【知识要点】
1.对数的定义：
如果
（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作
2.指数式与对数式的关系：
（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
3.对数运算公式：如果
，
， ，
，那么
（1）
； ；
；
；
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）换底公式
换底公式推论：（1）
；（2）
；（3）
【典题精讲】
题型一 对数的化简、求值
1.
．
2．注意对数恒等式
，对数换底公式
及等式
在解题中的灵活应用．
【例1】(1)若
，则
=
，求
(2)设
，则
__________；
(3)计算：
解析：(2)由3a＝4b＝36得a＝log336，b＝log436，再根据换底公式得a＝log336＝
，b＝log436＝
.所以
＋
＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.
(3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3.
【变式1】已知
，那么
用表示是（ A ）
A．
B． C．
D．
【变式2】若
（ A ）
A． B．
C．
D．
【变式3】（1）计算
__________.
答案：1
（2）计算：
__________.
答案：2
【例2】求值
【解析】
；
【变式1】
的值是（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】B
【解析】由
，故选B.
【变式2】已知 则
=________.
【答案】
【解析】由 得
，所以
，解得
,故答案为
.
【变式3】设2a＝5b＝m，且
＋
＝2，则m＝_________.
【答案】
【解析】因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，
所以
＋
＝
＋
＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝
．
【变式4】(1)若
，则
=___________
（2）若
（3）若
___________
答案：(1)64
(2)
(3) 12
【变式5】已知
，求
的值.
【解析】
或
（舍去），
.
题型二对数换底公式的应用
【例2】 设 ，且
.
（1） 求证：
；
（2）比较
的大小。
【变式6】已知
求
。
【课堂练习】
1．若
，那么
的值为（ ）
A．1 B．2 5 D．1或5
2．如果方程lg2x+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0的两根为α、β，则的值是（ ）
A．lg7·lg5 B．lg35 35 D．
3．
___________,
C．α·β C．
_________________ .
4．
；
_____________.
5．
.
若
。
6．
_________.
7．求值或化简：
（1）
；
（2）
.
8．若 ，求
的值。
第二课时 对数函数的图像与性质
【知识要点】
1．对数函数的概念：
一般地，函数
叫做对数函数，其中
是自变量，函数的定义域是
。
2．对数函数的图象与性质： 函数名称 对数函数 函数 定义 且 叫做对数函数 图象
定义域 值域 图象过定点 ，即当 过定点 时， ． 奇偶性 单调性 上是增函数 在第一象限内， 变化对图象的影响 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高． 3．反函数
指数函数 与对数函数
互为反函数，它们的图象关于直线
非奇非偶 在 上是减函数 在 对称．
【典题精讲】
题型一对数型函数过定点
【例1】（1）函数
的图像恒过点_______
答案：
（2）已知函数
的图像过两点
和
，则
a＝________，b＝________.
答案 2 2
解析 f(x)的图像过两点(－1,0)和(0,1)．
则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0且f(0)＝loga(0＋b)＝1，
∴
，即
.
【变式1】函数
的图像恒过点_______.
答案：
题型二对数型函数的图像
【例2】已知a>b，函数f(x)＝(x－a)(x－b)的图象如图所示，则函数g(x)＝loga(x＋b)的图象可能为( )
答案： 由图象可知0 答案： B 解析 ∵f(4)＝a2>0，f(4)·g(－4)<0， ∴g(－4)<0，∴loga4<0，∴0 【变式2】已知c1：y＝logax，c2：y＝logbx，c3：y＝logcx的图象如图(1)所示．则在图(2)中函数y＝ax、y＝bx、y＝cx的图象依次为图中的曲线__________． 答案： 题型三对数型函数的定义域及值域 【例3】函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】 . 【解析】由函数的表达式可知，函数 的定义域应满足条件：，解之得 ，即函数 的定义域为 ，故应选 . 【变式1】函数 的定义域为（ C ） A. B. C. D. 【例4】已知 ． (1)求 的定义域；(2)讨论 的单调性；(3)求 在区间 上的值域． 解 (1)由4x－1>0，解得x>0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)． (2)设0 (3)f(x)在区间[ ，2]上递增，又f( )＝0，f(2)＝log415， 因此f(x)在[ ，2]上的值域为[0，log415]． 【变式2】函数 的值域为( ) A．[1，＋∞) B．(0,1] C．(－∞，1] 答案 因为 ≤2，所以log2 ≤log22＝1，即f(x)≤1，故选C. 【变式3】函数 的值域是( ) A．[0，＋∞) B．(－∞，＋∞) C．∞，－1]∪[1，＋∞) 解析：y＝log2(x2＋1)－log2x＝log2 ＝log2(x＋ )≥log22＝1(x>0)． 【变式4】函数 在区间 上的值域为 ．(－∞，1) ，＋∞) ．(－ D[1 D ，则 的最小值为________． 解析： 如图所示为f(x)＝|log3x|的图象，当f(x)＝0时，x＝1，当f(x)＝1时，x＝3或 ，故要使值域为[0,1]，则定义域为[ ，3]或[ ，1]或[1,3]，所以b－a的最小值为 .答案： 【变式5】已知 ，则函数 的最大值是( ) A．13 B．16 C．18 D．22 答案 A 解析：y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为 ，即x∈[1,3]．若令t＝log3x，则t∈[0,1]，∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3，∴当t＝1时，y取得最大值13，故选A. 题型四对数型函数的单调性应用 【例5】比较下列各组数中两个值的大小： （1） ； （2） ；（3） 【变式1】设 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】因为 所以 ，选C. 【例6】设0 ③logx2 A．①② 【变式2】（1）已知， ， ，则 大小关系是（填序号） ； ； ； . 答案 ．②③C．①③ ．②④ B D 【例7】设 是奇函数，则使 的 的取值范围是( ) A．(－1,0) B．(0,1) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析： ∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝－1.∴f(x)＝lg ，由f(x)＜0得，0＜ ＜1，∴－1＜x＜0.答案 A 【例8】 函数 的单调递增区间是__________． 答案 (－∞，－1) 解析 设t＝x2－2x－3，则y＝log t. 由t>0解得x<－1或x>3， 故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 又t＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞，1)上为减函数， 在(1，＋∞)上为增函数． 而函数y＝log t为关于t的减函数， 所以，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)． 【变式3】函数 的单调递增区间为( ) A．(3，＋∞) B．(－∞，1)C．(－∞，1)∪(3，＋∞) (0，＋∞) 易错分析：解答本题，易于因为忽视函数的定义域，而导致错误． 正确解析：令 ，原函数可以看作 与 的复合函数． 令 ，则 或 . ∴函数 ． D 的定义域为 ． 又 的图象的对称轴为 ，且开口向上， ∴ 在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数． 而函数 在(0，＋∞)上是减函数， ∴ 的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)． 题型五 求参数的取值范围 【例9】已知 上的增函数，那么 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题设 ，故选C. 【变式1】已知函数 若关于 的方程 有两个不等的实根，则实数的取值范围是 ( ) A． B． C． D． f(x)log1x,x0,22x,x0,x f(x)k k (0,) (,1) (1,) (0,1] 【答案】D 【解析】在 时， 是增函数，值域为 ，在 时， 是减函数，值域是 ，因此方程 有两个不等实根，则有 . 【变式2】函数 在 上单调递增，则a的取值范围是( ) A． B． C． D． 答案 D 解析 由于a>0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数， ∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数， 因此a>1.又y＝ax－3在[1,3]上恒为正， ∴a－3>0，即a>3，故选D. 【变式3】已知 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是( ) A．(－∞，4] B．(－∞，4) C．(－4,4] D．[－4,4] 答案 ∵y＝x2－ax＋3a＝(x－ )2＋3a－ 在[ ，＋∞)上单调递增，故 ≤2?a≤4， 令g(x)＝x2－ax＋3a，g(x)min＝g(2)＝22－2a＋3a>0?a>－4，故选C.答案 C 【课堂练习】 1．若函数 的图象不经过第一象限，则 的取值范围是（） A. B. C. D. 2．如图为指数函数 ，则 与1的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3．若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4．已知 ，则 的大小关系是（） A. B. C. D. 5．已知函数 （） A． B．－ C．2 D．－2 6．（1） 的定义域为_______；（的值域为_________； （3） 的递增区间为 ，值域为 . 7．（1） ，则 . （2）函数 的最大值比最小值大，则 . 8． 2） 为奇函数且 时， ，当 时，解析式为. 9．函数 在 上最大值比最小值大，则 . 10．已知 ， ，试比较 与 的大小关系。 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容