2021年四川省雅安市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的）

1.-2021的绝对值等于（A.2021）B.-2021C.12021D.

12021）．2.我国在2020年10月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国2020年总人口达到14.1亿（A.14.1107B.14.1108

C.1.41109

）D.(1,3)D.1.411010

3.在平面直角坐标系中，点A(3,1)关于y轴的对称点的坐标是（A.(3,1)

4.下列运算正确的是（A.B.(3,1)）B.3x22xxD.x6x2x3

）C.C.(3,1)x2x6333

C.(2x)6x

5.若A.-1|x|1

的值为零，则x的值为（x1B.1D.06.如图，在RtABC中，ABC90，点F为AC中点，DE是ABC的中位线，若DE6，则BF=（）A.6B.4C.3D.57.甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数（）A.甲和乙左视图相同，主视图相同C.甲和乙左视图相同，主视图不相同8.下列说法正确的是（）B.甲和乙左视图不相同，主视图不相同D.甲和乙左视图不相同，主视图相同A.一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为2

3B.一个抽奖活动的中奖概率为1

，则抽奖2次就必有1次中奖22

2

C.统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：x甲=x乙，S甲S乙，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定D.要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式9.若直角三角形的两边长分别是方程x27x120的两根，则该直角三角形的面积是（A.6B.12C.12或）372D.6或372S△ADG16．将ABC沿BC边向右平移得到DEF，若BC:EC3:1．则10.如图，DE交AC于点G．S△CEG的值为（）A2.

B.4C.6D.8）．11.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，A为（A.45°12.定义：mina,bA.0B.60°C.72°D.36°）a(ab)

x22x3，则该函数的最大值为（，若函数yminx1，

b(ab)

B.2C.3D.4二、填空题（本大题共5个小题，将答案直接填写在答题卡相应的横线上）

13.从-1，1

，2中任取两个不同的数作积，则所得积的中位数是______．214.已知一元二次方程x2x20210的两根分别为m，n，则11

的值为______．mn

15.如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC=______．16.若关于x的分式方程2

1k1

的解是正数，则k的取值范围是______．x22x17.如图，在矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点B作BFAC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有下列结论：①四边形NEMF为平行四边形，②DN2MCNC；③△DNF为等边三角形；④当AOAD时，四边形DEBF是菱形．正确结论的序号______．三、解答题（本大题共7个小题，解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）

1

18.（1）计算：(3.14)03124sin60

2

（2）先化简，再求值：

2

1x2

x12，其中x2．x1x119.为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计．组别ABCD成绩范围60～7070～8080～9090～100频数2m9n（1）分别求m，n的值；（2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如60～70的中间值为65）估计全校学生的平均成绩；（3）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．20.某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10x21，且x为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．21.如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OBOD，其对角线AC，BD交于点E．（1）求证：△OAF≌△DAB；（2）求DF

的值．AF22.已知反比例函数y

m

的图象经过点A(2,3)．x（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数y交直线CH于点D．①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；②若AC2OA，求证：AOD2DOH．在⊙O中，AB是直径，ABCD，垂足为P，过点D的O的切线与AB的延长线交于点E,23.如图，连接CE．m

的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AGx（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为3，CE4，求sinDEC．2

24.已知二次函数yx2bx3b．1,0)时，求该二次函数的表达式；（1）当该二次函数的图象经过点A(（2）在(1)的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;（3）若对满足x1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．2021年四川省雅安市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的）

1.-2021的绝对值等于（）A.2021B.-2021C.1

2021D.

12021【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的意义，负数的绝对值是它的相反数即可求出答案．【详解】解：﹣2021的绝对值即为：|﹣2021|＝2021．故选：A．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，熟记绝对值的意义是解题的关键．2.我国在2020年10月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国2020年总人口达到14.1亿（A.14.1107B.14.1108

C.1.41109

D.1.411010

【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得14.1亿=1.41109故选：C．【点睛】本题考查了科学记数法的知识；解题的关键是熟练掌握科学记数法的性质，从而完成求解．3.在平面直角坐标系中，点A(3,1)关于y轴的对称点的坐标是（）A.(3,1)B.(3,1)

C.(3,1)D.(1,3)

【答案】C【解析】【分析】关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据此特征即可求得结果．【详解】点A(3,1)关于y轴的对称点的坐标是(3,1)故选：C．【点睛】本题考查了关于y轴对称的两个点的坐标的特征，掌握这一特征是本题的关键．4.下列运算正确的是（）．）A.x23x6B.3x22xxD.x6x2x3

C.(2x)36x3【答案】A【解析】【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘法运算法则，同底数幂的除法法则逐一判断即可．【详解】解：A、x2x6正确，该选项符合题意；B、3x2与2x不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；C、(2x)338x3原计算错误，该选项不符合题意；D、x6x2x4原计算错误，该选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算及合并同类项，熟练掌握幂的运算及合并同类项是解题的关键．5.若A.-1【答案】A【解析】【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．【详解】根据题意知，

|x|1

的值为零，则x的值为（x1B.1）C.

D.0x10x10

，x1解得：，x1

所以x1，故选：A．【点睛】本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．6.如图，在RtABC中，ABC90，点F为AC中点，DE是ABC的中位线，若DE6，则BF=（）A.6【答案】A【解析】B.4C.3D.5【分析】由DE是ABC的中位线，可得AC=12，在RtABC中，点F为AC中点，可得BF=6即可．【详解】解：∵DE是ABC的中位线，∴AC=2DE=2×6=12，∵在RtABC中，ABC90，点F为AC中点，∴BF=11

AC126，22故选择A．【点睛】本题考查三角形中位线与三角形中线性质，掌握三角形中位线与三角形中线性质是解题关键．7.甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数（）A.甲和乙左视图相同，主视图相同C.甲和乙左视图相同，主视图不相同【答案】D【解析】B.甲和乙左视图不相同，主视图不相同D.甲和乙左视图不相同，主视图相同【分析】根据俯视图，即可判断左视图和主视图的形状．【详解】由甲俯视图知，其左视图为，由乙俯视图知，其左视图为，故它们的左视图不相同，但它们两个的主视图相同，都是故选：D．．【点睛】本题考查了三视图的知识，关键是根据俯视图及题意确定几何体的形状，从而可确定其左视图和主视图．8.下列说法正确的是（）A.一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为2

3B.一个抽奖活动的中奖概率为1

，则抽奖2次就必有1次中奖22

2

C.统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：x甲=x乙，S甲S乙，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定D.要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式【答案】D【解析】【分析】根据简单事件的概率计算即可对A作出判断；根据概率的含义即可对B作出判断；根据方差反映了数据的波动程度这一特征即可对C作出判断；根据普查的适用范围即可对D作出判断．【详解】A、由题意知，从中任意摸出一个球共有5种可能的结果数，摸出的一个球是红球有2种可能的结果数，所以从中任意摸出一个球是红球的概率为B、一个抽奖活动的中奖概率为故B选项错误；C、方差的大小反映了一组数据的波动程度，方差越小，数据的波动程度越小，由于x甲=x乙且S甲S乙，所以乙的波动程度更小，说明乙的成绩更稳定，故C选项错误；D、由于一个班的学生人数不多，可以用普查的方法来调查，故D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了统计与概率部分中的有关知识，包括概率的含义及计算，数据收集中的普查，反映一组数据特征的方差，熟悉这些知识是解决本题的关键．9.若直角三角形的两边长分别是方程x27x120的两根，则该直角三角形的面积是（）2

2

1

，只能说抽奖2次，可能有一次中奖，也可能一次不中甚至2次都中，22

，故A选项错误；5A.6B.12C.12或372D.6或372【答案】D【解析】【分析】根据题意，先将方程x27x120的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．【详解】解方程x27x120得x13，x24当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为1

34=6；2当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为42327，面积为137；73=

22则该直角三角形的面积是6或故选：D．37，2【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．S△ADG16．将ABC沿BC边向右平移得到DEF，若BC:EC3:1．则10.如图，DE交AC于点G．S△CEG的值为（）A2.

B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】根据平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，故可得△CEG∽△ADG，由相似三角形的性质及已知条件即可求得△CEG的面积．【详解】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE∴△CEG∽△ADGSCE∴CEGSADGAD

即SCEG

2

CESADGAD

2

∵BC:EC3:1∴BE:EC2:1∴AD:EC2:1∵S△ADG16∴SCEG

1

1642

2

故选：B．【点睛】本题考查了平移的性质及相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质是本题的关键．11.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，A为（）．A.45°【答案】B【解析】B.60°C.72°D.36°【分析】根据菱形性质，得OBODBCCD；连接OC，根据圆的对称性，得OBOCOD；根据等边三角形的性质，得BOD，再根据圆周角和圆心角的性质计算，即可得到答案．【详解】∵四边形OBCD为菱形∴OBODBCCD连接OC

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形∴OBOCOD

∴OBC，OCD为等边三角形∴BOCCOD60

∴BODBOCCOD120∴A1BOD602故选：B．【点睛】本题考查了圆内接多边形、等边三角形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、等边三角形、菱形、圆周角、圆心角的知识；从而完成求解．12.定义：mina,bA.0【答案】C【解析】【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．【详解】令ymina,b,当x1x22x3时，即x2x20时，yx1，令wx2x2，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当w0时，1x2，∴yx1（1x2），∵y随x的增大而增大，∴当x=2时，y最大3；a(ab)

x22x3，则该函数的最大值为（，若函数yminx1，

b(ab)

B.2C.3D.4）当x1x22x3时，即x2x20时，yx22x3，令wx2x2，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当w0时，x2或x1，∴yx22x3（x2或x1），∵yx22x3的对称轴为x=1，∴当x2时，y随x的增大而减小，∵当x=2时，yx22x3=3，∴当x2时，y<3；当x1，y随x的增大而增大，∴当x=-1时，yx22x3=0；∴当x1时，y<0；x2x3的最大值为3．综上，yminx1，

故选C．【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．2

二、填空题（本大题共5个小题，将答案直接填写在答题卡相应的横线上）

13.从-1，【答案】【解析】【分析】三个数中任取两个不同的数作积，共有三个积，把这三个积按从小到大排列，则中间的数便是中位数．【详解】从-1，把

1

，2中任取两个不同的数作积，则所得积的中位数是______．212111，-2，1这三个数按大小排列，则中间的数为，则中位数为．2221

故答案为：．21111

，2三个数中任取两个不同的数作积，分别是1，122，21，2222【点睛】本题考查了反映一组数据集中趋势的统计量：中位数，掌握中位数的概念是本题的关键．14.已知一元二次方程x2x20210的两根分别为m，n，则【答案】1202111

的值为______．mn【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案．【详解】∵一元二次方程x2x20210的两根分别为m，n∴mn1，mn2021

11mn11mnmn202120211

故答案为：．2021∴【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的性质，从而完成求解．15.如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC=______．【答案】30【解析】【分析】分别计算正六边形和正方形的每个内角的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出答案．【详解】解：∵ABDEF是正六边形，∴ABC

62180

6120．

∵ABGH是正方形，∴ABG90．

∵GBCABCABG360，

∴GBC360ABCABG36012090150．∵BCGBGCGBC180，

∴BCGBGC180GBC18015030．

故答案为：30

【点睛】本题考查了多边形的内角和与正多边形每个内角的计算等知识点，熟知多边形的内角和的计算公式是解题的关键．16.若关于x的分式方程2【答案】k4且k0【解析】【分析】根据题意，将分式方程的解x用含k的表达式进行表示，进而令x0，再因分式方程要有意义则1k1

的解是正数，则k的取值范围是______．x22xx2，进而计算出k的取值范围即可．【详解】解：2(2x)1k1

42xk0x

4k2根据题意x0且x2

4k

02∴

4k22k4∴

k0

∴k的取值范围是k4且k0．【点睛】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．17.如图，在矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点B作BFAC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有下列结论：①四边形NEMF为平行四边形，②DN2MCNC；③△DNF为等边三角形；④当AOAD时，四边形DEBF是菱形．正确结论的序号______．【答案】①②④．【解析】【分析】通过全等三角形的判定和性质，证明EN=FM，EN∥FM，判断结论①；通过证明△AMB∽△BMC，然后利用全等三角形和相似三角形的性质判断结论②；假设结论成立，找出与题意的矛盾之处，判断结论③，结合等腰三角形的判定和性质求得DE=BE，可得结论④【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，CD∥AB∴∠DAN=∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA=∠BMC=90°，DNABMC在△ADN和△CBM中，DANBCMADBC∴△ADN≌△CBM，∴DN=BM，又∵DF∥BE，DE∥BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∴DE=BF，∴DE-DN=BF-BM，即EN=FM，∵NE∥FM，∴四边形NEMF是平行四边形，故①正确，∵△ADN≌△CBM，∴AN=CM，∴CN=AM，∵∠AMB=∠BMC=∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBM=90°，∠CBM+∠BCM=90°，∴∠ABM=∠BCM，∴△AMB∽△BMC，∴ABBM

，BMCM∵DN=BM，AM=CN，∴DN2=CM•CN，故②正确，若△DNF是等边三角形，则∠CDN=60°，即∠ACD=30°，不符合题意，故③错误，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∵AO=AD，∴AO=AD=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO=∠DAN=60°，∴∠ABD=90°-∠ADO=30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN=ODN=30°，∴∠ODN=∠ABD，∴DE=BE，∵四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形；故④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）

1

18.（1）计算：(3.14)03124sin60

2

（2）先化简，再求值：

2

1x2

x12，其中x2．x1x1

【答案】（1）2；（2）x2x；-2-2【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂、0指数幂、实数的绝对值和特殊角的三角函数值进行计算即可得解；（2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再将x2代入计算即可求得原式的值．【详解】（1）解：原式=412334

32=4123323=2；1(x1)2x2

（2）解：原式=2x1x1x1x22xx2

=2x1x1

x(x2)(x1)(x1)

x1x2x2x

将x2代入，原式(2)2222．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及实数的计算，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．19.为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计．组别ABCD成绩范围60～7070～8080～9090～100频数2m9n（1）分别求m，n的值；（2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如60～70的中间值为65）估计全校学生的平均成绩；（3）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．【答案】（1）5,4；（2）82.5分；（3）【解析】2

5【分析】（1）根据扇形统计图、频数的性质计算，即可得到答案；（2）结合题意，根据加权平均值、用样本估计总体的性质计算，即可得到答案；（3）根据题意画出树状图，即可完成求解．【详解】（1）根据题意，得n2020％4∴m202945；（2）根据题意，得从A组和D组的中间值分别为：65，75，85，95∴全校学生的平均成绩为65275585995482.5分20（3）根据题意，树状图如下总共有：30种情况，其中2名学生都在D组的情况有12种∴2名学生都在D组的概率为：122．305【点睛】本题考查了抽样调查和概率的知识；解题的关键是熟练掌握扇形统计图、频数、加权平均数、用样本估计总体、树状图法求概率的性质，从而完成求解．20.某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10x21，且x为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．【答案】（1）y5x150；（2）当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式ykxb，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；（2）根据题意得出每天的销售利润w元与每瓶售价x（元）之间的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）设y与x之间的函数关系式ykxb，由题意可得，9012kb

，

7515kb

k5解得，，b150

∴y与x之间的函数关系式y5x150；（2）由题意可得，w=（x-10）（-5x+150）=5x2200x1500（10x21，且x为整数），当x

b20020时，y最大500，2a2(5)∴当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确求得每天的销售利润w元与每瓶售价x（元）之间的二次函数解析式是解决问题的关键．21.如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OBOD，其对角线AC，BD交于点E．（1）求证：△OAF≌△DAB；（2）求DF

的值．AF【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）通过△OAD是等腰直角三角形可知AOAD，再由OAFDAB，AFOABD即可证明△OAF≌△DAB(AAS)；（2）设AOADx，则ODOB

2x，AB2xx，再根据DEF∽DAB即可得到用含x的表达式表示的DF，进而即可求得DF

的值．AF【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴E为BD中点∵OBOD∴OEBD

∴FDEDFE90又∵△OAD为等腰直角三角形∴OAFDAB90，AOAD∴FDEDBA90∴DFEDAB∵DFEOFA∴OFA=DBA在△OAF与DAB中OFADBA

OAFDABAOAD

∴△OAF≌△DAB(AAS)；（2）解：设AOADx∵△OAD为等腰直角三角形∴ODOB∵OEBD∴DEF90∴DEFDAB又∵EDFADB∴DEF∽DAB∴2x，AB2xx，OAFDAB90

DEDF

DADB∵AB∴DB2xx，ADx

(2xx)2x2(422)x2∵E是DB中点211(422)x2∴DEDB(422)x224(422)x2DF∴4

x(422)x2∴DF(22)x

∴DF(22)x22=2．AFx(22)x21【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，三角形相似的性质与判定，还涉及了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，矩形的性质等相关内容，熟练掌握相关几何证明方法是解决本题的关键．22.已知反比例函数y

m

的图象经过点A(2,3)．x（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数y交直线CH于点D．①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；②若AC2OA，求证：AOD2DOH．【答案】（1）反比例函数的表达式为y【解析】m

的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AGx6；（2）①证明见详解；②证明见详解．xm

的图象经过点A(2,3)，可得m=xy=6即可；x33

（2）①利用锐角三角函数值tan∠EBO=，tan∠DBC=相等，可证∠EBO=∠DBC，利用平角定义aa【分析】（1）根据反比例函数y∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°即可；②设AC与OD交于K，先证四边形ABCD为矩形，可得∠KAD=∠KDA，KA=KC=1

AC，由AC2OA，2可得AO=AK，由∠AKO为△AKD的外角，可得∠AKO=2∠ADK，由AD∥OH性质，可得∠DOH=∠ADK即可．【详解】解：（1）∵反比例函数y∴m=xy23=6，∴该反比例函数的表达式为y（2）①设点C（a,m

的图象经过点A(2,3)，x6；x

66），则B（2，），D（a,3），aa6a，BC=a2，∴OE=6a，BE=2，CD=3-663a6

3

3，tan∠DBC=CD∴tan∠EBO=OEaa3，a

EB2aBCa2a2a∴∠EBO=∠DBC，∵∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°，∴点O，点B，点D三点共线；②设AC与OD交于K，∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，∴AD∥BC∥x轴，∵AF⊥x轴，DH⊥x轴，∴AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AF⊥x轴，AD∥x轴，∴AF⊥AD，∴∠BAD=90°，∴四边形ABCD为矩形，∴∠KAD=∠KDA，KA=KC=∵AC2OA，∴AO=AK，∴∠AOD=∠AKO，又∵∠AKO为△AKD的外角，1

AC，2∴∠AKO=∠KAD+∠KDA=2∠ADK，∵AD∥OH，∴∠DOH=∠ADK，∴∠AOD=2∠DOH．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质是解题关键．在⊙O中，AB是直径，ABCD，垂足为P，过点D的O的切线与AB的延长线交于点E,23.如图，连接CE．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为3，CE4，求sinDEC．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC、OD，由题意可以得到△PCE≌△PDE，再利用△OCE≌△ODE，即可得出24

25OCEODE90即可；（2）过点D作DFCE于点F，在Rt△DEF中，sinDEC

DF

，由（1）得DECE4，在DERt△DEF和Rt△DEF中，设EFx，根据勾股定理建立方程求出EF，再求出DF即可．【详解】解：（1）证：连接OC、OD

∵DE为O的切线∴ODE90∵AB是直径，ABCD

∴CPDP，CPEDPE90又∵PEPE

∴△PCE≌△PDE(SAS)∴CEPDEP，CEDE又∵OEOE

∴△OCE≌△ODE(SAS)∴OCEODE90∴CE为⊙O的切线；（2）过点D作DFCE于点F，如下图：由（1）得DE=CE4

在RtOCE中，OC3，CE4，∴OEOC2CE25

OCCE12

（等面积法）OE524

∴CD2CP

5∴CP

设EFx，则CF4x在RtDCF和Rt△DEF中，DF2CD2CF2(

∴(

242

)(4x)242x2528

解得x

2596

DF42x2=25DF24

∴sinDEC

DE25242

)(4x)2，DF2DE2EF242x25【点睛】此题考查了圆的切线证明、勾股定理的应用、三角函数的概念，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、勾股定理的应用和三角函数的有关概念．2

24.已知二次函数yx2bx3b．1,0)时，求该二次函数的表达式；（1）当该二次函数的图象经过点A(（2）在(1)的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;（3）若对满足x1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）yx22x3；（2）【解析】2；（3）-3≤b≤1．2【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，可得MQ=2t，从而得到△BPQ的面积的表达式，进而即可求解；22

b1

（3）设yf(x)x2bx3b，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况：或f10b1

，进而即可求解．

fb0

1,0)代入yx22bx3b，【详解】解：（1）把A(得：0122b3b，解得：b=1，∴该二次函数的表达式为：yx22x3；（2）令y=0代入yx22x3，得：0x22x3，解得：x11或x23，令x=0代入yx22x3得：y=-3，∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，∴BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，∵OB=OC=3，∴∠OBC=45°，∴BMQ是等腰直角三角形，∴MQ=22BQ=t，22∴△BPQ的面积=112222

，BPMQ42tt=t1222222；2∴当t=1时，△BPQ面积的最大值=（3）抛物线yx22bx3b的对称轴为：直线x=-b，开口向上，设yf(x)x22bx3b，∵对x1的任意实数x，都使得y≥0成立，b1b1∴或，f10fb0

∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，∴-3≤b≤1．【点睛】本题主要考查二次函数综合，掌握待定系数法，二次函数的性质以及根据图像对称轴位置，列出不等式组，是解题的关键．