广东省惠州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．（5分）从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取一个数为a，则a＞3的概率是（） A．
2．（5分）已知命题p：若x=y，则 A． 若，则x=y B． D． 若，则x≠y 3．（5分）下列函数求导正确的是（） A． （x）′=x
2
B． C． D．
，那么下列命题p的否命题是（）
若x≠y，则 C． 若x=y，则
B． （）′=﹣ C． （）′= D．（ln3）′=
4．（5分）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是（）
A． 84 B． 85 C． 86 D．87 5．（5分）若p：∀x∈R，sinx≤1，则（） A． ¬p：∃x∈R，sinx＞1 B． ¬p：∀x∈R，sinx＞1 C． ¬p：∃x∈R，sinx≥1 D． ¬p：∀x∈R，sinx≥1 6．（5分）把十进制数15化为二进制数为（）
A． 1011 B． 1001（2） C． 1111（2） D．1111 7．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内有极小值点（）
A． 1个
8．（5分）双曲线
B． 2个
C． 3个 D．4个
﹣=1的渐近线方程为（）
A． y=±x B． y=±x C． y=±x D．y=±x
9．（5分）如图，在一个不规则多边形内随机撒入200粒芝麻（芝麻落到任何位置的可能性相等），恰有40粒落入半径为1的圆内，则该多边形的面积约为（）
A． 4π
10．（5分）以
﹣
B． 5π
C． 6π
D．7π
=1的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（）
A． +=1 B． +=1
C． +=1 D． +=1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，请将答案填在答题卡相应位置. 11．（5分）成都市交警部门随机测量了顺河高架桥南下口某一时间段经过的2000辆汽车的时速，时速频率分布直方图如图所示，则该时段时速超过70km/h的汽车数量为．
12．（5分）曲线y=x在点（1，1）切线方程为 ． 13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是．
3
14．（5分）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：4，则曲线C的离心率等于．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（14分）某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的上一场进球与本场进球有无关系”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示： 有关系 无关系 不知道 人数 500 600 900
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取样本，已知从持“有关系”态度的人中抽取了5人，求总样本容量．
（2）持“有关系”态度的人中，40岁以下和40岁以上（含40岁）的比例为2：3，从抽取的5个样本中，再任选2人作访问，求至少1人在40岁以下的概率．
16．（14分）设直线y=2x﹣4与抛物线y=4x交于A，B两点． （1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）求A，B两点的坐标，并求出线段AB的长． 17．（12分）已知p：﹣2≤x≤10，q：[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 18．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1， （1）求f（x）的单调区间； （2）求证：lnx≤x﹣1． 19．（14分）设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A（0，2），右焦点F（2，0）． （1）求椭圆的方程；
（2）是否存在经过点（0，﹣3）的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足关于直线y=﹣
2
x+2对称？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
20．（14分）已知函数
在[1，+∞）上为增函数．且θ∈（0，π），
（1）求θ的值；
（2）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）函数是单调函数，求m的取值范围．
广东省惠州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．（5分）从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取一个数为a，则a＞3的概率是（） A．
B．
C．
D．
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题： 概率与统计．
分析： {1，2，3，4，5}中随机抽取一个数共有5种情况，其中大于3的数有4，5两个，所以a＞3一共2种情况，根据概率公式计算即可
解答： 解：{1，2，3，4，5}中随机抽取一个数共有5种情况，其中大于3的数有4，5两个， 所以a＞3一共2种情况，
故a＞3的概率是，
故选：C
点评： 本题考查古典概及其概率公式，属基础题．
2．（5分）已知命题p：若x=y，则，那么下列命题p的否命题是（） A． 若，则x=y B． 若x≠y，则 C． 若x=y，则 D． 若，则x≠y
考点： 四种命题． 专题： 简易逻辑．
分析： 本题主要考察否命题的写法．首先要找准命题的条件和结论，：“若A，则B”型的命题的否命题，条件和结论都要否定．
解答： 解：∵命题p：若x=y，则∴命题p的否命题，若x≠y，则故选B
， ，
点评： 本题考察命题的相关内容：命题的四种形式之否命题．“若A，则B”型的否命题：“若￢A，则￢B”． 3．（5分）下列函数求导正确的是（） A． （x）′=x
考点： 专题： 分析： 解答：
2
B． （）′=﹣ C． （）′= D．（ln3）′=
导数的运算．
计算题．
2
分别求出x，，ln3的导数，利用排除法得到答案．
2
解：（x）′=2x，
，
（ln3）′=0，
故选：B．
点评： 本题考查了导数的运算，记住常见导数的公式是解题的关键，本题属于基础题． 4．（5分）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是（）
A． 84 B． 85 C． 86 D．87
考点： 众数、中位数、平均数；茎叶图． 专题： 概率与统计．
分析： 根据中位数的概念，把数据按从小到大排列，得出中位数． 解答： 解：根据茎叶图，该组数据从小到大排列为 79、84、84、84、86、87、93， ∴中位数是第4个数据，84． 故选：A．
点评： 本题考查了中位数的概念与应用问题，是基础题目． 5．（5分）若p：∀x∈R，sinx≤1，则（） A． ¬p：∃x∈R，sinx＞1 B． ¬p：∀x∈R，sinx＞1 C． ¬p：∃x∈R，sinx≥1 D． ¬p：∀x∈R，sinx≥1
考点： 命题的否定． 专题： 简易逻辑．
分析： 直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
解答： 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以若p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p：∃x∈R，sinx＞1．
故选：A．
点评： 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 6．（5分）把十进制数15化为二进制数为（） A． 1011 B． 1001（2） C． 1111（2） D．1111
考点： 排序问题与算法的多样性． 专题： 计算题．
分析： 利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案． 解答： 解：15÷2=7…1 7÷2=3…1 3÷2=1…1 1÷2=0…1
故15（10）=1111（2） 故选C．
点评： 本题主要考查的知识点是十进制与二进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题． 7．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内有极小值点（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个
考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的综合应用．
分析： 直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图象即可求得结论．
解答： 解；因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正， 由图得：导函数值先负后正的点只有一个．故函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是1． 故选：A．
点评： 本题的易错点在于把原点包含在内，原点处虽然导函数值为0，但在原点两侧，导函数值同号，所以原点不是极值点．
8．（5分）双曲线 A． y=±x
﹣=1的渐近线方程为（）
C． y=±x
D．y=±x
B． y=±x
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=
x，即可得到所求．
解答： 解：双曲线﹣=1的a=4，b=3， x， x．
由双曲线的渐近线方程y=则所求渐近线方程为y=
故选B．
点评： 本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题． 9．（5分）如图，在一个不规则多边形内随机撒入200粒芝麻（芝麻落到任何位置的可能性相等），恰有40粒落入半径为1的圆内，则该多边形的面积约为（）
A． 4π B． 5π C． 6π D．7π
考点： 几何概型．
专题： 应用题；概率与统计．
分析： 由几何概型概率计算公式，以面积为测度，可求该阴影部分的面积．
解答： 解：设该多边形的面积为S，则，
∴S=5π， 故选B．
点评： 本题考查概率的性质和应用，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型． 解题时要认真审题，合理地运用几何概型解决实际问题．
10．（5分）以
﹣
=1的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（）
A． +=1 B． +=1
C． +=1 D． +=1
考点： 圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．
专题： 计算题．
分析： 根据双曲线的顶点写出椭圆的焦点，看出椭圆的长轴在y轴上，根据条件得到的a和c的值写出椭圆的方程． 解答： 解：∵双曲线
的焦点为（0，4），（0，﹣4）
顶点为（0，2 ）（0，﹣2 ）
∴以双曲线的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆a=4，c=2∴b=2
∴椭圆的方程是
，
故选D．
点评： 本题考查圆锥曲线的共同特征，本题解题的关键是写出要用的关键点的坐标，即知道了椭圆的位置和大小，这是一个基础题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，请将答案填在答题卡相应位置. 11．（5分）成都市交警部门随机测量了顺河高架桥南下口某一时间段经过的2000辆汽车的时速，时速频率分布直方图如图所示，则该时段时速超过70km/h的汽车数量为200．
考点： 频率分布直方图． 专题： 计算题．
分析： 先求出时速超过70km/h的汽车的频率，在频率分步直方图中小长方形的面积为频率，用长乘以宽，得到频率，用频率乘以总体个数，得到这个范围中的个体数．
解答： 解：由频率分步直方图可知，时速在（70，80]的频率为0.010×10=0.1， 所以时速在（70，80的汽车大约有2000×0.1=200． 故答案为：200．
点评： 本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1．
12．（5分）曲线y=x在点（1，1）切线方程为 3x﹣y﹣2=0．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题．
3
分析： 先求出函数y=x的导函数，然后求出在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．
2
解答： 解：y'=3xy'|x=1=3，切点为（1，1）
3
∴曲线y=x在点（1，1）切线方程为3x﹣y﹣2=0 故答案为：3x﹣y﹣2=0
点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题． 13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是16．
3
考点： 循环结构． 专题： 图表型． 分析： 由图知，每次进入循环体后，新的z值是x加上y得到的，故由此运算规律进行计算，经过5次运算后输出的结果即可．
解答： 解：由图知z的运算规则是：z=x+y，故有： 第一次进入循环体后x=1，y=2，z=2， 第二次进入循环体后x=2，y=2，z=4， 第三次进入循环体后x=2，y=4，z=6， 第四次进入循环体后x=4，y=6，z=10， 第五次进入循环体后x=6，y=10，z=16． 由于z=16＞10，退出循环．
故该程序运行后输出的结果是：z=16． 故答案为：16．
点评： 本题考查循环结构，已知运算规则与运算次数，求最后运算结果的一个题，是算法中一种常见的题型．
14．（5分）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：4，则曲线C的离心率等于或．
考点： 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 专题： 计算题．
分析： 依题意，|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：4，可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，再对圆锥曲线C是椭圆还是双曲线分类讨论，利用定义即可求得其离心率． 解答： 解：∵|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：4， ∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，
①若圆锥曲线C是椭圆，则2a=4c， ∴e==；
②若圆锥曲线C是双曲线， 则e=
=
=
=．
故答案为：或．
点评： 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，由题意得到|PF1|+|PF2|=2|F1F2|是基础，对圆锥曲线C分类讨论是关键，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（14分）某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的上一场进球与本场进球有无关系”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示： 有关系 无关系 不知道 人数 500 600 900
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取样本，已知从持“有关系”态度的人中抽取了5人，求总样本容量．
（2）持“有关系”态度的人中，40岁以下和40岁以上（含40岁）的比例为2：3，从抽取的5个样本中，再任选2人作访问，求至少1人在40岁以下的概率．
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题： 概率与统计．
分析： （1）由题意可得，解方程可得；
（2）易得40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，列举可得． 解答： 解：（1）设总样本容量为n， 由题意可得解得n=20
（2）设所选取的人中，有m人在40岁以下，则
，解得m=2．
，
即40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3， 则从中任取2人的所有基本事件为（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1）， （A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共10个， 其中至少有1人在40岁以下的基本事件为（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1）， （A2，B2），（A2，B3），（A1，A2）共7个
∴所求事件的概率．
点评： 本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题．
16．（14分）设直线y=2x﹣4与抛物线y=4x交于A，B两点． （1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）求A，B两点的坐标，并求出线段AB的长．
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）由题意可知抛物线的焦点在x轴上，开口向右，且p=2，由焦点坐标和准线方程即可得到所求；
（2）联立直线方程和抛物线方程，消去y，解方程可得x，进而得到交点的纵坐标，再由两点的距离公式计算即可得到． 解答： 解：（1）由题意可知抛物线的焦点在x轴上，开口向右， 即有2p=4，解得p=2， 故焦点坐标为（1，0），准线为x=﹣1；
2
（2）由，消去y，得x﹣5x+4=0，
2
解出x1=1，x2=4， 于是，y1=﹣2，y2=4，
所以A，B两点的坐标分别为A（4，4），B（1，﹣2）， 则有线段AB的长：
．
点评： 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，求交点，运用两点的距离公式，属于基础题． 17．（12分）已知p：﹣2≤x≤10，q：[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．
分析： 先将条件p，q化简，然后利用p是q的充分不必要条件，确定参数a的取值范围． 解答： 解：q：[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，（m＞0） 又∵m＞0∴不等式②的解集为[1﹣m，1+m]…（2分）
∵p是q的充分不必要条件p：x∈[﹣2，10]q：x∈[1﹣m，1+m] ∴[﹣2，10]⊂[1﹣m，1+m]…（6分）
∴解得，…（8分）
当1﹣m=﹣2时，m=3，[﹣2，10]⊄[1﹣m，1+m]=[﹣2，4]， ∴m≠3；
当1+m=10时，m=9，[﹣2，10]⊂[1﹣m，1+m]=[﹣8，10]，
∴m=9；…（10分） ∴m≥9，
∴实数m的取值范围是[9，+∞）．…（12分）
点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用．根据条件求出不等式的解是解决本题的关键． 18．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1， （1）求f（x）的单调区间； （2）求证：lnx≤x﹣1．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；证明题；导数的综合应用．
分析： （1）先求函数的定义域（0，+∞），再求导；从而确定单调区间．
（2）由（1）知f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数，从而化为最值问题． 解答： 解：（1）由已知得x∈（0，+∞），
；
令f'（x）＞0，得
，
解得0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）上为增函数， 令f'（x）＜0，得
，
解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）为减函数． （2）证明：由（1）知：
∵f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数． ∴当x=1时，f（x）max=﹣1+1=0； 对任意x∈（0，+∞），有f（x）≤0， 即lnx﹣x+1≤0． 即lnx≤x﹣1．
点评： 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法应用，属于中档题． 19．（14分）设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A（0，2），右焦点F（2，0）． （1）求椭圆的方程；
（2）是否存在经过点（0，﹣3）的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足关于直线y=﹣
x+2对称？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）由题意设出椭圆方程为，并由题意得到b，c的值，
结合隐含条件求得a，则椭圆方程可求； （2）假设存在直线l满足题目要求，可设直线l的方程为y=kx﹣3（k≠0），设出M、N的坐标，由MN与直线
垂直求得直线l的斜率，得到直线l的方程，
将M、N的坐标代入椭圆方程后利用点差法得到，代入斜率后得到关
于M，N中点的一个方程，再由M、N的中点在l上得另一方程，联立求得M、N的中点坐标，验证所求中点坐标在直线y=﹣
x+2上说明假设成立．
解答： 解：（1）依题意，设椭圆方程为，，b=2，
∴a=b+c=12，从而可得椭圆方程为
222
；
（2）假设存在直线l满足题目要求，可设直线l的方程为y=kx﹣3（k≠0）， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∵MN与直线∴直线l方程为：
垂直，则，
，k=
．
将M（x1，y1），N（x2，y2）代入椭圆方程（*），
，
，并作差，整理得：
设MN中点P（xp，yp），则
，
代入*得：，即，
∵P（xp，yp）在MN上，∴
，
联立，解得．
经检验
MN中点P在直线上，
满足直线方程，MN与直线垂直，且线段
∴存在满足条件的直线，直线l方程为．
点评： 本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，训练了“点差法”在解决中点弦问题中的应用，属中高档题．
20．（14分）已知函数
（1）求θ的值；
（2）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）函数是单调函数，求m的取值范围．
考点： 函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性． 专题： 计算题．
在[1，+∞）上为增函数．且θ∈（0，π），
分析： （1）先对函数g（x）进行求导，根据 g′（x）≥0 在x≥1时成立可得≥，
根据θ∈（0，π） 可知sinθ＞0，所以sinθ=1求得θ的值．
（2）对函数f（x）﹣g（x）进行求导，使其为单调，需m=0时，恒小于0 成立m不等于0
2
时对于h（x） 可变为 K（x）=mx﹣2x+m=0的形式求解 进而根据对称轴求得所以使K（1）≥0则成立的条件求得m的范围．m＜0时，使K（1）≤0，所以m≤﹣1．综合可得答案． 解答： 解：（1）求导 得到 g′（x）=﹣∴≥∴1≥
+≥0 在x≥1时成立
∵θ∈（0，π）∴sinθ＞0 ∴sinθx≥1 ∴sinθ=1 θ=
（2）（f（x）﹣g（x））′=m+﹣+﹣=m+﹣使其为单调
∴h（x）=m+﹣=，在x≥1时
m=0时 h（x）＜0恒成立． m≠0时 对于h（x）=
，令 K（x）=mx﹣2x+m=0的形式求解
2
因为[1，+∞）上函数为增函数，所以m＞0时 对称轴x=所以使K（1）≥0则成立所以m﹣2+m≥0 所以m≥1
m＜0时 使K（1）≤0 所以m≤1 综上所述 m≥1或m≤0
点评： 本题主要考查了方程与函数的综合运用．考查了用导数法研究函数的单调性问题．
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