不定积分的基本公式和运算法则直接积分法

·引入 在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。

·讲授新课

第二节 不定积分的基本公式和运算 直接积分法

一 基本积分公式

由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下： 1 2 3 4 5 导数公式 x1xdx1C微分公式 积分公式 kdxkxC (k0) (1) 6 7 8 9 1 0 11 12 13 14 15 以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。

求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.（1）解：（1）

1dx （2）2xxxdx

1x2dx＝x2dx5x211CC 21x35（2）xxdx＝x2dx2x2C

此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x的形式，然后应用幂函

数的积分公式求积分。

二 不定积分的基本运算法则

法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即

法则1对于有限多个函数的和也成立的．

法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即

kf(x)dxkf(x)dx （k0）

例2 求(2x31ex)dx

解 =

(2x3=2x3dx+dx-exdx 1ex)dx14xxexC。 2注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C写在末尾，以后仿此。

注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例由于(xxeC)=2x1e，所以结果是正确的。

三 直接积分法

在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。

例3 求下列不定积分.

2（1）(x1)(x1)dx （2）x1dx

2124x3xxx11解：（1）首先把被积函数(x1)x(x化)为和式，然后再逐项积分得

(x1)(x1)dxx(xxx11)dx x12512x2xx2x2C。 52注：（1）求函数的不定积分时积分常数C不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。

（2）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常

数，所以只要在结果中写一个积分常数C即可。

（3）检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。若相等，积分结果是正确的，否则是错误的。

x21x2122（2）2dxdx(1x21)dx x1x21dx2dxx2arctanxC。 2x1上例的解题思路是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，是一种重要的解题方法，须掌握。

x33x22x4dx，2 练习 1 2x124x2x21x4x2(x21)dx，3 1x2dx。

答案 1 x23x2ln|x|C， 2 arctanx3

1C， x13xxarctanxC 3例4 求下列不定积分.（1）tan2xdx （2）sin2xdx 2 解：（1）tan2xdx(sec2x1)dx

（2）sin2xdx21cosx11dxxsinxC 222上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分，不过它实现化和是利用三角式的恒等变换。

练习 1

22cotxdx 2 cosxcos2xdx 3 dx 2cosx-sinx答案 1 cotxxC 2 3 sinx-cosxC

1(xsinx)C 2例5 设f(sinx)cosx，求f(x).

22222解：由于f(sinx)cosx1sinx，

所以f(x)1x，故知f(x)是1x的原函数，因此

x2f(x)(1x)dxxC．

2小结 基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。 练习 求下列不定积分.

（1）(12sinx)dx（2）(2x12)dx， 22cosxsinx(t1)223)dt，dt，（3）（4）(（5）(6xx6)dx， 2t1t21tx41cos2xdx（6），（7），（8）csc(cscxcotx)dxsin2xdx， 1x22extt22xx（9）(cossin)dt，（10）(tanx1)dx，（11）e(3)dx。

2221x答案1 x2cosx2ln|x|C， 2 tanx-cotxC， 3

12t2tln|t|C， 4 2arcsint3arctantC， 26x171xC， 6 x3xC， 5

ln6737 cotxcscxC， 8 cotx2C，

(3e)x2arcsinxC。 9 tcostC， 10 tanx2xC，11

1ln3小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理．然后分项计算．

作业 P81:2,3 板书设计 一 基本公式 例1 二 不定积分的法则 例2 三 直接积分法 例3 例4 例5 练习 小结 作业