【精校】2020年上海市松江区高考一模数学

一.填空题(本大题满分56分)本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.

2

1.设集合M={x|x=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N=_____.

2

解析：∵集合M={x|x=x}={0，1}， N={x|lgx≤0}{x|0＜x≤1}， ∴M∩N={1}. 答案：{1}.

2

2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a+i=2-bi，则(a+bi)=_____.

解析：由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案. 答案：3-4i.

x-1

3.已知函数f(x)=a-1的图象经过(1，1)点，则f(3)=_____.

解析：根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案. 答案：2.

4.不等式x|x-1|＞0的解集为_____. 解析：∵x|x-1|＞0， ∴x＞0，|x-1|＞0， 故x-1＞0或x-1＜0， 解得：x＞1或0＜x＜1，

故不等式的解集是(0，1)∪(1，+∞)， 答案：(0，1)∪(1，+∞).

rrrr5.已知向量a=(sinx，cosx)，b=(sinx，sinx)，则函数f(x)=a·b的最小正周期为_____.

解析：由平面向量的坐标运算可得f(x)，再由辅助角公式化积，利用周期公式求得周期. 答案：π.

6.里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道.在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为_____.

解析：先求出基本事件总数n=A8，再求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=

8A22A77，由此能求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率.

答案：

1. 4

7.按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是_____.

解析：模拟程序的运行，可得 x=17，k=0

执行循环体，x=35，k=1

不满足条件x＞115，执行循环体，x=71，k=2 不满足条件x＞115，执行循环体，x=143，k=3 满足条件x＞115，退出循环，输出x的值为143. 答案：143.

8.设(1+x)=a0+a1x+a2x+a3x+…+anx，若

n

2

3

n

a21，则n=_____. a3312n23n

x2?n3x3+…= a0+a1x+a2x+a3x+…+anx，

解析：利用二项式定理展开可得：(1+x)=1+痧nxn

比较系数即可得出.

答案：11.

9.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这

2

个圆锥的侧面积是_____cm.

解析：由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案. 答案：17π.

x210.设P(x，y)是曲线C：25y2=1上的点，F1(-4，0)，F2(4，0)，则|PF1|+|PF2|的最9大值=_____.

解析：先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10. 答案：10.

，x3x24x3111.已知函数f(x)=，若F(x)=f(x)-kx在其定义域内有3个零点，

x28，x＞3则实数k∈_____.

解析：问题转化为f(x)和y=kx有3个交点，画出函数f(x)和y=kx的图象，求出临界值，从而求出k的范围即可.

答案：(0，

3). 3

n*

12.已知数列{an}满足a1=1，a2=3，若|an+1-an|=2(n∈N)，且{a2n-1}是递增数列、{a2n}是递减

数列，则lima2n1=_____.

na2n2

3

2n-1

解析：依题意，可求得a3-a2=2，a4-a3=-2，…，a2n-a2n-1=-2

2n-1

，累加求和，可得a2n=

1312n2，33a2n-1=a2n+2=

a1312n2；从而可求得lim2n1的值.

na362n答案：-

1. 2

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.已知a，b∈R，则“ab＞0“是“

ba＞2”的( ) abA.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

解析：根据充分必要条件的定义判断即可. 答案：B.

14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于( )

1 31B. 2A.C.

3 32 2D.解析：由已知可得AC1⊥平面A1DB，可得P为AC1与截面A1DB的垂足时线段AP最小，然后利用等积法求解. 答案：C.

15.若矩阵a11a12a11a12满足：a，a，a，a∈{0，1}，且=0，则这样的互不相11122122a21a22a21a22等的矩阵共有( )

A.2个 B.6个 C.8个 D.10个

解析：根据题意，分类讨论，考虑全为0；全为1；三个0，一个1；两个0，两个1，即可得出结论. 答案：D.

16.解不等式(

1x11x

)-x+ ＞0时，可构造函数f(x)=()-x，由f(x)在x∈R是减函数，及2222

6

3

f(x)＞f(1)，可得x＜1.用类似的方法可求得不等式arcsinx+arcsinx+x+x＞0的解集为

( ) A.(0，1] B.(-1，1) C.(-1，1] D.(-1，0)

3

解析：由题意，构造函数g(x)=arcsinx+x，在x∈[-1，1]上是增函数，且是奇函数，

2632

不等式arcsinx+arcsinx+x+x＞0可化为g(x)＞g(-x)，

2

∴-1≤-x＜x≤1， ∴0＜x≤1. 答案：A.

三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点.

(1)求证：PC⊥BD；

(2)求直线BE与PA所成角的余弦值.

解析：(1)推导出△PBC，△PDC都是等边三角形，从而BE⊥PC，DE⊥PC，由此能证明PC⊥BD.

(2)连接AC，交BD于点O，连OE，则AP∥OE，∠BOE即为BE与PA所成的角，由此能求出直线BE与PA所成角的余弦值.

答案：(1)∵四边形ABCD为正方形，且PA=AB=a，

∴△PBC，△PDC都是等边三角形， ∵E是棱PC的中点，

∴BE⊥PC，DE⊥PC，又 BE∩DE=E， ∴PC⊥平面BDE 又BD平面BDE， ∴PC⊥BD

(2)连接AC，交BD于点O，连OE.

四边形ABCD为正方形，∴O是AC的中点 又E是PC的中点

∴OE为△ACP的中位线，∴AP∥OE ∴∠BEO即为BE与PA所成的角 在Rt△BOE中，BE=

311a，EO=PA=a， 222∴cos∠BEO=

3OE=. 3BE3. 3∴直线BE与PA所成角的余弦值为

a2x118.已知函数F(x)=x，(a为实数).

21(1)根据a的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若对任意的x≥1，都有1≤f(x)≤3，求a的取值范围.

解析：(1)根据题意，先求出函数的定义域，易得其定义域关于原点对称，求出F(-x)的解析式，进而分2种情况讨论：①若y=f(x)是偶函数，②若y=f(x)是奇函数，分别求出每种情况下a的值，综合即可得答案；

(2)根据题意，由f(x)的范围，分2种情况进行讨论：f(x)≥1以及f(x)≤3，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得a的值，进而综合2种情况，可得答案.

a2x1答案：(1)函数F(x)=x定义域为R，

21a2x1a2x且F(-x)=x=，

2112x①若y=f(x)是偶函数，则对任意的x 都有f(x)=f(-x)，

a2x1a2xx即x=，即2(a+1)=a+1， x2112解可得a=-1；

②若y=f(x)是奇函数，则对任意的x 都有f(x)=-f(-x)，

a2x1a2xx即x=-，即2(a-1)=1-a， x2112解可得a=1；

故当a=-1时，y=f(x)是偶函数， 当a=1时，y=f(x)是奇函数，

当a≠±1时，y=f(x)既非偶函数也非奇函数， (2)由f(x)≥1可得：2+1≤a·2-1，即∵当x≥1时，函数y1=则必有a≥2，

同理，由f(x)≤3 可得：a·2-1≤3·2+3，即a-3≤∵当x≥1时，y2=

x

x

x

x

2≤a-1 2x2单调递减，其最大值为1， x24， 2x4单调递减，且无限趋近于0， 2x故a≤3，

综合可得：2≤a≤3.

19.上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”.兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H.在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°(点A、B、O都在同一水平面上)，此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米.试求：

(1)塔高(即线段PH的长，精确到0.1米)；

(2)塔身的倾斜度(即PO与PH的夹角，精确到0.1°). 解析：(1)由题意可知：△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，

AB16.82即可求得x==18.86； cosHABcos27(2)∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知：

OHBH18.86sin6OH，OH==2.28，则倾斜角∠OPH=arctan=arctansinOBHsinBOHsin120PH2.28

=6.89°. 18.86

答案：(1)设塔高PH=x，由题意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°， ∴△PAH，△PBH均为等腰直角三角形， ∴AH=BH=x

在△AHB中，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，

AB16.82∴x==18.86 cosHABcos27(2)在△BOH中，∠BOH=120°，

∴∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.9，

OHBH， sinOBHsinBOH18.86sin6得OH==2.28，

sin1202.28OH∴∠OPH=arctan=arctan≈6.9°，

18.86PH由

∴塔高18.9米，塔的倾斜度为6.9°.

x2y220.已知双曲线C：22=1经过点(2，3)，两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线

ab于A、B两点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA，kPB均存在，求证：kPA·kPB为定值；

(3)若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M(m，0)，使得直线l绕点F1无论怎样

uuuruuur转动，都有MAMB=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.

x2y2解析：(1)利用双曲线C：22=1经过点(2，3)，两条渐近线的夹角为60°，建立方程，

ab即可求双曲线C的方程；

(2)设M(x0，y0)，由双曲线的对称性，可得N的坐标，设P(x，y)，结合题意，又由M、P

2222

在双曲线上，可得y0=3x0-3，y=3x-3，将其坐标代入kPM·kPN中，计算可得答案.

(3)先假设存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设出M点坐标，根据数量级为0，求得结论.

49212ab答案：(1)解：由题意得解得a=1，b=3 b3ay2∴双曲线C的方程为x=1；

32(2)证明：设A(x0，y0)，由双曲线的对称性，可得B(-x0，-y0). 设P(x，y)，

y2y02则kPA·kPB=2，

xx0∵y0=3x0-3，y=3x-3，

2

2

2

2

y2y02∴kPA·kPB=2=3

xx0(3)解：由(1)得点F1为(2，0)

当直线l的斜率存在时，设直线方程y=k(x-2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)

2222

将方程y=k(x-2)与双曲线方程联立消去y得：(k-3)x-4kx+4k+3=0，

4k24k23∴x1+x2=2，x1x2=2

k3k3假设双曲线C上存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设为M(m，n) 则

2

2

2

2

uuuruuurMAMB2

=(x1-m)(x2-m)+[k(x1-2)-n][k(x2-2)-n]=(k+1)x1x2-(2k+kn+m)(x1+x2)+m+4k+4kn+n=

m2n24m5k212nk3m2n21k32

2

2

2

2

2=0，

2

故得：(m+n-4m-5)k-12nk-3(m+n-1)=0对任意的k＞3恒成立，

m2n24m50∴12n0，解得m=-1，n=0 m2n210∴当点M为(-1，0)时，MA⊥MB恒成立；

当直线l的斜率不存在时，由A(2，3)，B(2，-3)知点M(-1，0)使得MA⊥MB也成立.

又因为点(-1，0)是双曲线C的左顶点，

所以双曲线C上存在定点M(-1，0)，使MA⊥MB恒成立.

21.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”. (1)若数列{an}为“H型数列”，且a1=

11-3，a2=，a3=4，求实数m的取值范围； mm2

*

(2)是否存在首项为1的等差数列{an}为“H型数列”，且其前n项和Sn满足Sn＜n+n(n∈N)？

若存在，请求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由. (3)已知等比数列{an}的每一项均为正整数，且{an}为“H型数列”，bn=

an2an，cn=，3n12n5当数列{bn}不是“H型数列”时，试判断数列{cn}是否为“H型数列”，并说明理由. 解析：(1)由题意得，a2-a1=3＞2，a3-a2=4-得出.

(2)假设存在等差数列{an}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：Sn=n+

112m1＞2，即2-=＞0，解得m范围即可

mmmnn1 2d，由题意可得：n+

nn12n2*

d＜n+n对n∈N都成立，即d＜都成立.解出即可判断出2n1结论.

n-1

(3)设等比数列{an}的公比为q，则an=a1q，且每一项均为正整数，且an+1-an=an(q-1)＞2＞0，可得an+1-an=an(q-1)＞an-an-1，即在数列{an-an-1}(n≥2)中，“a2-a1”为最小项.同理在数列{bn-bn-1}(n≥2)中，“b2-b1”为最小项.由{an}为“H型数列”，可知只需a2-a1＞2，即 a1(q-1)＞2，又因为{bn}不是“H型数列”，且“b2-b1”为最小项，可得b2-b1≤2，即 a1(q-1)≤3，由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1(q-1)=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通过分类讨论即可判断出结论.

答案：(1)由题意得，a2-a1=3＞2，a3-a2=4-＜0.

∴实数m的取值范围时(-∞，0)∪(

1112m1＞2，即2-=＞0，解得m＞或m

m2mm1，+∞). 2(2)假设存在等差数列{an}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：Sn=n+

nn12nn12n2n22*

d，由题意可得：n+d＜n+n对n∈N都成立，即d＜都成立.∵=2+

2n1n1n1＞2，且lim2n=2，∴d≤2，与d＞2矛盾，因此不存在等差数列{an}为“H型数列”.

nn1n-1

(3)设等比数列{an}的公比为q，则an=a1q，且每一项均为正整数，且an+1-an=an(q-1)＞2＞0，

∴a1＞0，q＞1.∵an+1-an=an(q-1)＞an-an-1，即在数列{an-an-1}(n≥2)中，“a2-a1”为最小项.

同理在数列{bn-bn-1}(n≥2)中，“b2-b1”为最小项.由{an}为“H型数列”，可知只需a2-a1＞2，即 a1(q-1)＞2，又因为{bn}不是“H型数列”，且“b2-b1”为最小项，∴b2-b1≤2，即 a1(q-1)≤3，由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1(q-1)=3，∴a1=1，q=4或a1=3，q=2，

2n42n34n12n3*

①当a1=1，q=4时，an=4，则cn=，令dn=cn+1-cn(n∈N)，则dn=n5n2n1n12n1n-1

=2·

n+3

nn1n2，令en=dn+1-dn(n∈N)，则en=2·*n+4

n1nn+3

-2·

n2n3n1n22n3n2n2=·＞0， n2n1n3∴{dn}为递增数列，

即 dn＞dn-1＞dn-2＞…＞d1，

即 cn+1-cn＞cn-cn-1＞cn-1-cn-2＞…＞c2-c1， ∵c2-c1=

832*

-8=＞2，所以，对任意的n∈N都有cn+1-cn＞2，

33n-1

即数列{cn}为“H型数列”.②当a1=3，q=2时，an=3·2，

3?2n148则cn=，显然，{cn}为递减数列，c2-c1＜0≤2， n5n1n1?2故数列{cn}不是“H型数列”； n-1

综上：当an=4时，数列{cn}为“H型数列”，

n-1

当an=3·2时，数列{cn}不是“H型数列”.

考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生

谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要

掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。因为一份试卷的题型有选择题、填空题和解答题，题目的难易程度不等，再加上时间的限制，更需要考生运用考试技巧去合理安排时间进行考试，这样才能获得一个优异的成绩。

在每次考试结束之后，我们总会发现这样有趣的情形：有的学生能超常发挥，考个好成绩，而有的学生却出现粗心大意的状况，令人惋惜。有

的学生会说这是“运气”的原因，其实更深次的角度来说，这是说明考试准备不足，如知识掌握不扎实或是考试技巧不熟练等，这些正是考前需要调整的重点。

读书学习终究离不开考试，像中考和高考更是重中之重，影响着很多人的一生，下面就推荐一些与考试有关的方法技巧，希望能帮助大家提高考试成绩。

一是学会合理定位考试成绩

你能在一份卷子当中考几分，很大程度上取决于你对知识定理的掌握和熟练程度。像最后一道选择题和填空题，以及最后两道大题，如果你没有很大把握一次性完成，就要先学会暂时“放一放”，把那些简单题和中等题先解决，再回过头去解决剩下的难题。

因此，在考试来临之前，每位考生必须对自身有一个清晰的了解，面对考试内容，自己处于什么样的知识水平，进而应采取什么样的考试方式，这样才能帮助自己顺利完成考试，获得理想的成绩。

像压轴题的最后一个小题总是比较难，目的是提高考试的区分度，但是一般只有4分左右，很多考生都可以把前面两小题都做对，特别是第一小题。

二是认真审题，理清题意

每次考试结束后，很多考生都会发现很多明明自己会做的题目都解错了，非常可惜。做错的原因让人既气愤又无奈，如算错、看错、抄错等，其中审题不仔细是大部分的通病。

要想把题目做对，首先就要学会把题目看懂看明白，认真审题这是最基本的学习素养。像数学考试，就一定要看清楚，如“两圆相切”，就包括外切和内切，缺一不可；ABC是等腰三角形，就要搞清楚哪两条是腰；二次函数与坐标轴存在交点，就要分清楚x轴和y轴；或是在考试过程中遇到熟悉的题目，绝不可掉以轻心，因为熟悉并不代表一模一样。

三是要活用草稿纸

有时候真的很奇怪，有些学生一场考试下来，几乎可以不用草稿纸，但最终成绩也并不一定见得有多好。不过，我们查看这些学生试卷的时候，上面密密麻麻写了一堆，原来都把试卷当草稿纸，只不过没几个人能看得懂。

考试时间是有限，要想在有限的时间内取得优异的成绩，就必须提高解题速度，这没错，但很多人的解题速度是靠牺牲解题步骤、审清题意等必要环节之上。就像草稿纸，很多学生认为这是在浪费时间，要么不用，要么在打草稿时太潦草，匆忙抄到试卷上时又看错了，这样的毛病难以在考试时发现。

在解题过程后果，我们应该在试卷上列出详细的步骤，不要跳步，需要用到草稿纸的地方一定要用草稿纸。只有认真踏实地完成每步运算，假以时日，就能提高解题速度。

大家一定要记住一点：只要你把每个会做的题目做对，分数自然就会高。

四是学会沉着应对考试

无论是谁，面对考试都会有不同程度的紧张情绪，这很正常，没什么好大惊小怪，偏偏有的学生会把这些情绪放大，出现焦躁不安，甚至是失眠的负面情况，非常可惜。

就像在考试过程中，遇到难题这也很正常，此时的你更应不慌不躁，冷静应对在考试，有些题目难免一时会想不出解题思路，千万记住不要钻牛角尖，可以暂时先放一放，不妨先换一个题目做做，等一会儿往往就会豁然开朗了。

考试，特别像中考和高考这样大型的重要考试，一定要相信一点，那就是所有试题包含的知识定理、能力要求都在考纲范围内，不要有过多的思想负担。

考试遇到难题，容易让人心烦意乱，我们不要急于一时，别总想一口气吃掉整个题目，可以先做一个小题，后面的思路就慢慢理顺了。