（2019年中考）
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE、EM⊥AE，垂足为E点，角CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，交AF于点N，点P是AD上的一点，连接CP。 （1）若DP=2AP=4,CP=17,CD=5,求△ACD的面积； （2）若AE=BN,AN=CE，求证：AD=2CMCE.
（2018年中考）
（2017年中考）
24．在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC． （1）如图1，若AB=32，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．
【答案】(1)13；（2）证明见解析. 【解析】
（2）延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG．
由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM， ∴△BMD≌△AMC（SAS）， ∴AC=BD， 又CE=AC，
考点:1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.
（2016年中考）
25．在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF． （1）若AB=2
，求BC的长；
的值．
（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG； （3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出
【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H，分别在RT△ABH，RT△AHC中求出BH、HC即可．
（2）如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，由△ABD≌△APG推出BD=PG，再利用30度角性质即可解决问题．
（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK=
a，AD=2a，只要证明∠BAD=30°即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H． ∴∠AHB=∠AHC=90°， 在RT△AHB中，∵AB=2∴BH=ABcosB=2AH=ABsinB=2，
×
，∠B=45°，
，
=2，
在RT△AHC中，∵∠C=30°， ∴AC=2AH=4，CH=ACcosC=2∴BC=BH+CH=2+2
．
（2）证明：如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG， ∵AG⊥AD，∴∠DAF=∠EAC=90°， 在△DAF和△GAE中，
，
∴△DAF≌△GAE， ∴AD=AG，
∴∠BAP=90°=∠DAG， ∴∠BAD=∠PAG，
∵∠B=∠APB=45°， ∴AB=AP，
在△ABD和△APG中，
，
∴△ABD≌△APG， ∴BD=PG，∠B=∠APG=45°， ∴∠GPB=∠GPC=90°，
∵∠C=30°， ∴PG=GC， ∴BD=CG．
（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，
a，AD=2a，
在RT△AHC中，∵∠ACH=30°， ∴AC=2AH， ∴AH=AP，
在RT△AHD和RT△APG中，
，
∴△AHD≌△APG， ∴∠DAH=∠GAP，
∵GM⊥AC，PA=PC， ∴MA=MC，
∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°， ∴∠DAM=∠GAM=45°， ∴∠DAH=∠GAP=15°，
∴∠BAD=∠BAH﹣∠DAH=30°， 作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK=∴
=
=
，
∵AG=CG=AD， ∴
=
．
【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、线段垂直平分线性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数解决问题，属于中考压轴题．
（2016年中考）
25．在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF． （1）若AB=2
，求BC的长；
的值．
（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG； （3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出
【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H，分别在RT△ABH，RT△AHC中求出BH、HC即可．
（2）如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，由△ABD≌△APG推出BD=PG，再利用30度角性质即可解决问题．
（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK=
a，AD=2a，只要证明∠BAD=30°即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H． ∴∠AHB=∠AHC=90°， 在RT△AHB中，∵AB=2∴BH=ABcosB=2AH=ABsinB=2，
×
，∠B=45°，
，
=2，
在RT△AHC中，∵∠C=30°， ∴AC=2AH=4，CH=ACcosC=2∴BC=BH+CH=2+2
．
（2）证明：如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG， ∵AG⊥AD，∴∠DAF=∠EAC=90°，
在△DAF和△GAE中，
，
∴△DAF≌△GAE， ∴AD=AG，
∴∠BAP=90°=∠DAG， ∴∠BAD=∠PAG，
∵∠B=∠APB=45°， ∴AB=AP，
在△ABD和△APG中，
，
∴△ABD≌△APG， ∴BD=PG，∠B=∠APG=45°， ∴∠GPB=∠GPC=90°， ∵∠C=30°， ∴PG=GC， ∴BD=CG．
（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，
在RT△AHC中，∵∠ACH=30°， ∴AC=2AH， ∴AH=AP，
在RT△AHD和RT△APG中，
，
∴△AHD≌△APG， ∴∠DAH=∠GAP，
∵GM⊥AC，PA=PC， ∴MA=MC，
∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°，
∴∠DAM=∠GAM=45°， ∴∠DAH=∠GAP=15°，
∴∠BAD=∠BAH﹣∠DAH=30°， 作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK=∴
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，
a，AD=2a，
∵AG=CG=AD， ∴
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．
【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、线段垂直平分线性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数解决问题，属于中考压轴题．
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