： 高自明 （永登县中堡镇初级中学，甘肃永登７３０３０１） ｌ 如何确定建立方程的等量关系 联系实际的应用题，反映了现实世界一些元素或量之间 的数量关系．通过解答应用题可以开发智力、培养学生分析问 关系． 例３：一家商店将某种服装按成本价提高４０％后标价，又 题和解决问题的能力，因此，应用题是中学数学的重要内容． 而列方程解应用题的关键是确定建立方程的等量关系．一道 应用题中能够反映应用题全部含义的一个等量关系才是建立 方程的等量关系，那么如何在具体的问题中找出建立方程的 等量关系呢？我从以下几个方面进行具体分析． 根据关键宇或关键词找出等量关系 具有相等意义量的词有：和、共、是、相等、比．正确分析这 一、８折（即按标价的８０％）优惠卖出，结果每件仍获利１５元，这 种服装每件的成本是多少元？ 分析：本题中的等量关系是：利润＝售价一成本价． 四、利用周长、面积和体积等计算公式确定等量关系 例４：用一根长为６０米的铁丝围成一个长方形，使得长是 宽的２倍，求这个长方形的面积． 分析：本题中的等量关系是：长＋宽＝３０． 一些关键词所表示的具体含义是找出等量关系的关键． 例１：甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得３ 分，平一场得１分，负一场得０分．甲队与乙队一共比赛了１０场， 甲队保持了不败纪录，一共得了２２分．甲队胜了多少？平了多 少场？ 分析：根据题中“甲队保持了不败纪录，一共得了２２分”的 关键性词语“共”就可以确定建立方程的等量关系是：甲队胜 了得分＋甲队平了得分＝２２． 二、从变量中找出不变的量以定量作为等量关系 例２：将一个底面直径是ｌ０厘米、高为３６厘米的“瘦长” 形圆柱锻压成底面直径为２０厘米的“矮胖”形圆柱，高变成 了多少？ 五、根据总量等于各分量的和确定等量关系 即根据总量等于各分量之和确定等量关系，用此法要注 意分量不可有所遗漏． 例５：希腊数学家丢番图（公元３～４世纪）的墓碑上记载 着：“他生命的六分之一是幸福的童年：再活了他寿命的十二 分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的 七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活 了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了 四年，也与世长辞了．” 请回答：（１）他结婚时年龄；（２）他开始当爸爸时的年龄； （３）他儿子死时他的年龄；（４）他去世时的年龄． 分析：本题中的等量关系是：总年龄：各部分年龄之和． 六、根据事情发展的顺序确定等量关系 有些题目的等量关系需要根据事情发展的顺序才可以确 定等量关系．比如：原有的一用去的＝还剩的；付出的一用去的＝ 还剩的：原存的＋运来的＝现在的． 例６：一辆汽车己行驶了１２０００千米，计划每月行驶８００千 米，几个月后这辆汽车将行驶２０８００千米？ 分析：在这个问题中锻压前和锻压后圆柱的体积保持不变． 因此建立方程的等量关系是：锻压前的体积＝锻压后的体积． 三、根据常见的基本数量关系，建立等量关系 常见的数量关系：工作效率ｘ５２作时间＝工作总量；亩产 量×亩数＝总产量；单价Ｘ数量＝总价；速度×时间：路程；利润＝ 售价一进价……在解题时．可以根据这些数量关系去找等量 点评：通过这样背景熟悉、文字表述不贪、偏、生、怪的题 目来训练学生的实践能力．让学生掌握解应用题的基本方法 和步骤． 三、练习的选择要突出重点、难点。也要有针对性、启发性。 （２）设第二次注射是在第一次注射后Ｌ天，则一二 ＋二兰 ，得：ｔ， ５ ：５ ３．因而第一次与第二次相隔３天． 设第三次在第一次后ｔ，天，则此时血中含药量为两次注射 Ａ ０ ｒ－Ｉ Ａ ０１ 在第二轮复习中．要在巩固第一轮复习的基础上进行拓 宽加深．要通过一题多解来训练学生思维的发散性，培养学生 实践能力．针对高考中出现的函数应用题的特点：背景与学生 生活息息相关，要在复习中回避生、偏的题目． 例３：某医药研究所开发一种新药． 如果成人按规定的剂量服用，据监测： 后含药量的和，即由一 ｔ，＋兰一 （ｔ 一３）＋ ＝４得：ｔ９＝７，故第 ５ ５ ５ ‘ ５ 一 服用后每毫升血液中的含药量ｖ与时间ｔ 之间近似满足如图３所示曲线： （１）写出服药后每毫升血液中的含 药量ｖ与时间ｔ的函数关系． 图３ 三次应与第二次相隔４天． 点评：此题不仅考查学生以形求数的能力，而且与学生生 活及科学生产实际密切相关，培养了学生的实践能力． 总之．函数应用题与实际生活有极为密切的联系，常涉及 交通（如路程）、商业（如销售、物价）、科研等诸多方面．解决实 际问题通常按：ｌ实际问题Ｉ—ｌ数学模型Ｊ—Ｉ数学结果｝ 一ｌ实际问题Ｉ的程序进行，还要注意从已知条件中建立数 （２）按规定接种第二、三次疫苗时， 人体每毫升血液中含药量不少于４个单 位．问接种第二、三次疫苗的时间应该如 学模型．并能灵活运用函数的各种知识． 参考文献： ［１］２００８年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）（文 科）第１７题． ［２］２００９年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理 科）第１８题． ［３］２００９年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）（理 科）第２１题． ［４］单蹲．数学教科书必修１．江苏教育出版社，２００７．６． 『５］宏升．高中同步测控全优设计数学必修１．２００６．８． ６１ 何安排，才能便抗霉效果最佳？（血掖中含药时间长，效果好） 解：（１）依题意得： ｆ２ｔ（０≤ｔ≤了１） １一 ｔ＋詈ｃ １一ｓ， ｌ０（ｔ≥８ ■墨 注重培养学生的四种数学意识 周美强 （高唐县琉寺中学，山东高唐数学意识又叫数学观念，指用数字的眼光去观察、用数学 的思维去分析各种事物之间的数量关系、空间关系，以形成量 化意识和良好的数感．进而达到用数理逻辑的观点来科学地 看待周围世界的目的。培养学生的数学意识，不仅要使学生理 解和学习课本上的数学知识与技能，而且要使学生逐步学会 主动地认识数学，初步形成用数学观点和方法看待周围的事 物，用数学的思维处理生活中的问题。要在教学中培养学生的 哪些数学意识呢？我认为应从以下四个方面着手。 营造和谐氛围，培养合作交流意识 所谓数学合作交流，是指同学之间通过听觉、视觉、触觉 来接受他人的数学思想，再把自己的数学思想用数学语青、动 作直观的形式表达出来，从而彼此之间弥补、沟通自己已有的 数学知识 通过合作交流，不仅能从工作中找到乐趣，而且能 从生活中找到乐趣。 英国大文豪萧伯纳曾说：“如果你有一个苹果，我有一个苹 果，彼此交换，我们仍然是各有一个苹果。如果你有一种思想，我 有一种思想，彼此交换，我们每个人就有了两种思想，甚至更 多 ”轻松和谐的教学氛围能在课堂教学的一开始就使师生的积 极性、主动性都得到较大程度的激发，使学生产生自尊、自强、自 我实现的需要，有利于学生自主地探求知识，有利于培养学生的 创新思维。教师在课堂教学中，应为学生多创设自主交流的时间 一２５２８６４） 、无需发现。难以发现的是蕴含在常见现象背后的问题。所以， 发现问题表现为意识到蕴藏在现象背后的实质，意识到寻常 现象中的非常之处。从这个角度来说，发现问题是解决问题的 关键，是创新的起点。 亚里士多德有句名言：“思维是从疑问和惊奇开始的。”常 有疑点，常有问题，才能常有思考，常有创新。新课程标准既关 注问题解决。义关注问题的提出和创新精神的培养。没有问题 就不可能有创新，问题是创新的基础和源泉。要培养学生的创 新能力，首先是要让他们具有积极探索的态度，猜想、发现的 欲望．即要培养他们的问题意识。一方面，我们要善于创设问 题情境，为学生提供足够的探索空间。另一方面，我们要鼓励 学生善于质疑，用批判的眼光去观察问题 我们要顺应学生认 知发展的规律，在学生的“最近发展区”内创设问题情境．充分 体现学生的主体地位，充分体现教师的引导、组织、参与作用。 爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重 要，因为解决问题也许仅是数学上的或实验上的技能而已．而 提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需 要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”因此．在数 学教学中注重培养学生的问题意识，养成良好的学习习惯，使 学生想问、敢问、爱问，是数学教学成功的关键。 三、积极探索．培养创新意识 创新意识是指人们根据社会和个体生活发展的需要，引 起创造前所未有的事物或观念的动机，并在创造活动中表现 出的意向、愿望和设想。它是人类意识活动中的一种积极的、 富有成果性的表现形式，是人们进行创造活动的出发点和内 在动力，是创造性思维和创造力的前提。当别人问起科学家爱 因斯坦何以有那样的创造时．他回答说：“我没有什么特别的 才能，只不过喜欢寻根刨底地探索问题罢了。”可见．积极探索 是创新意识的先导 著名心理学家皮亚杰主张：“教育的首要目的在于造就有 和空间，让学生在自主交流中相互合作、相互启发、相互借鉴、相 互补充，共同提高。数学学科十分有利于培养学生合作交流的意 识，因为学生对数学知识的获取，或对解决数学的问题，只要改 变思考问题的角度，就有可能产生不同的思路和方法 学生之间 的合作交流，正是充分展示这种个性的大好时机。因此，教师在 教学中要充分发挥学生的主体作用，让学生积极主动地参与到 小组讨论、集体交流、合作启智等教学过程中。 二、创设问题情境。培养学生问题意识 问题意识就是人们对某一事实或客观现象产生的解释或 处理的心理欲望。强烈的问题意识不仅体现了个体思维品质 的灵活性和深刻性，而且反映了思维的独立性和创造性 强烈 的问题意识，作为思维的动力，促使人们去发现问题，解决问 题，直至进行新的发现——创新。一般来说，显而易见的问题 所创新，有所发明和发现的人，而不是简单地重复前人所做的 事情。”知识经济时代的教育核心是培养人的创新能力。“创新 是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力”。创新 是一种旨在提高全民族创新精神和实践能力的教育思想和行 现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以１８０米／分的速度去追小 明，并且在途中追上了他． （１）爸爸追上小明用了多长时间？（２）追上小明时，距学校 还有多远？ 分析：根据题意画出下图： 分析：本题中的等量关系是：已行驶路程＋预计行驶路程＝ ２０８０． ． 例７：某面粉仓库存放的面粉运出１５％后．还剩余４２５００干 克．这个仓库原来有多少面粉？ 分析：本题中的等量关系是：原来重量一运出重量＝剩余 重量． 七、要善于用不同的方法表示同一个量．来确定等量关系 例８：某工人按原计划每天生产２Ｏ个零件．到预定期限 还有１００个零件不能完成．若提高工作效率２５％，到期将超 额完成５０个，问此］二人原计划生产零件多少个？预定期限是 多少天？ 分析：本题中的等量关系是：原计划生产的零件数＋１００＋ ５０＝提高Ｔ作效率后生产的零件数． 八、借助“线段图”确定等量关系 借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系．从而确定建 立方程的等量关系． 例９：小明每天早上要在７：５０之前赶到距家１０００米的学校 上学．一天，小明以８０米／分的速度出发．５分后，小明的爸爸发 从上图中可以很明显地看出：爸爸所行路程＝小明所行路程． 总之，从以上八种确定等量关系的方法可知，同一问题中 包含的等量关系可能有多种．有些等量关系能列出方程．而有 些等量关系不能列出方程，只有能够反映应用题全部含义的 个等量关系才是建立方程的等量关系，那么如何才能准确 地找出建立方程的等量关系呢？要认真审题，仔细分析．弄清 题意和题目中的数量关系，具体问题具体对待．同时也要善于 观察，从不同的角度去寻找多种解题方案，准确地找出建立方 程的等量关系，从而使问题得以解决． 一