吉林省白城市第一中学2018-2019学年高二上学期第一次
月考理科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若𝑝∧𝑞是假命题，则( )
A. p是真命题，q是假命题 C. p、q至少有一个是假命题
【答案】C
B. p、q均为假命题
D. p、q至少有一个是真命题
【解析】解：根据复合命题与简单命题真假之间的关系可知， 若𝑝∧𝑞是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题． 故选：C．
根据𝑝∧𝑞是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题，即可判断． 本题只有考查复合命题与简单命题之间的真假关系的判断，比较基础．
2. 命题“若𝑎>𝑏，则𝑎𝑐2>𝑏𝑐2(𝑎、𝑏∈𝑅)”与它的逆命题、否命题，逆否命题中，
真命题的个数为( )
A. 3
【答案】B
B. 2 C. 1 D. 0
【解析】解：∵𝑐2=0时，结论不成立，∴命题是假命题； 其逆命题是：若𝑎𝑐2>𝑏𝑐2，则𝑎>𝑏，是真命题；
根据逆命题与否命题是互为逆否命题，命题与其逆否命题同真同假， 否命题为真，逆否命题为假． 故选：B．
判断命题的真假，写出其逆命题，判断真假，再根据逆命题与否命题是互为逆否命题，命题与其逆否命题同真同假，可得答案． 本题考查了四种命题及四种命题的真假关系．
3. 设函数𝑓(𝑥)=log2𝑥，则“𝑎>𝑏”是“𝑓(𝑎)>𝑓(𝑏)”的( )
A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
【答案】B
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】解：∵函数𝑓(𝑥)=log2𝑥在𝑥>0上单调递增，𝑓(𝑎)>𝑓(𝑏)， ∴𝑎>𝑏，
反之不成立，例如0>𝑎>𝑏，但是𝑓(𝑎)，𝑓(𝑏)无意义． ∴则“𝑎>𝑏”是“𝑓(𝑎)>𝑓(𝑏)”的必要不充分条件． 故选：B．
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函数𝑓(𝑥)=log2𝑥在𝑥>0上单调递增，𝑓(𝑎)>𝑓(𝑏)，可得𝑎>𝑏，反之不成立，例如0>𝑎>𝑏，但是𝑓(𝑎)，𝑓(𝑏)无意义.即可判断出．
本题考查了对数函数的单调性、充分必要条件的判定，属于基础题．
4. 命题p：若𝑎<𝑏，则∀𝑐∈𝑅，𝑎𝑐2<𝑏𝑐2；命题q：∃𝑥0>0，使得ln𝑥0=1−𝑥0，
则下列命题中为真命题的是( )
A. 𝑝∧𝑞
【答案】C
B. 𝑝∨(¬𝑞) C. (¬𝑝)∧𝑞 D. (¬𝑝)∧(¬𝑞)
【解析】解：当𝑐=0时，𝑎𝑐2<𝑏𝑐2不成立，则命题p为假命题， 当𝑥=1时，ln1=1−1=0，则命题q为真命题， 则(¬𝑝)∧𝑞为真命题，其余为假命题， 故选：C．
根据条件判断命题p，q命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．
5. 若双曲线
𝑥2
−𝑏2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为( ) 𝑎2𝑦2
A. 𝑦=±2𝑥
【答案】B
B. 𝑦=±√2𝑥
C. 𝑦=±2𝑥
1
2D. 𝑦=±√𝑥
2
【解析】解：由双曲线的离心率√3，可知𝑐=√3𝑎， 又𝑎2+𝑏2=𝑐2，所以𝑏=√2𝑎，
所以双曲线的渐近线方程为：𝑦=±𝑎𝑥=±√2𝑥. 故选：B．
通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程． 本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．
6. 已知双曲线
𝑥2𝑎
2−
𝑏
𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△
𝑂𝐴𝐹是边长为2的等边三角形(𝑂为原点)，则双曲线的方程为( )
A.
𝑥24
−
𝑦212
=1
B. 12−
𝑥2𝑦24
=1
C.
𝑥23
−𝑦=1
2
D. 𝑥−
2
𝑦23
=1
【答案】D 【解析】解：双曲线
𝑥2𝑎2
点A在双曲线的渐近线上，−𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点为F，
𝑦2
△𝑂𝐴𝐹是边长为2的等边三角形(𝑂为原点)， 可得𝑐=2，𝑎=√3，即𝑏
𝑏2𝑎2=3，
𝑐2−𝑎2𝑎2=3，
𝑦23
解得𝑎=1，𝑏=√3，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：𝑥2−
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=1．
故选：D．
利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过𝑐=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
7. 点𝑃(𝑥,𝑦)是椭圆
+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)上的任意一点，𝐹1，𝐹2是椭圆的两个焦点，𝑎2
𝑥2
𝑦2
且∠𝐹1𝑃𝐹2≤90∘，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
2 A. 0<𝑒≤√2
2B. √≤𝑒<1 2
C. 0<𝑒<1
2
D. 𝑒=√2
【答案】A
【解析】解：由题意可知，当点P位于(0,𝑏)或(0,−𝑏)处时，∠𝐹1𝑃𝐹2最大， 此时cos<𝐹1𝑃𝐹2=∴𝑒=
𝑐𝑎
𝑎2+𝑎2−4𝑐2
2𝑎2
=
𝑎2−2𝑐2𝑎2
≥0，∴𝑎≥√2𝑐，
2
≤
√2
，又∵22
0<𝑒<1，∴0<𝑒≤√．
2
答案：(0,√]．
2故选：A．
由题设条件可知，当点P位于(0,𝑏)或(0,−𝑏)处时，∠𝐹1𝑃𝐹2最大，此时cos<𝐹1𝑃𝐹2=
𝑎2+𝑎2−4𝑐2
2𝑎2
=
𝑎2−2𝑐2𝑎2
≥0，∴𝑎≥√2𝑐，由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围．
本题考查椭圆的性质及其应用，难度不大，正确解题的关键是知道当点P位于(0,𝑏)或(0,−𝑏)处时，∠𝐹1𝑃𝐹2最大.同时要注意椭圆离心率的取值范围是(0,1)．
8. 如图𝐹1、𝐹2是椭圆𝐶1：+𝑦2=1与双曲线𝐶2的公共焦点，A、B分别是𝐶1、𝐶2在第
4
𝑥2
二、四象限的公共点，若四边形𝐴𝐹1𝐵𝐹2为矩形，则𝐶2的离心率是( )
A. √2
【答案】D
B. √3
C. 2
𝑥24
3
6 D. √2
【解析】解：设|𝐴𝐹1|=𝑥，|𝐴𝐹2|=𝑦，∵点A为椭圆𝐶1：∴2𝑎=4，𝑏=1，𝑐=√3；
∴|𝐴𝐹1|+|𝐴𝐹2|=2𝑎=4，即𝑥+𝑦=4；① 又四边形𝐴𝐹1𝐵𝐹2为矩形，
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+𝑦2=1上的点，
∴|𝐴𝐹1|2+|𝐴𝐹2|2=|𝐹1𝐹2|2，即𝑥2+𝑦2=(2𝑐)2=(2√3)2=12，②
{𝑥2+𝑦2=12，由①②得：解得𝑥=2−√2，设双曲线𝐶2的实轴长为2m，𝑦=2+√2，焦距为2n，
则2𝑚=|𝐴𝐹2|−|𝐴𝐹1|=𝑦−𝑥=2√2，2𝑛=2𝑐=2√3， ∴双曲线𝐶2的离心率𝑒=故选：D．
不妨设|𝐴𝐹1|=𝑥，|𝐴𝐹2|=𝑦，依题意{𝑥2+𝑦2=12，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得𝐶2的离心率．
本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|𝐴𝐹1|与|𝐴𝐹2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
9. 已知椭圆E：
𝑥2𝑎2
𝑥+𝑦=4
𝑛𝑚
𝑥+𝑦=4
=
√3√2=
√6． 2
+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的右焦点为𝐹(3,0)，过点F的直线交椭圆E于
𝑦2
A、B两点.若AB的中点坐标为(1,−1)，则E的方程为( )
𝑦
A. 𝑥+=1
4536
2
2
𝑦
B. 𝑥+=1 3627
22
𝑦
C. 𝑥+=1
2718
22
𝑦
D. 𝑥+=1
189
22
【答案】D
【解析】解：设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，
1
+=12𝑎𝑏2
代入椭圆方程得{𝑥2𝑦2，
22
+𝑏2=1𝑎2
2𝑥1
𝑦2
相减得∴
𝑥1+𝑥2𝑎22−𝑥2𝑥12
𝑎2+
2−𝑦2𝑦12
𝑏2=0， =0．
𝑦−𝑦
1
+
𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2
⋅
𝑦1+𝑦2𝑏212
∵𝑥1+𝑥2=2，𝑦1+𝑦2=−2，𝑘𝐴𝐵=𝑥−𝑥=
2
−1−01−3
=2．
1
∴
2𝑎
2+×
12
−2𝑏2=0，
化为𝑎2=2𝑏2，又𝑐=3=√𝑎2−𝑏2，解得𝑎2=18，𝑏2=9． ∴椭圆E的方程为故选：D．
2𝑥1
𝑥2
+18
𝑦29
=1．
𝐵(𝑥2,𝑦2)，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，代入椭圆方程得{𝑎𝑥2
𝑦1+𝑦2𝑏2
2
+𝑏2=1+
2𝑦2𝑏22𝑦1
2
𝑎2=1
，利用“点差法”可得
𝑥1+𝑥2𝑎2+𝑥1−𝑥2⋅
1
2
𝑦−𝑦
=0.利用中点坐标公式可得𝑥1+𝑥2=2，𝑦1+𝑦2=−2，利用斜率计算公式可得
𝑦−𝑦
1
𝑘𝐴𝐵=𝑥1−𝑥2=
2
−1−01−3
=2.于是得到
1
22+×=0，化为𝑎=2𝑏，再利用𝑐=3=22𝑎2𝑏
21−2
√𝑎2−𝑏2，即可解得𝑎2，𝑏2.进而得到椭圆的方程．
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熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．
10. 方程𝑥𝑦2−𝑥2𝑦=−2所表示的曲线的对称性是( )
A. 关于x轴对称 C. 关于直线𝑦=−𝑥对称
【答案】C
B. 关于y轴对称 D. 关于原点对称
【解析】解：将方程中的x换为−𝑥方程变为−𝑥𝑦2−𝑥2𝑦=−2与原方程不同，故不关于y轴对称
将方程中的y换为−𝑦，方程变为𝑥𝑦2+𝑥2𝑦=−2与原方程不同，故不关于x轴对称 将方程中的x换为−𝑦，y换为−𝑥方程变为−𝑦𝑥2+𝑦2𝑥=−2与原方程相同，故曲线关于直线𝑦=−𝑥对称
将方程中的x换为−𝑥，y换为−𝑦方程变为−𝑥𝑦2+𝑥2𝑦=−2与原方程不同，故曲线不关于原点对称 故选：C．
根据对称的性质，依次将方程中的x用−𝑥代替；将y用−𝑦代替；将x用−𝑦同时将y用−𝑥代替；将x用−𝑥，同时y用−𝑦代替看方程是否与原方程相同．
本题考查点(𝑥,𝑦)关于x轴的对称点为(𝑥,−𝑦)；关于y轴的对称点为(−𝑥,𝑦)；关于原点的对称点为(−𝑥,−𝑦)；
关于𝑦=−𝑥的对称点为(−𝑦,−𝑥)．
11. 椭圆C：
𝑥24
+
𝑦23
=1的左、右顶点分别为𝐴1、𝐴2，点P在C上且直线𝑃𝐴2斜率的取
值范围是[−2,−1]，那么直线𝑃𝐴1斜率的取值范围是( )
A. [2,4]
【答案】B
【解析】解：由椭圆C：
13
B. [8,4]
33
C. [2,1]
1
D. [4,1]
3
𝑥24
+
𝑦23
=1可知其左顶点𝐴1(−2,0)，右顶点𝐴2(2,0)．
0
=1，得𝑥2−4=−4．
0
设𝑃(𝑥0,𝑦0)(𝑥0≠±2)，则∵𝑘𝑃𝐴2=
𝑦0
𝑦
2𝑥0
4
+
2𝑦0
𝑦2
3
3
𝑘=0，
𝑥0−2，𝑃𝐴1𝑥0+2
2−4𝑥02𝑦0
∴𝑘𝑃𝐴1⋅𝑘𝑃𝐴2=
=−，
4
3
∵−2≤𝑘𝑃𝐴2≤−1， ∴−2≤−
34𝑘𝑃𝐴1
≤−1，解得3≤𝑘𝑃𝐴1≤3．
84
故选：B． 由椭圆C：
𝑥24
+
𝑦23
=1可知其左顶点𝐴1(−2,0)，右顶点𝐴2(2,0).设𝑃(𝑥0,𝑦0)(𝑥0≠±2)，
𝑦2
3
0
=−4.利用斜率计算公式可得𝑘𝑃𝐴1⋅𝑘𝑃𝐴2，代入椭圆方程可得𝑥2−4再利用已知给出的𝑘𝑃𝐴1
0
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的范围即可解出．
熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键． 12. 椭圆
𝑥225
+
𝑦216
𝐹2，弦AB过𝐹1，若△𝐴𝐵𝐹2的内切圆周长为𝜋，=1的左右焦点分别为𝐹1，
A，B两点的坐标分别为(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，则|𝑦1−𝑦2|值为( )
A. 3
【答案】A
【解析】解：椭圆：
𝑥225
5
B. 3 10
C. 3 20
5 D. √3
+16=1，𝑎=5，𝑏=4，∴𝑐=3，
𝑦2
左、右焦点𝐹1(−3,0)、𝐹2(3,0)，
△𝐴𝐵𝐹2的内切圆周长为𝜋，则内切圆的半径为𝑟=2，
而△𝐴𝐵𝐹2的面积=△𝐴𝐹1𝐹2的面积+△𝐵𝐹1𝐹2的面积=2×|𝑦1|×|𝐹1𝐹2|+2×|𝑦2|×|𝐹1𝐹2|=2×(|𝑦1|+|𝑦2|)×|𝐹1𝐹2|=3|𝑦2−𝑦1|(𝐴、B在x轴的上下两侧) 又△𝐴𝐵𝐹2的面积=2×|𝑟(|𝐴𝐵|+|𝐵𝐹2|+|𝐹2𝐴|)=2×2(2𝑎+2𝑎)=𝑎=5． 所以3|𝑦2−𝑦1|=5， |𝑦2−𝑦1|=3． 故选：A．
先根据椭圆方程求得a和c，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆周长求得内切圆半径，进而根据△𝐴𝐵𝐹2的面积=△𝐴𝐹1𝐹2的面积+△𝐵𝐹1𝐹2的面积求得△𝐴𝐵𝐹2的面积=3|𝑦2−𝑦1|进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得|𝑦2−𝑦1|的值． 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆性质，本题的关键是求出△𝐴𝐵𝐹2的面积，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 曲线
+9−𝑘=1(9<𝑘<25)的焦距为______． 25−𝑘
𝑥2
𝑦2
5
1
1
1
1
1
1
1
【答案】8
【解析】解：∵9<𝑘<25 ∴25−𝑘>0，9−𝑘<0， ∴曲线
表示双曲线，且𝑎2=25−𝑘，𝑏2=𝑘−9， +=1(9<𝑘<25)25−𝑘9−𝑘
𝑥2
𝑦2
∴𝑐2=𝑎2+𝑏2=16， ∴𝑐=4， ∴曲线
+9−𝑘=1(9<𝑘<25)的焦距为2𝑐=8，
25−𝑘
𝑥2
𝑦2
故答案为：8．
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确定曲线
𝑥2
25−𝑘
+
𝑦29−𝑘
且𝑎2=25−𝑘，𝑏2=𝑘−9，利用𝑐2==1(9<𝑘<25)表示双曲线，
𝑥2
𝑎2+𝑏2，可得曲线
25−𝑘
+
𝑦29−𝑘
=1(9<𝑘<25)的焦距．
本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
14. 命题“∀𝑥>0,𝑥−ln𝑥≤0”的否定为______． 【答案】∃𝑥0>0，𝑥−ln𝑥0>0
0
1
1
【解析】解：由全称命题的否定为特称命题，可得
命题∀𝑥>0,𝑥−ln𝑥≤0”的否定为为“∃𝑥0>0，𝑥−ln𝑥0>0”
0
11
故答案为：∃𝑥0>0，𝑥−ln𝑥0>0
0
1
全称命题的否定为特称命题，注意量词的变化和否定词的变化．
本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，量词的变化，考查转化能力，属于基础题．
15. 下列命题中，错误命题的序号有______．
(1)“𝑎=−1”是“函数𝑓(𝑥)=𝑥2+|𝑥+𝑎+1|(𝑥∈𝑅)为偶函数”的必要条件； (2)“直线l垂直平面𝛼内无数条直线”是“直线l垂直平面𝛼”的充分条件； (3)若𝑥𝑦=0，则|𝑥|+|𝑦|=0；
(4)若p：∃𝑥∈𝑅，𝑥2+2𝑥+2≤0，则￢𝑝：∀𝑥∈𝑅，𝑥2+2𝑥+2>0． 【答案】(2)(3)
【解析】解：(1)若“函数𝑓(𝑥)=𝑥2+|𝑥+𝑎+1|(𝑥∈𝑅)为偶函数”， 则𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，
即𝑥2+|𝑥+𝑎+1|=𝑥2+|−𝑥+𝑎+1|， 则|𝑥+𝑎+1|=|𝑥−(𝑎+1)|，
平方得𝑥2+2(𝑎+1)𝑥+(𝑎+1)2=𝑥2−2(𝑎+1)𝑥+(𝑎+1)2， 即2(𝑎+1)𝑥=−2(𝑎+1)𝑥， 则4(𝑎+1)=0，即𝑎=−1，
则“𝑎=−1”是“函数𝑓(𝑥)=𝑥2+|𝑥+𝑎+1|(𝑥∈𝑅)为偶函数”的必要条件；正确； (2)“直线l垂直平面𝛼内无数条直线”则“直线l垂直平面𝛼”不一定成立，故(2)错误； (3)当𝑥=0，𝑦=1时，满足𝑥𝑦=0，但|𝑥|+|𝑦|=0不成立，故(3)错误； (4)若p：∃𝑥∈𝑅，𝑥2+2𝑥+2≤0，则￢𝑝：∀𝑥∈𝑅，𝑥2+2𝑥+2>0正确． 故错误的是(2)(3)， 故答案为：(2)(3)
(1)根据充分条件和必要条件的定义进行判断． (2)根据线面垂直的定义进行判断． (3)根据绝对值的性质进行判断． (4)根据含有量词的命题的否定进行判断．
本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有充分条件和必要条件的判断，含有量词
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的命题的否定，综合性较强．
16. 如图，P是椭圆
𝑥225
+
𝑦216
=1(𝑥𝑦≠0)上的动点，𝐹1、𝐹2是椭
M是∠𝐹1𝑃𝐹2的平分线上一点，圆的焦点，且⃗⃗⃗⃗𝐹2⃗⃗⃗⃗ 𝑀⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑃=0.则|𝑂𝑀|的取值范围______． 【答案】[0,3)
【解析】解：∵⃗⃗⃗⃗𝐹2⃗⃗⃗⃗ 𝑀⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑃=0，∴⃗⃗⃗⃗𝐹2⃗⃗⃗⃗ 𝑀⊥⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑃 延长𝐹2𝑀交𝑃𝐹1于点N，可知△𝑃𝑁𝐹2为等腰三角形， 且M为𝐹2𝑁的中点，可得OM是△𝑁𝐹1𝐹2的中位线
11
∴|𝑂𝑀|=|𝑁𝐹1|=(|𝑃𝐹1|−|𝑃𝑁|)
22
11
=(|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|)=(2𝑎−2|𝑃𝐹2|)=𝑎−|𝑃𝐹2| 22∵𝑎−𝑐<|𝑃𝐹2|<𝑎+𝑐 ∴0<|𝑂𝑀|<𝑐=√𝑎2−𝑏2=3 ∴|𝑂𝑀|的取值范围是(0,3) 故答案为：(0,3)
延长𝐹2𝑀交𝑃𝐹1于点N，由题意可知△𝑃𝑁𝐹2为等腰三角形，得OM是△𝑃𝐹1𝐹2的中位线.利用三角形中位线定理和椭圆的定义，算出|𝑂𝑀|=𝑎−|𝑃𝐹2|，再由椭圆的焦半径|𝑃𝐹2|的取值范围加以计算，即可得到|𝑂𝑀|的取值范围．
本题给出椭圆焦点三角形角平分线的垂线，求垂足到椭圆中心距离的范围.着重考查了椭圆的定义与简单几何性质、等腰三角形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知p：−𝑥2+7𝑥+8≥0，q：𝑥2−2𝑥−4𝑚2≤0(𝑚>0)
(Ⅰ)当𝑚=4时，判断p是q的什么条件；
(Ⅱ)若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】解：(Ⅰ)由：−𝑥2+7𝑥+8≥0，解得−1≤𝑥≤8，则p：𝐴=[−1,8]， 当𝑚=4时，𝑥2−2𝑥−4𝑚2≤0等价于𝑥2−2𝑥−64≤0，解得1−√65≤𝑥≤1+√65，即q：𝐵=[1−√65,1+√65]， 又𝐴⊊𝐵，
故p是q的充分不必要条件，
(Ⅱ)因为“非p”是“非q”的充分不必要条件， 所以等价于q是p的充分不必要条件． 设𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−4𝑚2≤0(𝑚>0) 则{𝑓(8)≥0，解得：𝑚≥2√3， 故实数m的取值范围为：𝑚≥2√3，
【解析】(Ⅰ)解一元二次不等式可得𝐴=[−1,8]，𝐵=[1−√65,1+√65]， 因为𝐴⊊𝐵，故p是q的充分不必要条件，
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𝑓(−1)≥0
(Ⅱ)将二次不等式问题转化为二次函数问题，结合函数图象即可，设𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−4𝑚2≤0(𝑚>0)
因为q是p的充分不必要条件.等价于𝑥2−2𝑥−4𝑚2=0在区间[−1,8]，列不等式组{𝑓(8)≥0，即可
本题考查了充分条件，必要条件、充要条件及一元二次不等式的解法，属中档题．
18. 已知中心在坐标原点的椭圆，经过点𝐴(2,3)，且过点𝐹(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)𝑃是(1)中所求椭圆上的动点，求PF中点Q的轨迹方程． 【答案】解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为若点𝐹(2,0)为其右焦点，则其左焦点为从而有解得{𝑎=4，
又𝑎2=𝑏2+𝑐2，所以𝑏2=12， 故椭圆C的方程为
𝑥216
𝑐=2
𝑥2
𝑦2
𝑓(−1)≥0
+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)， 𝑎2，
，
+
𝑦212
=1．
(2)设𝑃(𝑥0,𝑦0)，𝑄(𝑥,𝑦) ∵𝑄为PF的中点，
𝑥=𝑦=
由P是∴
𝑥216
∴{
𝑥0+2
2⇒{𝑥0=2𝑥−2
𝑦0=2𝑦𝑦02+
𝑦212
=1上的动点 =1，
(𝑥−1)2
4
(2𝑥−2)2
16
+
4𝑦212
即Q点的轨迹方程是
+
𝑦23
=1．
a的值，(1)根据题意，【解析】可得椭圆的左焦点坐标，由椭圆的几何性质分析可得c、计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算即可得答案；
(2)设𝑃(𝑥0,𝑦0)，PF的中点𝑄(𝑥,𝑦)，由中点坐标公式可得{𝑦=2𝑦，又由P的椭圆上，
0将其坐标代入椭圆方程，整理变形即可得答案．
本题考查椭圆的几何性质，涉及轨迹方程的求法，关键是求出椭圆的标准方程．
19. 已知p：对∀𝑚∈[−1,1]，不等式𝑎2−5𝑎−3≥√𝑚2+8恒成立；q：∃𝑥∈𝑅使不等
式𝑥2+𝑎𝑥+2<0成立，若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．
p：【答案】解：对∀𝑚∈[−1,1]，不等式𝑎2−5𝑎−3≥√𝑚2+8恒成立；则𝑎2−5𝑎−3≥3，解得𝑎≥6或𝑎≤−1．
q：∃𝑥∈𝑅使不等式𝑥2+𝑎𝑥+2<0成立，则△=𝑎2−8>0，解得𝑎>2√2，或𝑎<−2√2．
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𝑥0=2𝑥−2
q是假命题时，−2√2≤𝑎≤2√2．
𝑎≥6或𝑎≤−1
若p是真命题，q是假命题，则{，解得−2√2≤𝑎≤−1．
−2√2≤𝑎≤2√2∴𝑎的取值范围是[−2√2,−1]．
p：【解析】对∀𝑚∈[−1,1]，不等式𝑎2−5𝑎−3≥√𝑚2+8恒成立；则𝑎2−5𝑎−3≥3，解得a范围.𝑞：∃𝑥∈𝑅使不等式𝑥2+𝑎𝑥+2<0成立，则△>0，解得𝑎>2√2，或𝑎<−2√2.𝑞是假命题时，−2√2≤𝑎≤2√2.利用p是真命题，q是假命题，即可得出． 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20. 在直角坐标系中，O为坐标原点，直线l经过点𝑃(3,√2)及双曲线
焦点F．
(1)求直线l的方程；
(2)如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程； ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(3)若在(1)、(2)情形下，设直线l与椭圆的另一个交点为Q，且⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 当|⃗𝑃𝑀=𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄，𝑂𝑀最小时，求𝜆的值． 【答案】解：(1)由题意双曲线
𝑥23
𝑦21
𝑥23
−𝑦2=1的右
−
=1的右焦点为𝐹(2,0)
∵直线l经过点𝑃(3,√2)，𝐹(2,0)
∴根据两点式，得所求直线l的方程为√2−0=3−2 即𝑦=√2(𝑥−2)．
∴直线l的方程是𝑦=√2(𝑥−2)． (2)设所求椭圆的标准方程为∵一个焦点为𝐹(2,0) ∴𝑐=2，即𝑎2−𝑏2=4 ① ∵点𝑃(3,√2)在椭圆上， ∴𝑎2+𝑏2=1 ②
由①②解得𝑎2=12，𝑏2=8 所以所求椭圆的标准方程为
𝑥212
9
2
𝑥2
𝑦2
𝑦−0𝑥−2
+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0) 𝑎2
+
𝑦28
=1；
(3)由题意，直线方程代入椭圆方程可得𝑥2−3𝑥=0 ∴𝑥=3或𝑥=0 ∴𝑦=√2或𝑦=−2√2 ∴𝑄(0,−2√2)
∴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄=(−3,−3√2)
∴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑀=𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄=(−3𝜆,−3√2𝜆)，
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−3𝜆,√2−3√2𝜆) ∴𝑂𝑀
58⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(3−3𝜆)2+(√2−3√2𝜆)2=√27𝜆2−30𝜆+11=√27(𝜆−)2+ ∴|⃗𝑂𝑀
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5
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小． ∴当𝜆=9时，|⃗𝑂𝑀
【解析】(1)确定双曲线的右焦点坐标，利用两点式，可求方程；
(2)设出椭圆的标准方程，利用焦点坐标及点P在椭圆上，求出几何量，即可得到椭圆的标准方程；
⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，求模长，利用配(3)直线方程，代入椭圆方程，求出Q的坐标，进而可𝑃𝑄方法求最值，即可得到结论．
本题考查直线与椭圆的方程，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21. 已知圆锥双曲线E：𝑥2−𝑦2=1．
(Ⅰ)设曲线
表示曲线E的y轴左边部分，若直线𝑦=𝑘𝑥−1与曲线
相交于A，
B两点，求k的取值范围；
(Ⅱ)在条件(Ⅰ)下，如果⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=6√3，且曲线求m的值．
【答案】解：(Ⅰ)设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立方程组；{𝑥2−𝑦2=1(𝑥<0)，整理得：(1−𝑘2)𝑥2+2𝑘𝑥−2=0(𝑥<0)
1−𝑘2≠0 2
△=(2𝑘)+8𝑘>0
从而有：𝑥+𝑥=−2𝑘<0，解得：−√2<𝑘<−1，
21−𝑘2 1
−2
𝑥⋅𝑥=>012{1−𝑘2∴𝑘的取值范围(−√2,−1)；
(Ⅱ)丨AB丨=√1+𝑘2丨𝑥1−𝑥1丨=√1+𝑘2√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1⋅𝑥2=2√6√3，
整理得28𝑘4−55𝑘2+25=0，𝑘2=7或𝑘2=4，
注意到−√2<𝑘<−1，所以𝑘=−√，故直线AB的方程为√𝑥+𝑦+1=0，
22⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑚⃗⃗⃗⃗⃗ 设𝐶(𝑥0,𝑦0)，由已知⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴+⃗𝑂𝐵𝑂𝐶，则(𝑥1,𝑦1)+(𝑥2,𝑦2)=(𝑚𝑥0,𝑚𝑦0)，
−458
𝑦1+𝑦2=𝑘(𝑥1+𝑥2)−2=8，又𝑥1+𝑥2=1−𝑘2=−4√5，所以𝐶(√,).𝐶在曲线
𝑚𝑚
−2𝑘
5
5
5
5
(1+𝑘2)(2−𝑘2)(1−𝑘2)2
𝑦=𝑘𝑥−1
⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑚⃗⃗⃗⃗⃗ 上存在点C，使⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴+⃗𝑂𝐵𝑂𝐶，
=
上，
得𝑚2−𝑚2=1，解得：𝑚=±4
但当𝑚=−4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，所以𝑚=4为所求． 【解析】(Ⅰ)将直线AB代入双曲线方程，由题意，列不等式组，即可取得k的取值范围；
(Ⅱ)利用弦长公式求得k的值，根据向量向量的坐标运算，求得C点坐标，代入曲线上，即可求得m的值．
本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
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22. 已知椭圆C：2+
𝑎
𝑥2𝑦2𝑏2
√
=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为，𝐹1，𝐹2分别为椭圆左右焦点，A
3
6为椭圆的短轴端点且|𝐴𝐹1|=√6 (1)求椭圆C的方程；
(2)过𝐹2作直线l角椭圆C于P，Q两点，求△𝑃𝑄𝐹1的面积的最大值．
𝑎=√6【答案】解：(1)由已知可得：{𝑐=√6𝑎3∴椭圆C的方程为
𝑥26
，解得𝑎=√6，𝑐=2，𝑏2=2，
𝑎2=𝑏2+𝑐2
+
𝑦22
=1；
𝑥2
𝑦2
+=1
2(2)由(1)可知：𝐹2(2,0)，设直线l的方程为𝑥=𝑡𝑦+2，联立{6， 𝑥=𝑡𝑦+2化为(3+𝑡2)𝑦2+4𝑡𝑦−2=0， 设𝑃(𝑥1,𝑦2)，𝑄(𝑥2,𝑦2)， ∴𝑦1+𝑦2=3+𝑡2，𝑦1𝑦2=3+𝑡2， ∴|𝑦1−𝑦2|=√(𝑦1+𝑦2)2−4𝑦1𝑦2=√(𝑆△𝑃𝑄𝐹1=|𝐹1𝐹2|⋅|𝑦1−𝑦2|=×4×
2
2
1
1
−4𝑡2
)3+𝑡2
−4𝑡
−2
+=
83+𝑡
2=
2√6√1+𝑡2， 3+𝑡2
2√6√1+𝑡23+𝑡24√6√1+𝑡23+𝑡2=4√6⋅1√1+𝑡2+2√1+𝑡2≤
4√62√2=
2√3，
当且仅当√1+𝑡2=√1+𝑡2，即𝑡=±1时，△𝑃𝑄𝐹1的面积取得最大值2√3．
𝑎=√6【解析】(1)由已知可得：{𝑐=√6𝑎3
，解出即可得出椭圆C的方程；
𝑎2=𝑏2+𝑐2
(2)由(1)可知：𝐹2(2,0)，设直线l的方程为𝑥=𝑡𝑦+2，与椭圆方程联立化为(3+𝑡2)𝑦2+4𝑡𝑦−2=0，设𝑃(𝑥1,𝑦2)，𝑄(𝑥2,𝑦2)，利用根与系数的关系可得|𝑦1−𝑦2|=
√(𝑦1+𝑦2)2−4𝑦1𝑦2，利用𝑆△𝑃𝑄𝐹1=2|𝐹1𝐹2|⋅|𝑦1−𝑦2|，及其基本不等式的性质即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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