4解三角形-拔高难度-习题

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐶=√7，𝐵𝐶=2，𝐵=60∘，则 𝐵𝐶 边上的高等于 (  )

A. √32

B.

3√32

C.

√3+√6 2

D.

√3+√39 4

2. 在 △𝐴𝐵𝐶 中，已知 (𝑏+𝑐):(𝑐+𝑎):(𝑎+𝑏)=4:5:6，则 sin𝐴:sin𝐵:sin𝐶 等于 (  )

A. 6:5:4

B. 7:5:3

C. 3:5:7

D. 4:5:6

2√3，则 𝐶𝐷 的长5

3. 如图在 △𝐴𝐵𝐶 中，点 𝐷 在 𝐴𝐶 上，𝐴𝐵⊥𝐵𝐷，𝐵𝐶=3√3，𝐵𝐷=5，sin∠𝐴𝐵𝐶=为 (  )

A. √14 A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形

B. 4 C. 2√5 D. 5

4. 若 △𝐴𝐵𝐶 的三个内角满足 sin𝐴:sin𝐵:sin𝐶=5:12:14，则 △𝐴𝐵𝐶 (  )

D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

5. 已知 𝐴 船在灯塔 𝐶 北偏东 85∘ 且 𝐴 到 𝐶 的距离为 2 km，𝐵 船在灯塔 𝐶 西偏北 25∘ 且 𝐵 到 𝐶 的距离为 √3 km，则 𝐴，𝐵 两船的距离为 (  ) A. 2√3 km A. 锐角三角形 C. 钝角三角形

7. △𝐴𝐵𝐶 中，𝑐=√3−1，tan𝐶=

𝑎

tan𝐵

2𝑎−𝑐𝑐

B. 3√2 km C. √15 km B. 直角三角形 D. 由增加的长度决定

D. √13 km

6. 若把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 (  )

，则角 𝐴 为 (  )

C. 60∘

D. 90∘

A. 30∘ B. 45∘

8. 已知在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝑎，𝑏，𝑐 分别是 ∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵 的对边，若过点 𝐶 作垂直于 𝐴𝐵 的垂线 𝐶𝐷，且 𝐶𝐷=ℎ，则下列给出的关于 𝑎，𝑏，𝑐，ℎ 的不等式中正确的是 (  ) A. 𝑎+𝑏≥√2ℎ2+2𝑐2 C. 𝑎+𝑏≥√4ℎ2+2𝑐2 的最小值是 (  )

B. 𝑎+𝑏≥√4ℎ2+𝑐2 D. 𝑎+𝑏≥√ℎ2+2𝑐2

9. 在锐角 △𝐴𝐵𝐶 中，角 𝐴，𝐵，𝐶 的对边分别为 𝑎，𝑏，𝑐．若 𝑎=2𝑏sin𝐶，则 tan𝐴+tan𝐵+tan𝐶

A. 4

B. 3√3 C. 8

D. 6√3

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10. 已知正实数 𝑚，𝑛，设 𝑎=𝑚+𝑛，𝑏=√𝑚2+14𝑚𝑛+𝑛2．若以 𝑎，𝑏 为某个三角形的两边长，

设其第三条边长为 𝑐，且 𝑐 满足 𝑐2=𝑘⋅𝑚𝑛，则实数 𝑘 的取值范围为 (  )

A. (1,6)

B. (2,36)

C. (4,20)

D. (4,36)

𝑎2

𝑐

𝑏𝑐𝑏

11. 在 △𝐴𝐵𝐶 中，角 𝐴，𝐵，𝐶 所对的边分别为 𝑎，𝑏，𝑐，若 𝐵𝐶 边上的高为 ，则 + 最大值是

(  )

A. 2

B. √2

C. 2√2 𝛼2

𝛽2

D. 4

𝛾

𝛼2

𝛽2

12. 已知 𝛼，𝛽，𝛾 是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：

① sin𝛼，sin𝛽，sin𝛾；② sin2𝛼，sin2𝛽，sin2𝛾；③ cos2，cos2，cos2；④ tan，tan，

2

𝛾

tan2．

分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有 (  ) A. 1 组

B. 2 组

C. 3 组

D. 4 组

二、填空题（共5小题；共25分）

13. 如果满足 𝐴=60∘，𝐵𝐶=6，𝐴𝐵=𝑘 的锐角 △𝐴𝐵𝐶 有且只有一个，那么实数 𝑘 的取值范围

是 ．

14. 在 △𝐴𝐵𝐶 中，内角 𝐴，𝐵，𝐶 所对的边分别是 𝑎，𝑏，𝑐，若 𝑎=2√3，𝐶=3，tan𝐴=4，则

sin𝐴= ，𝑏= ．

15. 已知 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐴 所对的边分别为 𝑎，𝑏，𝑐，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 且 𝐴𝐷 交 𝐵𝐶 与点

𝐷，𝐴𝐷=𝑎，若

sin2∠𝐴𝐵𝐶+sin2∠𝐵𝐶𝐴+sin2∠𝐵𝐴𝐶

sin∠𝐴𝐵𝐶⋅sin∠𝐵𝐶𝐴

π

3

≤𝑚 恒成立，则实数 𝑚 的取值范围为 . 3

π

√2，且 𝑎2

16. △𝐴𝐵𝐶 中，内角 𝐴，𝐵，𝐶 所对的边分别为 𝑎，𝑏，𝑐，若 sin(2𝐵+4)=

𝐴𝐵𝐶 的周长的取值范围是 ．

π

+𝑐=2，则 △

⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =0，点 𝑀 在 △𝐴𝐵𝐶 外，且 𝑀𝐵=2𝑀𝐶=2，则 𝑀𝐴 17. 已知 △𝐴𝐵𝐶 满足 𝐴=3，(𝐴𝐵

的取值范围是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）

18. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐷 为边 𝐵𝐶 上一点，𝐴𝐷=6，𝐵𝐷=3，𝐷𝐶=2．

（1）若 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，求 ∠𝐵𝐴𝐶 的大小；

（2）若 ∠𝐴𝐵𝐶=4，求 △𝐴𝐷𝐶 的面积．

19. 在 △𝐴𝐵𝐶 中，内角 𝐴，𝐵，𝐶 的对边分别为 𝑎，𝑏，𝑐，且 B．

（1）求角 𝐵 的大小；

（2）若 𝑏=3，sin𝐶=2sin𝐴，分别求 𝑎 和 𝑐 的值．

20. 已知 △𝐴𝐵𝐶 中，2√2(sin2𝐴−sin2𝐶)=(𝑎−𝑏)sin𝐵，外接圆半径为 √2．

（1）求 ∠𝐶；

（2）求 △𝐴𝐵𝐶 面积的最大值．

π

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21. 在 △𝐴𝐵𝐶 中，角 𝐴，𝐵，𝐶 所对的边分别为 𝑎，𝑏，𝑐，𝐴𝐷 为边 𝐵𝐶 上的高．已知 𝐴𝐷=

𝑏=1． （1）若 𝐴=

2π31

√3𝑎，6

，求 𝑐；

（2）求 𝑐+𝑐 的最大值．

22. 已知 𝑓(𝑥)=2sin2(√3cos2−sin2)+1．

（1）若 𝑥∈[6,

π2π

3𝑥

𝑥

𝑥

]，求 𝑓(𝑥) 的值域；

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值． （2）在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴 为 𝐵𝐶 边所对的内角，若 𝑓(𝐴)=2，𝐵𝐶=1，求 𝐴𝐵

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答案

第一部分 1. B

【解析】在 △𝐴𝐵𝐶 中，由余弦定理可知：

𝐴𝐶2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2−2𝐴𝐵⋅𝐵𝐶cos𝐵， 即 7=𝐴𝐵2+4−2×2×𝐴𝐵×．

21

整理得 𝐴𝐵2−2𝐴𝐵−3=0． 解得 𝐴𝐵=−1 （ 舍去）或 𝐴𝐵=3． 故 𝐵𝐶 边上的高 𝐴𝐷=𝐴𝐵⋅sin𝐵=3sin60∘=2. B

32

3√3． 2

72

52

【解析】由已知可设 𝑏+𝑐=4𝑘，𝑐+𝑎=5𝑘，𝑎+𝑏=6𝑘 (𝑘>0)，则 𝑎=𝑘，𝑏=𝑘，𝑐=

𝑘，∴ 𝑎:𝑏:𝑐=7:5:3．∴ sin𝐴:sin𝐵:sin𝐶=7:5:3．

【解析】提示：因为 cos∠𝐷𝐵𝐶=cos(∠𝐴𝐵𝐶−90∘)=sin∠𝐴𝐵𝐶=

【解析】令 𝐶=90∘，各边增加 𝑘 个单位长度后各角分别为 𝐴＇ 、 𝐵＇ 、 𝐶＇．

(𝑎+𝑘)2+(𝑏+𝑘)2−(𝑐+𝑘)2

2(𝑎+𝑘)(𝑏+𝑘)

2𝑘(𝑎+𝑏−𝑐)+𝑘2+𝑎2+𝑏2−𝑐2

．

2(𝑎+𝑘)(𝑏+𝑘)2√3，在 △5

3. B 4. C

5. D 6. A

𝐵𝐶𝐷 中，由余弦定

理得 𝐶𝐷2=𝐵𝐶2+𝐵𝐷2−2𝐵𝐶⋅𝐵𝐷cos∠𝐷𝐵𝐶=16，即 𝐶𝐷=4．

由题意可知 𝐶＇>𝐵＇，𝐶＇>𝐴＇，则 cos𝐶＇=因为 𝑎2+𝑏2=𝑐2，𝑎+𝑏>𝑐， 所以 cos𝐶＇=

2𝑘(𝑎+𝑏−𝑐)+𝑘22(𝑎+𝑘)(𝑏+𝑘)

=

>0，

所以 𝐶＇ 为锐角．

故 △𝐴＇𝐵＇𝐶＇ 为锐角三角形． 7. B 8. B

【解析】由三角形的面积公式得 2𝑎𝑏sin∠𝐴𝐶𝐵=2𝑐ℎ，

1

1

则 𝑎2𝑏2(1−cos2∠𝐴𝐶𝐵)=𝑐2ℎ2，

所以由余弦定理得 𝑎2𝑏2(1−cos∠𝐴𝐶𝐵)(1+cos∠𝐴𝐶𝐵)=(𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos∠𝐴𝐶𝐵)ℎ2， 再由基本不等式得 𝑎2𝑏2(1−cos∠𝐴𝐶𝐵)(1+cos∠𝐴𝐶𝐵)≥(2𝑎𝑏−2𝑎𝑏cos∠𝐴𝐶𝐵)ℎ2，

即 𝑎2𝑏2(1−cos∠𝐴𝐶𝐵)(1+cos∠𝐴𝐶𝐵)≥2𝑎𝑏(1−cos∠𝐴𝐶𝐵)ℎ2（当且仅当 𝑎=𝑏 时等号成立）． 因为 0<∠𝐴𝐶𝐵<π， 所以 1−cos∠𝐴𝐶𝐵>0，

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所以 𝑎𝑏(1+cos∠𝐴𝐶𝐵)≥2ℎ2． 再由余弦定理得 𝑎𝑏(1+

𝑎2+𝑏2−𝑐2

2𝑎𝑏

)≥2ℎ2，

所以 (𝑎+𝑏)2≥4ℎ2+𝑐2， 即 𝑎+𝑏≥√4ℎ2+𝑐2． 9. C

【解析】𝑎=2𝑏sin𝐶⇒sin𝐴=2sin𝐵sin𝐶⇒sin(𝐵+𝐶)=2sin𝐵sin𝐶⇒tan𝐶+tan𝐵=2⇒

1

1

tan𝐵+tan𝐶=2tan𝐵tan𝐶，

又根据三角形中的三角恒等式 tan𝐴+tan𝐵+tan𝐶=tan𝐴tan𝐵tan𝐶（注：tan𝐴=tan(π−𝐵−𝐶)=−tan(𝐵+𝐶)=−1−tan𝐵⋅tan𝐶，即 tan𝐴+tan𝐵+tan𝐶=tan𝐴⋅tan𝐵⋅tan𝐶）⇒tan𝐵tan𝐶=tan𝐴−2， 所以 tan𝐴tan𝐵tan𝐶=tan𝐴⋅tan𝐴−2=𝑚−2(tan𝐴=𝑚)，令 𝑚−2=𝑡⇒当 𝑡=，即 𝑡=2，tan𝐴=4 时，取等号．

𝑡4

tan𝐴

𝑚2

(𝑡+2)2

𝑡

tan𝐵+tan𝐶

tan𝐴

=𝑡+𝑡+4≥8，当且仅

4

10. D

【解析】因为正实数 𝑚，𝑛，

所以 𝑎=𝑚+𝑛≥2√𝑚𝑛，𝑏=√𝑚2+14𝑚𝑛+𝑛2≥4√𝑚𝑛， 因为其第三条边长为 𝑐，且 𝑐 满足 𝑐2=𝑘⋅𝑚𝑛，

所以 𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝐶≥4𝑚𝑛+16𝑚𝑛−16𝑚𝑛cos𝐶， 因为 −112. B 【解析】因为 𝛼，𝛽，𝛾 是某三角形的三个内角， 设 𝛼，𝛽，𝛾 的对边分别为 𝑎，𝑏，𝑐，

不妨令 𝛼≤𝛽≤𝛾，则 𝑎≤𝑏≤𝑐，则 𝑎+𝑏>𝑐． 则①中，sin𝛼=

𝑎

𝑏

𝑐

𝑎2𝑅

𝑏2𝑅

𝑐2𝑅

，sin𝛽=，sin𝛾=；

则 2𝑅+2𝑅>2𝑅，故一定能构成三角形； ②中，sin2𝛼=由

𝑎24𝑅

2+

𝑎24𝑅𝑐2

2

2，sin𝛽=

𝑏24𝑅

2

2，sin𝛾=

𝑐24𝑅2，

𝑏24𝑅2>

𝛼

4𝑅2 仅在 𝑎2+𝑏2−𝑐2>0，即 cos𝛾>0 时成立，故不一定能构成三角形．

𝛽

𝛾

cos𝛼+cos𝛽−cos𝛾

2

𝛼

③中，cos22+cos22−cos22=确． 第二部分 13. (2√3,4√3)

+2>0 恒成立．故一定能构成三角形，故③正确．

𝛽

𝛾

1

④中，当 𝛼=𝛽=30∘ 时，𝛾=120∘，则 tan2+tan2−tan2<0，故不一定能构成三角形，故①③正

【解析】当 𝐵𝐶<𝐴𝐵⋅sin𝐴 时，不能构成三角形；当 𝐵𝐶=𝐴𝐵⋅sin𝐴，即 𝑘sin60∘=6，𝑘=4√3 时，三角形为直角三角形，不符合题意；当 𝐴𝐵≥𝐵𝐶>𝐴𝐵sin𝐴，即 𝑘≥6>𝑘sin60∘，即 6≤𝑘<4√3 时，

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能构造一个锐角三角形与一个钝角三角形，满足条件；当 𝐵𝐶>𝐴𝐵，即 𝑘<6 时，要使 △𝐴𝐵𝐶 为锐角三角形，必有 𝐶>30∘，则 sin𝐶>sin30∘=，即

2

3

1

𝑘sin60∘

6

>，解得 2√3<𝑘<6．

2

1

综上可知，实数 𝑘 的取值范围是 2√3<𝑘<4√3． 14. 5，4+√3 15. [2√2,+∞)

【解析】由正弦定理可知，

12

12

sin2∠𝐴𝐵𝐶+sin2∠𝐵𝐶𝐴+sin2∠𝐵𝐴𝐶

sin∠𝐴𝐵𝐶⋅sin∠𝐵𝐶𝐴

=

𝑏2+𝑐2+𝑎2

𝑏𝑐

；由三角形面积公式可得

𝑏𝑐sin∠𝐵𝐴𝐶=𝑎⋅𝐴𝐷，又AD=a，所以 𝑏𝑐sin∠𝐵𝐴𝐶=𝑎2，根据余弦定理，𝑏2+𝑐2=𝑎2+

𝑏2+𝑐2+𝑎2

𝑏𝑐

2𝑏𝑐cos∠𝐵𝐴𝐶，故

= 2sin∠𝐵𝐴𝐶 +2cos∠𝐵𝐴𝐶=2√2sin(∠𝐵𝐴𝐶+)≤2√2，故 𝑚≥2√2，即

4

π

实数 𝑚 的取值范围为 [2√2,+∞)． 16. [3,4)

【解析】由 0<𝐵<π 得，4<2𝐵+4<因为 sin(𝐵+)=

24

3

π

3√2，所以 𝐵22

π

3

π

7π4

，

π3

2

+=

4

π3π4

，解得 𝐵=，

又因为 𝑎+𝑐=2，所以由余弦定理可得，𝑏2=𝑎2+𝑐−2𝑎𝑐cos𝐵=(𝑎+𝑐)2−2𝑎𝑐−𝑎𝑐=4−3𝑎𝑐， 因为 𝑎+𝑐=2，𝑎+𝑐≥2√𝑎𝑐，当且仅当 𝑎=𝑐 时取等号，

所以 0<𝑎𝑐≤1，则 −3≤−3𝑎𝑐<0，则 1≤𝑏2<4，即 1≤𝑏<2． 所以 △𝐴𝐵𝐶 周长 𝐿=𝑎+𝑏+𝑐=𝑏+2∈[3,4)． 17. [1,3]

π

⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 【解析】由 △𝐴𝐵𝐶 满足 𝐴=3，(𝐴𝐵

可得 △𝐴𝐵𝐶 为等边三角形，

又点 𝑀 在 △𝐴𝐵𝐶 外，且 𝑀𝐵=2𝑀𝐶=2，如图 1．

若 𝑀 与 𝐴 在 𝐵𝐶 同侧，设 𝐵𝐶=𝑎，∠𝐵𝑀𝐶=𝛽，∠𝐵𝐶𝑀=𝛼，则 sin𝛽=sin𝛼=sin(𝛼+𝛽)，可得 1−2cos𝛽=𝑎⋅cos𝛼， 又 cos𝛼=

𝑎2−32𝑎

𝑎21

，

所以 ∣𝑀𝐴∣2=𝑎2+1−2𝑎cos(𝛼−60∘)=5−4cos(𝛽−60∘)∈[1,7)，则 ∣𝑀𝐴∣∈[1,√7)； 如图 2．

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若 𝑀 与 𝐴 在 𝐵𝐶 异侧，设 ∠𝐵𝑀𝐶=𝛽，∠𝐵𝐶𝑀=𝛼，则 cos𝛼， 又 cos𝛼=

𝑎2−32𝑎

𝑎

sin𝛽

=

2sin𝛼

=

1

sin(𝛼+𝛽)

，可得 1−2cos𝛽=𝑎⋅

，

所以 ∣𝑀𝐴∣2=𝑎2+1−2𝑎⋅cos(𝛼+60∘)=5+4sin(𝛽−30∘)∈(5−2√3,9]，则 ∣𝑀𝐴∣∈(√5−2√3,3]．

综上，∣𝑀𝐴∣ 的最小值为 1，最大值为 3． 第三部分

18. （1）

设 ∠𝐵𝐴𝐷=𝛼，∠𝐷𝐴𝐶=𝛽．

因为 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷=6，𝐵𝐷=3，𝐷𝐶=2， 所以 tan𝛼=2，tan𝛽=3． 所以

tan∠𝐵𝐴𝐶=tan(𝛼+𝛽)

=

=

tan𝛼+tan𝛽1−tan𝛼tan𝛽

11+23111−2×311

=1.

又 ∠𝐵𝐴𝐶∈(0,π)， 所以 ∠𝐵𝐴𝐶=4．

π

（2）

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设 ∠𝐵𝐴𝐷=𝛼．在 △𝐴𝐵𝐷 中，∠𝐴𝐵𝐶=4．𝐴𝐷=6，𝐵𝐷=3． 由正弦定理得

πsin4π

𝐴𝐷

=sin𝛼，解得 sin𝛼=

𝐵𝐷

√2． 4

因为 𝐴𝐷>𝐵𝐷，

所以 𝛼 为锐角，从而 cos𝛼=√1−sin2𝛼=因此

sin∠𝐴𝐷𝐶=sin(𝛼+4)

ππ

π

√14． 4

=sin𝛼cos4+cos𝛼sin4==

12

132

√2√2(421+√7.4

+

√14)4

△𝐴𝐷𝐶 的面积 𝑆= ==

×𝐴𝐷×𝐷𝐶⋅sin∠𝐴𝐷𝐶

1+√74

×6×2×2

(1+√7).

19. （1） 因为 𝑏sin𝐴=√3𝑎⋅cos𝐵， 由正弦定理可得 sin𝐵sin𝐴=√3sin𝐴cos𝐵， 因为 sin𝐴≠0，

所以 sin𝐵=√3cos𝐵，因为 𝐵∈(0,π)， 可知 cos𝐵≠0，否则矛盾． 所以 tan𝐵=√3， 所以 𝐵=3．

（2） 因为 sin𝐶=2sin𝐴， 所以 𝑐=2𝑎．

由余弦定理可得 𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵， 所以 9=𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐，

把 𝑐=2𝑎 代入上式化为 𝑎2=3， 解得 𝑎=√3． 所以 𝑐=2√3．

20. （1） 由 2√2(sin2𝐴−sin2𝐶)=(𝑎−𝑏)⋅sin𝐵 得 2√2(4𝑅2−4𝑅2)=(𝑎−𝑏)2𝑅． 又因为 𝑅=√2， 所以 𝑎2−𝑐2=𝑎𝑏−𝑏2． 所以 𝑎2+𝑏2−𝑐2=𝑎𝑏． 所以 cos𝐶=

𝑎2+𝑏2−𝑐2

2𝑎𝑏

𝑎2

𝑐2

𝑏

π

=2．

1

又因为 0∘<𝐶<180∘， 所以 𝐶=60∘．

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𝑆

=2𝑎𝑏sin𝐶=×

21

√3𝑎𝑏2

1

（2）

=2√3sin𝐴sin𝐵=2√3sin𝐴sin(120∘−𝐴)

=2√3sin𝐴(sin120∘cos𝐴−cos120∘sin𝐴)=3sin𝐴cos𝐴+√3sin2𝐴=2sin2𝐴−=

3

√3√3cos2𝐴+22

3√

√3sin(2𝐴−30∘)+2.

3√3． 2

所以当 2𝐴=120∘，即 𝐴=60∘ 时，𝑆max=

1

1

21. （1） 因为 𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑏𝑐sin𝐴=2𝑎⋅𝐴𝐷， 即 1⋅𝑐⋅

√32

=𝑎⋅

根据余弦定理 𝑎=𝑏+𝑐−2𝑏𝑐cos𝐴， 有 3𝑐=1+𝑐2−2𝑐⋅(−)，

2即 (𝑐−1)2=0，即 𝑐=1． （2） 因为 𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶⋅𝐴𝐷=⋅

2

2

1

1

1

1

√3⋅6

1

√3𝑎，即 3𝑐6222

=𝑎2，

𝑎2，

又因为 𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐶⋅𝐴𝐵⋅sin𝐴=2𝑐sin𝐴， 所以 6𝑎2=𝑐sin𝐴，则 𝑎2=2√3𝑐sin𝐴， 又因为 cos𝐴=

1

𝑐2+1−𝑎2

2𝑐

√3=

𝑐2+1−2√3𝑐sin𝐴2𝑐

，

π

所以 𝑐+𝑐=2√3sin𝐴+2cos𝐴=4sin(𝐴+6)， 当 𝐴=3 时，有 (𝑐+𝑐)

π

1max

=4．

π

22. （1） 𝑓(𝑥)=√3sin𝑥+cos𝑥=2sin(𝑥+)；

6因为 𝑥∈[6,

π2π

]；所以 𝑥+6∈[3,3

ππ5π

]；所以 2≤sin(𝑥+6)≤1；所以 𝑓(𝑥) 的值域为 [1,2]． 6

ππ

1π

（2） 因为 𝑓(𝐴)=2，所以 sin(𝐴+)=1；

6在 △𝐴𝐵𝐶 中，因为 0<𝐴<π，所以 𝐴=3； 所以 cos𝐴=

∣𝐴𝐵∣2+∣𝐴𝐶∣2−∣𝐵𝐶∣2

2∣𝐴𝐵∣∣𝐴𝐶∣

12

=；

所以 ∣𝐴𝐵∣∣𝐴𝐶∣=∣𝐴𝐵∣2+∣𝐴𝐶∣2−1≥2∣𝐴𝐵∣∣𝐴𝐶∣−1； 所以 ∣𝐴𝐵∣∣𝐴𝐶∣≤1；

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =∣𝐴𝐵∣∣𝐴𝐶∣cos𝐴=1∣𝐴𝐵∣∣𝐴𝐶∣≤1； 所以 𝐴𝐵22⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 1． 所以 𝐴𝐵

2

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