数 学 试 题 卷
本卷共六大题，24小题，共120分。考试时间120分钟
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1、比－2013小1的数是（ ）
l1
A、－2012 B、2012 C、－2014 D、2014 1 2 2、如图，直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3＝（ ） l2
3 A、70° B、65° C、60° D、55°
3、从棱长为a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为0.5a的小正方体， 得到一个如图所示的零件，则这个零件的左视图是（ ） A、 B、 C、 D、 正面
4、某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 00094m，用科学计数法表示这个数是（ ）
－7－
A、9.4×10m B、9.4×107m C、9.4×108m D、9.4×108m 5、下列计算正确的是（ ）
A、(2a－1)2=4a2－1 B、3a6÷3a3＝a2 C、(－ab2) 4＝－a4b6 D、－2a＋(2a－1)＝－1 6、某县盛产枇杷，四星级枇杷的批发价比五星级枇杷的批发价每千克低4元。某天，一位零售商分别用去240元，160元来购进四星级与五星级这两种枇杷，其中，四星级枇杷比五星级枇杷多购进10千克。假设零售商当天购进四星级枇杷x千克，则列出关于x的方程为（ ）
240160240160240160240160A、 ＋4＝ B、 －4＝ C、 ＋4＝ D、 －4＝
xxxxx－10x－10x－10x－10二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 7、因式分解：xy2－x＝ 。
8、已知x＝1是关于x的方程x2＋x＋2k＝0的一个根，则它的另一个根是 。
D x－2y2x1C 9、已知 ＝ ，则分式 的值为 。
3y3x＋2y
B E 10、如图，正五边形ABCDE，AF∥CD交BD的延长线
于点F，则∠DFA＝ 度。 F G
A 5 －15 ＋1
11、已知x＝ ，y＝ ，则x2＋xy＋y2的值为 。 223－x140cm 12、分式方程 ＋ ＝1的解为 。 θ x－44－x
13、现有一张圆心角为108°，半径为40cm的扇形纸片， 10cm 小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制 作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠）， 则剪去的扇形纸片的圆心角θ为 。
14、如图，正方形ABCD与正方形AEFG起始时互相重合， 现将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，设旋转角∠BAE＝α （0°＜α＜360°），则当α＝ 时，正方形的
1
C F D G E B A 顶点F会落在正方形的对角线AC或BD所在直线上。 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
－2x＋1≤－1……（1）
15、解不等式组1＋2x， 并把它的解集在数轴上表示出来。
＞x－1……（2）3
16、某公园内有一矩形门洞（如图1）和一圆弧形门洞（如图2），在图1中矩形ABCD的边AB，DC上分别有E、F两点，且BE＝CF；在图2中上部分是一圆弧，下部分中AB∥CD，AB＝CD，AB⊥BC。请仅用无刻度的直尺分别画出图1，2的一条对称轴l。 ．．．．．．．． D A ·F E·
A D B C B C
图1 图2
17、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），其中a＞0，b＞0，以线段AB为一边在第一象限内作菱形ABCD，使其一对角线AC∥y轴。 （1）请求出点C与点D的坐标； y C （2）若一反比例函数图象经过点C，
则它是否一定会经过点D？请说明理由。
B O1 D O A x
18、某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样。规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回）。某顾客刚好消费200元。
（1）写出此情境下的一个必然事件；
（2）请你用画树形图或列表格的方法，列出该顾客所获得购物券的金额的所有结果； （3）请你求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率。 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19、如图，这是学校在学生中征集的生物园一侧围栏纹饰部分的设计图案。其中每个圆的半径均为15cm，圆心在同一直线上，且每增加一个圆形图案，纹饰长度就增加bcm，围栏左右两边留有等距离空隙acm（0≤a＜15）
（1）若b＝25，则纹饰需要201个圆形图案，求纹饰的长度y； （2）若b＝24，则最多需要多少个这样的圆形图案？
a a y …… ·O
b
2
20、如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB＝43cm，CF＝42cm，∠DBA＝60°，∠DAB＝80°。求两根较粗钢管AD和BC的长。（结果精确到0.1cm。参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73） C
D
F G E
60° 80° M N 图1
B A
2 21、某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10图分，学生得分均为整数，
成绩达6分以上（含6分）为合格，达到9分以上（含9分）为优秀。这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下。 学生人数/人 6 甲组 5 4 乙组 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 5 （1）补充完成下列的成绩统计分析表： 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲 乙 6.7 7.5 3.41 90% 80% 20% 10% （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表
可知，小明是 组学生；（填“甲”或“乙”）
（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组。但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组。请你给出两条支持乙组同学观点的理由。 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22、如图1，在在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB相切于动点P，连接CP。
（1）当⊙O与直角边AC相切时，如图2所示，求此时⊙O的半径r的长。 （2）随着切点P的位置不同，弦CP的长也会发生变化，
A 试求出弦CP的长的取值范围。
（3）当切点P在何处时，⊙O的半径r有最大值？
A 试求出这个最大值。 P P
图1 O
· ·C 3 B O
C
B
图2
23、（1）抛物线m1：y1＝a1x2＋b1x＋c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如下表：
x … －2 －1 1 2 4 5 … y1 … －5 0 4 3 －5 －12 … 设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为 ，点C的坐标为 。
（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2＝a2x2＋b2x＋c2，则当x＝－3时， y2＝ 。
（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3。设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧）。过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K。问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由。 六、（本大题共1小题，共12分）
24、数学复习课上，张老师出示了下框中的问题：
C 已知：在Rt△ACB中，∠C＝90°，点D 是斜边AB上的中点，连接CD。 1求证：CD＝ AB。 2B A
D
C E C C F E B A D B B A A D D F 图1 图2 图3 E
问题思考
（1）经过独立思考，同学们想出了多种正确的证明思想，其中有位同学的思路如下：如图1，过点B作BE∥AC交CD的延长线于点E。请你根据这位同学的思路提示证明上述框中的问题。 方法迁移
（2）如图2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E是线段AC上一动点，连接DE，线段DF始终与DE垂直且交BC于点F。试猜想线段AE，EF，BF之间的数量关系，并加以证明。 拓展延伸
（3）如图3，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E是线段AC延长线上一动点，连接DE，线段DF始终与DE垂直且交CB延长线于点F。试问第（2）小题中线段AE，EF，BF之间的数量关系会发生改变吗？若会，请写出关系式；若不会，请说明理由。
4
2015年数学中考模拟试题答案
一、选择题
1、C 2、B 3、C 4、A 5、D 6、A 二、填空题
3
7、x(y＋1)(y－1)； 8、－2 9、－ 10、36 11、4 12、x＝3
513、18° 14、60°或180°或300°（每填对一个给1分，答错不给分）
三、15、解集为1≤x＜4。……4分 数轴表示 ……6分 16、如图，直线l为所求直线。
画对图1中的对称轴给3分，画对图2中的给3分
l A
D 或
E· B ·F C
A D B C A D B C l l 0 1 2 3 4 5 17、（1）点C坐标为（a，2b），点D坐标为（2a，b）…………3分 （2）必经过点D，理由略。…………6分
18、（1）答案不唯一，叙述合理即可。如顾客在此活动中一定能获得购物券。……2分 （2）树形图或列表略。可能出现的结果共有12种。分别是10元、20元、30元、10元、30元、40元、20元、30元、50元、30元、40元、50元。…………5分 82
（3）P(所获购物券金额不低于30元)＝ ＝ 。…………6分
123
四、19、（1）y＝15×2＋(201－1)b＝30＋200×25＝5030(cm) …………3分
30＋(x－1)×24≥5030
（2）设需要x个这样的圆形图案，则
30＋(x－1)×24＜5030＋30
17
解得：209 ≤x＜210 。所以最多需要210个这样的圆形图案。…………8分
612
（其他解法只要合理同样给分） 20、如图，过F作FT⊥MN于T。 FT42
BF＝ ≈ ≈48.28（cm）
0.87sin60°
∴BC＝BF＋FC≈48.28＋42≈90.3（cm）……3分 过D作DP⊥AB于P，则
M
5
60° 80° C G
D F E
B T P
A N DPDP
AP＝ ，PB＝ ，
tan80°tan60°∴
DPDP
＋ ＝AP＋PB＝43，求得DP≈57.0cm
tan80°tan60°
DP
≈58.2cm。
sin80°
则AD＝
答：钢管AD的长为58.2cm，BC的长为90.3cm。…………8分 21、（1）甲组中位数6 乙组平均数7.1 方差1.69…………6分 （2）甲…………7分
（3）①乙组同学平均分高于甲组；②乙组同学的成绩方差小，比甲组稳定，而且集中在中上游。…………8分。
五、22、（1）如图1，连接OP，易证△ACB∽△OPB，
4－rOPOBr3
＝ ，进而可得： ＝ ，可得：r＝ ……3分 ACAB352
A （2）如图2，过点C作CE⊥AB于E C P(E)
11
由S△ACB＝ AC·BC＝ AB·CE
22
O 12B 可求得CE＝ C 5图2 ∴
P ·O 图1
A
B
12
所以当点P运动到与点E重合时，根据垂线段最短，可知此时CP最小，等于 ……4分
5
又当点P运动至与点B重合时，此时CP最大，等于4。……5分 A ∴弦CP的长的取值范围是
12
≤CP≤4…………6分 5
C D O 图3
B(P)
（3）如图3，当点P运动至与点B重合时，⊙O的半径最大。 过点O作OD⊥CB于点D。可得△ACB∽△BDO ∴
OPDBOP210 ＝ ，进而可得： ＝ ，∴OP＝ 。 ABAC533
C
E A 图1
10
此时r最大为 。………………9分
323、（1）（1，4）；（0，3）…………4分 （2）12……………………6分
（3）存在，K（10 ，3）或（－10 ，3）…………9分
F D G B 六、24、（1）提示：证△ACD≌△BED和△ACB≌△EBC得证；…………3分。 （2）线段AE，EF，BF之间的数量关系是：AE2＋BF2＝EF2。……4分 如图1，过B作BG∥AC交ED的延长线于点G，连接FG。
通过证△ADE≌△BDG，和在Rt△BFG中，得到AE2＋BF2＝EF2。……8分 （3）线段AE，EF，BF之间的数量关系不会发生改变，仍有 AE2＋BF2＝EF2。…………9分。理由如下：
6
E G A C D B F 如图2，过A作AG∥BC交FD的延长线于点G，连接EG。 类似（2）问，通过证△ADG≌△BDF，将AE，BF，EF移至 Rt△AEG中，可得AE2＋BF2＝EF2。…………12分。
图2
7
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