112[习题2-10] 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为E,，试求C与D两点间的距离改变量CD。

解：'F/AF EEA22

' 式中，A(a)(a)4a，故：F 4Ea

aFF''， aaa a4Ea4Ea'a145F223a)(a)a ，CD(234124E223C'D'(23a')(4a')145a' 12(CD)C'D'CD145'145FF(aa)1.003 12124E4E[习题2-11] 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量

E210GPa，已知l1m，A1A2100mm2，A3150mm2，F20kN。试求C

点的水平位移和铅垂位移。

受力图 2-11图

解：（1）求各杆的轴力

以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为AB平衡，所以

变形协调图 X0，N3cos45o0，N30

由对称性可知，CH0，N1N20.5F0.52010(kN) （2）求C点的水平位移与铅垂位移。

A点的铅垂位移：l1N1l10000N1000mm0.476mm EA1210000N/mm2100mm2N2l10000N1000mm0.476mm 22EA2210000N/mm100mm B点的铅垂位移： l21、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB为刚性杆，可以得到

oC点的水平位移：CHAHBHl1tan450.476(mm)

C点的铅垂位移：Cl10.476(mm)

[习题2-12] 图示实心圆杆AB和AC在A点以铰相连接，在A点作用有铅垂向下的力

F35kN。已知杆AB和AC的直径分别为d112mm和d215mm，钢的弹性模量

E210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。

解：（1）求AB、AC杆的轴力

以节点A为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：

X0：NY0：NACsin30oNABsin45o0

NAC

AC2NAB………………………(a)

cos30oNABcos45o350

3NAC2NAB70………………(b)

(a) (b)联立解得：

NABN118.117kN；NACN225.621kN （2）由变形能原理求A点的铅垂方向的位移

2N12l1N2l21 FA 22EA12EA22l21N12l1N2 A()

FEA1EA2 式中，l11000/sin451414(mm)；l2800/sin301600(mm) A10.253.1412113mm；A20.253.1415177mm

2222oo118117214142562121600()1.366(mm) 故：A35000210000113210000177[习题2-13] 图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d1mm的钢丝，在钢丝的中点

C加一竖向荷载F。已知钢丝产生的线应变为0.0035，其材料的弹性模量E210GPa， 钢丝的自重不计。试求：

（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）； （2）钢丝在C点下降的距离； （3）荷载F的值。 解：（1）求钢丝横截面上的应力 E2100000.0035735(MPa) （2）求钢丝在C点下降的距离

Nll20007357(mm)。其中，AC和BC各3.5mm。 EAE21000010000.996512207 cos1003.5 l

arccos(1000)4.7867339o

1003.5o 1000tan4.786733983.7(mm)

（3）求荷载F的值

以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：

Y0：2NsinaP0

P2Nsina2Asin

27350.253.1412sin4.787096.239(N)

[习题2-15]水平刚性杆AB由三根BC,BD和ED支撑，如图，在杆的A端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa，求：

（1） 端点A的水平和铅垂位移。

（2） 应用功能原理求端点A的铅垂位移。 解：（1）

13fdxF,有klF03k3F/l3lFN(x1)3Fx2/l3dxF(x1/l)30lFN3cos450FN1F2FN3sin45F0F0.45F0.150N1F160KN,F1401KN,F10KN,由胡克定理，FN1l601070.15l13.87EA121010912106FN2l401070.15l24.7696EA2210101210从而得，Axl24.76，Ayl22l1320.23（）（2）

VFAyF1l1+F2l20Ay20.33（）

[习题2-17] 简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC的长度l保持不变，斜杆AB的长度

可随夹角的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求： （1）两杆的夹角；

（2）两杆横截面面积的比值。 解：（1）求轴力

取节点B为研究对象，由其平衡条件得：

Y0

F sin NABsinF0 NAB

X0

FcosFcot 2-17 sin NABcosNBC0 NBCNABcos （2）求工作应力 ABNABF AABAABsin BCNBCFcot ABCABC （3）求杆系的总重量

3 WV(AABlABABClBC) 。是重力密度（简称重度，单位：kN/m）。

(AABlABCl) cos1l(AABABC)

cosNABFF[]，AAB AABAABsin[]sinNBCFcotFcot[]， ABC ABCABC[] （4）代入题设条件求两杆的夹角 条件①： AB BC条件⑵：W的总重量为最小。 Wl(AAB l(11ABC)l(AABABC) coscosF1FcotFl1cos)()

[]sincos[][]sincossinFl1cos22Fl1cos2 sincossin2从W的表达式可知，W是角的一元函数。当W的一阶导数等于零时，W取得

最小值。

dW2Fl2cossinsin2(1cos2)cos220 2dsin2sin223cos2cos220 2sin223cos2cos220

3cos21 ，cos20.3333

2arccos(0.3333)109.47o，54.74o54o44'

（5）求两杆横截面面积的比值 AABFFcot，ABC

[]sin[]

AABABCF11[]sin Fcotsincotcos[]2 因为： 3cos21，2cos cos1，cos2

131313，

13 cos 所以：

AAB3 ABC[习题2-18] 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力

[]170MPa，试选择AC和CD的角钢

型号。 解：（1）求支座反力 由对称性可知， RARB220kN() （2）求AC杆和CD杆的轴力

以A节点为研究对象，由其平 衡条件得：

Y0 2-18

RANACcos0

NACRA220366.667(kN) sin3/5 以C节点为研究对象，由其平衡条件得：

X0

2204/5293.333(kN) 3/5 NCDNACcos0 NCDNACcos （3）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AC杆： AACNAC366667N2156.86mm221.569cm2 2[]170N/mm2 选用2∟807（面积210.8621.72cm）。 CD杆： ACDNCD293333N1725.488mm217.255cm2 2[]170N/mm2 选用2∟756（面积28.79717.594cm）。

[习题2-19] 一结构受力如图所示，杆件AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力[]170MPa，材料的弹性模量E210GPa，杆AC及EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D、C、A处的铅垂位移D、C、A。 解：（1）求各杆的轴力 NAB NCD

3.2300240(kN) 40.830060(kN) 4FM0

NGH33001.5601.20 2-19

1NGH(45072)174(kN)

3Y0

NEF174603000

NEF186(kN)

（2）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AB杆： AABNAB240000N1411.765mm214.12cm2 2[]170N/mm2 选用2∟90565（面积27.21214.424cm）。 CD杆： ACDNCD60000N352.941mm23.529cm2 2[]170N/mm2 选用2∟40253（面积21.893.78cm）。

EF杆：

AEFNEF186000N1094.118mm210.412cm2 2[]170N/mm2 选用2∟70455（面积25.60911.218cm）。 GH杆： AGHNGH174000N221023.529mm10.353cm 2[]170N/mm2 选用2∟70455（面积25.60911.218cm）。 （3）求点D、C、A处的铅垂位移D、C、A lABNABlAB24000034002.6942.7(mm)

EAAB2100001442.4NCDlCD6000012000.907(mm)

EACD210000378NEFlEF18600020001.580(mm)

EAEF2100001121.8NGHlGH17400020001.477(mm)

EAGH2100001121.8 lCDlEFlGHEG杆的变形协调图如图所示。

DlGH1.8 lEFlGH3D1.4771.8 1.5801.4773D1.54(mm)

CDlCD1.540.9072.45(mm)

AlAB2.7(mm)

[习题2-21] （1）刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为d125mm和d218mm，钢的许用应力[]170MPa，弹性模量

E210GPa。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形lAC、lBD及A、B两点的竖向位

移A、B。

解：（1）校核钢杆的强度

① 求轴力

NACNBC310066.667(kN) 4.51.510033.333(kN) 4.5NAC66667N AAC0.253.14252mm2 ② 计算工作应力 AC 135.882MPa

BDNBD33333N 2-21 22ABD0.253.1418mm 131 .057MPa ③ 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa，即AC[]；

BD[]，所以AC及BD杆的强度足够，不会发生破坏。

（2）计算lAC、lBD lACNAClAC6666725001.618(mm)

EAAC210000490.625NBDlBD3333325001.560(mm)

EABD210000254.34 lBD （3）计算A、B两点的竖向位移A、B

AlAC1.618(mm)，BlBD1.560(mm)

[习题3-2] 实心圆轴的直径d100mm，长l1m，其两端所受外力偶矩Me14kNm，材料的切变模量G80GPa。试求：

（1）最大切应力及两端面间的相对转角；

（2）图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向； （3）C点处的切应变。 解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角 maxMTe。 WpWp11d33.141591003196349(mm3)。 3-2 1616式中，Wp故：maxMe14106Nmm71.302MPa 3Wp196349mm11Tl，式中，Ipd4 3.1415910049817469(mm4)。故：

3232GIpTl14000Nm1m0.0178254(rad)1.02o 92124GIp8010N/m981746910m（2）求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向

ABmax71.302MPa， 由横截面上切应力分布规律可知：

A、B、C三点的切应力方向如图所示。 CB0.571.30235.66MPa，（3）计算C点处的切应变 C12CG35.66MPa434.4575100.44610 38010MPa[习题3-3] 空心钢轴的外径D100mm，内径d50mm。已知间距为l2.7m的两横截面的相对扭转角1.8，材料的切变模量G80GPa。试求： （1）轴内的最大切应力；

（2）当轴以n80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；（1）计算轴内的最大切应力

o11D4(14)3.141591004(10.54)9203877(mm4)。 323211WpD3(14)3.141591003(10.54)184078(mm3)

1616式中，d/D。 IpTl， GIpTGIpl1.83.14159/18080000N/mm29203877mm42700mm

8563014.45Nmm8.563(kNm)

maxT8563014.45Nmm46.518MPa Wp184078mm3（2）当轴以n80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率 TMe9.549NkN9.549k8.563(kNm) n80Nk8.56380/9.54971.74(kW)

[习题3-5] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN，已知轴材料的许用切应力[]40MPa，试求： （1）AB轴的直径；

（2）绞车所能吊起的最大重量。 解：（1）计算AB轴的直径

AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等：

Me左Me右0.20.40.08(kNm) Me主动轮2Me右0.16(kNm)

扭矩图如图所示。 3-5 由AB轴的强度条件得： maxMe右16Me右[] 3Wpd16Me右1680000Nmmd321.7mm

[]3.1415940N/mm23（2）计算绞车所能吊起的最大重量

主动轮与从动轮之间的啮合力相等：

Me主动轮0.2Me从动轮0.35，Me从动轮0.350.160.28(kNm) 0.20 由卷扬机转筒的平衡条件得：

P0.25Me从动轮，P0.250.28P0.28/0.251.12(kN)

[习题3-6] 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径D60mm，内径d50mm，功率P7.355kW，转速n180r/min，钻杆入土深度l40m，钻杆材料的G80GMPa，许用切应力[]40MPa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求： （1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m；

（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）两端截面的相对扭转角。 解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m

Me9.549Nk7.3559.5490.390(kNm) n180设钻杆轴为x轴，则：

Mx0，mlMe，

mMe0.3900.00975(kN/m) l40（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核

①作钻杆扭矩图

T(x)mx0.39x0.00975x。x[0,40] 40 T(0)0； T(40)Me0.390(kNm)

扭矩图如图所示。 ②强度校核，max式中，WpMe Wp1150D3(14)3.14159603[1()4]21958(mm3) 161660maxMe390000Nmm17.761MPa 3Wp21958mm因为max17.761MPa，[]40MPa，即max[]，所以轴的强度足够，不

会发生破坏。

（3）计算两端截面的相对扭转角

400T(x)dx GIp1150D4(14)3.14159604[1()4]658752(mm4) 323260式中，Ip400|T(x)|dx1GIpGIp04000.00975x2400.00975xdx[]0621248010kN/m65875210m2(rad)8.5 0.148[习题3-8] 直径d50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶Me6kNm，而在圆杆表面上的A点将移动到A1点，如图所示。已知sAA13mm，圆杆材料的弹性模量E210GPa，试求泊松比（提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G、间存在如下关系：GE。

2(1)解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：TMe6kNm。设O,O1两截面之间的相对对转角为，则sd，2Tl2s2s， 式 中，GIPddIp11d43.1415950461359(mm24) 3-8 3232

Tld6106Nmm1000mm50mmG81487.372MPa81.4874GPa

2Ips2613592mm43mm由GEE210得：110.289

2(1)2G281.4874[习题3-10] 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴的外径为D，内径为d0，且

d00.8。试求当D空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（max[]），扭矩T相等时的重量比和刚度比。 解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D。

maxT Wp1D3(14)，故： 16式中，Wpmax,空D316T27.1T[] 343D(10.8)D27.1T 3-10 []（1）求实心圆轴的最大切应力

maxd3116T16TT，式中，Wpd3 ，故：max,实33[]

16ddWp16TD327.1T[]D1.69375，1.192 ，()[]d[]16Td（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比

W空0.25(D2d02)lD2D222 ()(10.8)0.36()0.361.1920.5122W实dd0.25dl11D4(10.84)0.01845D4，Ip实d40.03125d4 3232（4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比

Ip空GIp空GIp实0.01845D4D440.5904()0.59041.1921.192 4d0.03125d[习题3-11] 全长为l，两端面直径分别为d1,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩Me ，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。

解：如图所示，取微元体dx，则其两端面之间的扭转角为：

dMedx GIP1d4 32式中，Iprr1x

r2r1lrr2r1dd1dxr12x1 l2l2d2d1xd1 ld2rd4(d2d1xd1)4u4 ldu故

d2d1ldu dx，dxd2d1l：

MedxMe0GIGpldxMe0IpGl32dx32Me0d4Glldu32Mel1l du40u4d2d10G(d2d1)ulldu32Mel32Mel32Ml1l1e []0433G(d2d1)0uG(d2d1)3u3G(d2d1)d2d1xd1l0321d13d232Meld12d1d2d232Mel32Mel1=333333 3G(d2d1)d2d13G(d1d2)d1d23Gd1d2l[习题3-12] 已知实心圆轴的转速n300r/min，传递的功率p330kW，轴材料的许用切应力[]60MPa，切变模量G80GPa。若要求在2m长度的相对扭转角不超过1，试求该轴的直径。 解：oTlMel 1GIPGIp180Nk13309.54910.504(kNm)；Ipd4。故： n30032式中，Me9.549Ip180Mel180Mel1d4，

G32G632180Ml3218010.50410Nmm2000mme4d4111.292mm

2G3.14280000N/mm2取d111.3mm。

[习题3-16] 一端固定的圆截面杆AB，承受集度为m的均布外

力偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G。

T2(x)dx解：dV2GIpm2x2dx16m2x2dx 41dG2Gd432m2l3m2l3 3-16

16GIp6d4G3216m2l216m2l3Vxdxd4G03d4G[习题3-18] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝直径d10mm，材料的许

用切应力[]500MPa，切变模量为G，弹簧的有效圈数为n。试求：

（1）弹簧的许可切应力；

（2）证明弹簧的伸长解：（1）求弹簧的许可应力

16Fn2(R1R2)(R21R2)。 4Gd 用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离

体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：

剪力QF扭矩TFR

最大扭矩：TmaxFR2

max'\"QTmax4F16FR216FR2d2(1)[]， 33AWpd4R2dd3.14103mm3500N/mm2[F]957.3N

d10mm16R2(1)16100mm(1)4R24100mm因为D/d200/102010，所以上式中小括号里的第二项，即由Q

所产生的剪应力可以忽略不计。此时

d3[]3.14103mm3500N/mm2[F]981.25N

d16100mm16R2(1)4R2（2）证明弹簧的伸长d3[]16Fn2(R1R2)(R21R2) 4Gd1T2(Rd) 外力功：WF ， dU

22GIpU2n0(FR)2(Rd)F22GIp2GIp2n0F2Rd2GIp32n0RR1[R12]d

2n34R14F2nR2  4GIpR2R14R141F2nR2 WU，F24GIpR2R14R1416Fn2FnR22(RR)(R1R2) 1242GIpR2R1Gd[习题3-19] 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶Me3kNm。已知材料的切变模量

G80GPa，试求：

（1） 杆内最大切应力的大小、位置和方向； （2） 横截面短边中点处的切应力； （3） 杆的单位长度扭转角。

解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向

， ，

，

由表得，

，

长边中点处的切应力，在上面，由外指向里 （2）计算横截面短边中点处的切应力

MPa

短边中点处的切应力，在前面由上往上 （3）求单位长度的转角

单位长度的转角

[习题3-23] 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求： （1） 最大切应力之比； （2） 相对扭转角之比。 解：（1）求最大切应力之比

开口：max,开口Me It12It2r03r03 依题意：2r04a，故：

33124a3It2r03r03

333max,开口Me3Me3Me 32It4a4a闭口：max,闭口max,开口3Me2a23aMeMe， 2A02a2max,闭口4a2Me2（3） 求相对扭转角之比 开口：ItM3MeT124a3'e 2r03r03，开口3GIGI4Ga333ttMesMe4aMeTs 22434GA04GA04GaGa闭口：闭口''开口3MeGa33a2 '32Me闭口4Ga44-1试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩 a（5）=h（4）

q02aq0a21q3FS11q0a0aq0a22411a11M11q0aq0aq0a22312114FS220,M22q0a2aq02a2aq0a2233FRAFRBb（5）=f（4）

4-2试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图 a（5）=a（4）

b（5）=b（4）

f（5）=f（4）

4-3试利用载荷集度，剪力和弯矩间的微分关系做下列各梁的弯矩图和剪力e和f题）

（e） （f） （h）

4-4试做下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。

4-4 （b） 4-5 （b）

4-5．根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪力图的错误之处，并改正。 4-6．已知简支梁的剪力图如图所示，试做梁的弯矩图和荷载图，梁上五集中力偶作用。

4-6（a） 4-7（a）

4-7．根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图。 4-8用叠加法做梁的弯矩图。

4-8（b） 4-8（c）

4-9．选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。

4-9（b） 4-9（c）

4-10

4-14．长度l=2m的均匀圆木，欲锯做Fa=0.6m的一段，为使锯口处两端面开裂最小，硬是锯口处弯矩为零，现将圆木放在两只锯木架上，一只锯木架放在圆木一段，试求另一只锯木架应放位置。

x=0.4615m

4-18

4-19M=30KN 4-21

4-23

4-25

4-28

4-29

4-33

4-36

4-35

5-2

5-3

5-7

5-15

5-22

5-23 选22a工字钢 5-24

6-4 lA6Fl/((233)EA)

6-12

7-3-55mpa。-55mpa

7-4[习题7-3] 一拉杆由两段沿mn面胶合而成。由于实用的原因，图中的角限于

0~600范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应

力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力[]为许用拉应力[]的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大？ 解：xF；y0；x0 A xy2xy2cos2xsin2

FFF1cos2cos2[] 2A2AA2F1cos2F[]，cos2[]

A2A[]A[]A， FFmax,Ncos2cos2 xy2sin2xcos2

F31.5[]A1.5[]A，Fmax,T sin2[][]，Fsin2sin22A40.9 10 20 1.132 2.334 30 1.333 1.732 36.8833 1.563 1.562 40 1.704 1.523 50 60 （0） Fmax,N（[]A） Fmax,T（[]A） 1.000 1.031 47.754 4.386 2.420 4.000 1.523 1.732 最大荷载随角度变化曲线5.0004.0003.0002.0001.0000.0000102030Fmax,N40Fmax,T5060斜面倾角(度)Fmax,N,Fmax,T

由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当60时，杆能承受最大荷载，该荷载为：

0Fmax1.732[]A

7-6[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面

以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。

解：（1）求计算点的正应力与切应力

My12My12100.72106Nmm40mm 10.55MPa 334Izbh80160mm*QSz10103N(8040)60mm30.88MPa 1Izb801603mm480mm12（2）写出坐标面应力 X（10.55，-0.88）

Y（0，0.88）

(3) 作应力圆求最大与最小主应力，

并求最大主应力与x轴的夹角 作应力圆如图所示。从图中按

比例尺量得：

110.66MPa 30.06MPa 04.750

7-7[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1）指定截面上的应力； （2）主应力的数值；

（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

[习题7-8（a）]

解：坐标面应力：X（20，0）；Y（-40，0）60。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

012025MPa， 12026MPa；120MPa，340MPa；000。

0031

单元体图 应力圆（O.Mohr圆）

[习题7-8（b）]

0

主单元体图

解：坐标面应力：X（0，30）；Y（0，-30）30。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

6026MPa ，6015MPa；130MPa，330MPa； 0450。

00

单元体图

[习题7-8（c）]

应力圆（O.Mohr圆）

主单元体图

解：坐标面应力：X（-50，0）；Y（-50，0）30。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

06050MPa ，600；250MPa，350MPa。

0032

单元体图

应力圆（O.Mohr圆）

主单元体图

[习题7-8（d）]

解：坐标面应力：X（0，-50）；Y（-20，50）0。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

04540MPa ，4510；141MPa,20MPa，361MPa；039035'。

00

单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图

[习题7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。

平面应力状态下的两斜面应力

解：两斜面上的坐标面应力为：

A（38，28），B（114，-48）

由以上上两点作出的直线AB是应力圆上的一条弦， 如图所示。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于C

点，则C为应力圆的圆心。设圆心坐标为C（x,0） 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质，可列以下方程：

应力圆

(x38)2(028)2(x114)2(048)2

解以上方程得：x86。即圆心坐标为C（86，0） 应力圆的半径：

r(8638)2(028)255.570

主应力为：

1xr8655.57141.57MPa 2xr8655.5730.43MPa 30

（2）主方向角

（上斜面A与中间主应力平面之间的夹角） （上斜面A与最大主应力平面之间的夹角）

（3）两截面间夹角：

[习题7-14] 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。[习题7-15（a）]

解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，-40），Z（50，0）

单元体图

应力圆

由XY平面内应力值作a、b点，连接a、b交 应力圆半径：

轴得圆心C（50，0）

[习题7-15（b）]

解：坐标面应力：X（60，40），Y（50，0），Z（0，-40）

单元体图

应力圆

轴于C点，OC=30，故应力圆圆心C（30，0）

由XZ平面内应力作a、b点，连接a、b交 应力圆半径：

[习题7-15（c）]

解：坐标面应力：X（-80，0），Y（0，-50），Z（0，50）

单元体图

应力圆

由YZ平面内应力值作a、b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得

，如图所示。。已知材料

[习题7-19] D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩 在轴的中部表面A点处，测得与其母线成 的弹性常数

，

方向的线应变为

。

，试求扭转力偶矩

解：

方向如图

[习题7-20] 在受集中力偶Me作用矩形截面简支梁中，测得中性层上 k点处沿45方向的线应变为450。已知材料的弹性常数E,和梁的横截面及长度尺寸b,h,a,d,l。试求集中力偶矩Me。

解：支座反力： RA0MeMe （↑）；RB （↓） llK截面的弯矩与剪力： MkRAaaMeMe；QkRA llK点的正应力与切应力： 0；1.5Qk3Me A2Al故坐标面应力为：X（，0），Y（0，-）

1zy23Me12(xy)24x 22Al 20

3zy23Me12(xy)24x 22Altan202x

xy0450 （最大正应力1的方向与x正向的夹角），故

45101(13) E4503Me3Me13Me[(()](1) E2Al2Al2EAl2EAl4503(1)2Ebhl0

3(1)45Me[习题7-22] 已知图示单元体材料的弹性常数E200GPa，0.3。试求该单元体的形状改变能密度。

解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，40），Z（50，0） 在XY面内，求出最大与最小应力：

m

axzy212(xy)24x 2maxmin70301(7030)24(40)294.721(MPa) 22zy212(xy)24x 2max70301(7030)24(40)25.279(MPa) 22故，194.721(MPa)，250MPa，35.279(MPa)。 单元体的形状改变能密度： vd

1[(12)2(23)2(31)2] 6E10.3222[(94.72150)(505.279)(5.27994.721)]36200100.01299979MPa12.99979kNm/m3 [习题7-25] 一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为[]170MPa，[]100MPa 。试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强

度理论校核危险截面上的a点的强度。注：通常在计算a点处的应力时，近似地按a点的位置计算。

解： 左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。

支座反力：RARB'1(550550408)710(kN) （↑） 2

=

Iz11240840323080032040746670(mm4)2.04103m4 1212（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘

1Mmax710455034042870(kNm)

2Mmaxymax870103Nm420103mmax179MPa 34Iz2.0410m

超过

的5.3%，在工程上是允许的。

（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处

（3）在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度

的3.53%，在工程上是允许的。

超过

[习题7-27] 用Q235钢制成的实心圆截面杆，受轴向拉力F及扭转力偶矩Me共同作用，且

Me1Fd。今测得圆杆表面k点处沿图示方向的线应变30014.33105。已知杆直10径d10mm，材料的弹性常数E200GPa，0.3。试求荷载F和Me。若其许用应力[]160MPa，试按第四强度理论校核杆的强度。 解：

计算F和

Me的大

小：

Me在k点处产生的切应力为：

max16MeT16T16Fd8F3 WPdd3d3105d2F在k点处产生的正应力为：

F4F Ad24F8F8F即：X（，），Y （0，） 2225dd5d广义虎克定律：

3001(0600) E302 xyxy2cos2xsin2

3002F2F8F(1543)F00cos60sin6013.967103F(MPa) 2222dd5d5d （F以N为单位，d以mm为单位，下同。） 6002F2F8F(543)F00cos(120)sin(120)1.228103F 2222dd5d5d14.3310514.33102133[13.96710F0.31.22810F] 320010F(13.9670.31.228]) 20010314.331026.7993105F

F2107.570N2.108kN

11MeFd2108N10mm2108Nmm2.108Nm

1010按第四强度理论校核杆件的强度：

x8F82108N10.741(MPa) 5d253.14102mm24F42108Nx226.854(MPa) 22d3.1410mm1xy212xy4x

22126.85412226.85424(10.741)230.622(MPa)

20

326.85412226.85424(10.741)2

3.768(MPa)

1[(12)2(23)2(31)2] 21[(30.6220)2(03.768)2(3.76830.622)2]2

32.669(MP)a[]160MPa符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。

[习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知l0.8m，F12.5kN，

F21.0kN，试求危险截面上的最大正应力。

解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压

性能相同，故只计算最大拉应力：

3式中，Wz，Wy由14号工字钢，查型钢表得到Wz102cm，Wy16.1cm。故

3 max32.5103N0.8m1.0103N0.8m79.1106Pa79.1MPa 6363210210m16.110m[习题8-2] 受集度为 q的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 300，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 E10GPa；梁的尺寸为

l4m，h160mm，b120mm；许用应力[]12MPa；许用挠度[w]l/150。试校核梁的强度和刚度。

解：（1）强度校核

qyqcos30020.8661.732(kN/m) （正y方向↓）

qzqsin30020.51(kN/m) （负z方向←）

11Mzmazqyl21.732423.464(kNm) 出现在跨中截面

8811Mymazqzl21422(kNm) 出现在跨中截面

8811Wzbh21201602512000(mm3)

66Wy121hb1601202384000(mm3) 66最大拉应力出现在左下角点上：

maxMzmaxMymax WzWymax

3.464106Nmm2106Nmm11.974MPa 33512000mm384000mm因为 max11.974MPa，[]12MPa，即：max[]

所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。

（2）刚度校核

=

0.0202m[w]4/1500.0267m。即符合刚度条件，亦即刚度安全。

[习题8-10] 图示一浆砌块石挡土墙，墙高4m，已知墙背承受的土压力F137kN，并且

0与铅垂线成夹角45.7，浆砌石的密度为2.3510kg/m，其他尺寸如图所示。试取

331m长的墙体作为计算对象，试计算作用在截面AB上A点和B点处的正应力。又砌体的许

用压应力[c]为3.5MPa，许用拉应力为0.14MPa，试作强度校核。 解：沿墙长方向取1m作为计算单元。分块计算砌 体的重量：

P1(0.614)m32.359.8kN/m355.272kN

1P2(1.641)m32.359.8kN/m373.696kN

2竖向力分量为：

FvP1P2Fcos45.70

55.27273.696137cos45.70224.651(kN)

各力对AB截面形心之矩为：

AB之中点离A点为：1.1m，P1的偏心距为e11.10.30.8(m)

P2的偏心距为e2(0.61.6)1.10.0333(m) 3Fy的偏心距为e3(2.21cos68.20)1.10.729(m)

Fx的力臂为e41.50.51(m) MP1e1P2e2Pye3Pxe4

55.2720.873.6960.0333137cos45.700.729137sin45.701

70.061(kNm) 砌体墙为压弯构件

截面核心边界点坐标的计算(习题8-13) AFvM224.651kN70.061kNm188.966kPa0.189MPa

1AWz2.21m212.22m36FvM224.651kN70.061kNm15.262kPa0.0153MPa 21AWz2.21m12.22m36B因为 |A|[c]，|B|[c]，所以砌体强度足够。 [习题8-11] 试确定图示各截面的截面核心边界。

[习题8-11（a）]

解：惯性矩与惯性半径的计算

IyIz1180080033.1454042.9961521010(mm4) 12641A8008003.145402411094(mm2)

42y2z2.9961521010ii7.2882406104(mm2)

A411094

Iy截面核心边界点坐标的计算 中性轴编号 中性轴的截距 ay 2iy iz2① 400 ∞ 1 ② ∞ -400 2 ③ -400 ∞ 3 ④ ∞ 400 4 az对应的核心边界上的点 核心边界上点 iz2y ay 72882 -182 0 182 0 的坐标值（m) z2iyaz 72882 0 182 0 -182

[习题8-11（b）]

解：计算惯性矩与惯性半径

Iy1110020035010036.25107(mm4) 121211Iz20010031005031.5625107(mm4)

1212A1002005010015000(mm2)

6.25107i4167(mm2)

A150002yIyIz1.5625107i1042(mm2)

A150002z截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b) 中性轴编号 中性轴的截距 ay 2iy iz2① 50 ② ∞ ③ ④ -50 ∞ az ∞ -100 ∞ 100 1 2 3 4 对应的核心边界上的点 核心边界上点 iz2y ay 1042 -21 0 21 0 的坐标值（m) z2iyaz 4167 0 42 0 -42

[习题8-11（c）] 解：（1）计算惯性矩与惯性半径 半圆的形心在Z轴上， zc4R420085(mm) 333.14222 半圆的面积：

A0.5R0.53.1420062800(mm)

半圆形截面对其底边的惯性矩是

d4yc 的惯性矩：IyC1288R44R2R2R48R4()

83289R4，用平行轴定理得截面对形心轴

3.14200482004175062987(mm4) 893.14 IzC3.1420046.28108(mm4)

88IyCAIzC1750629872788(mm2)

62800R42 iy6.2810810000(mm2) iA628002z （2）列表计算截面核心边缘坐标

截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b) 中性轴编号 中性轴的截距 ay 2iy iz2① 100 ∞ ② ∞ -85 1 ③ -100 ∞ 2 ④ ∞ 115 3 az 对应的核心边界上的点 1 10000 -100 核心边界上点 iz2y ay 0 100 0 的坐标值（m) z2iyaz 2788 0 33 0 -24