黄冈中学高三五月模拟数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项 是符合题目要求的.

1.已知集合A{x|yln(12x)}，B{x|x2x}，全集UAB，则CU(AB)（ ）

111,1] C．(,0)[,1] D．(,0] 2222i2.已知i为虚数单位，aR，若为纯虚数，则复数z2a2i的模等于（ ）

aiA．(,0) B．(A．2 B．3 C．6 D．11 3.已知f(x)4x2，g(x)|x2|，则下列结论正确的是（ ）

A．h(x)f(x)g(x)是偶函数 B．h(x)f(x)g(x)是奇函数

C．h(x)f(x)g(x)f(x)是偶函数 D．h(x)是奇函数

2x2g(x)x2y24. 过双曲线221(a0,b0)的一个焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂线

ab的延长线与y轴的交点坐标为(0,)，则此双曲线的离心率是（ ） A．5 B．2 C．3 D．2 5.现有4种不同的颜色为我校校训四个主题词（如图）涂色，则相邻的词语涂色不同的概率为（ ） A．

c22731521 B． C． D．

64326464

6.如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是

O,O1,O2，动点P从A点出发沿着圆弧按AOBCADB的路线运动

（其中A,O,O1,O2,B五点共线），记点P运动的路程为x，设y|O1P|2，y与x的函数关系为yf(x)，则yf(x)的大致图象是（ ）

7.执行如图所示的程序，若P0.9，则输出的n值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6

8.设,(0,2)，且tantan1，则（ ） cosA．32 B．22 C．32 D．22

2xy309.不等式组3xy30的解集记为D，有下面四个命题：

x2y10p1:(x,y)D,2x3y1；p2:(x,y)D,2x5y3；

p3:(x,y)D,y11；p4:(x,y)D,x2y22y1. 2x3其中的真命题是（ ）

A．p1,p2 B．p2,p3 C．p2,p4 D．p3,p4

10.已知点A是抛物线M:y2px(p0)与圆C:x(y4)a在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离等于a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（ ） A．2 B．23 C．22227272 D． 362x11.已知函数f(x)xelnta，若对任意的t[1,e]，f(x)在区间[1,1]总存在唯一

的零点，则实数a的取值范围是（ ） A．[1,e] B．(111,e] C．(1,e] D．[1,e] ee12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（ ） A．22 B．

72 C．11 D．23 3

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.在(1x1x2016)10的展开式中，含x2项的系数为 .

14.在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话，一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下：

第一个人说：“我们四个人全都是骗子”； 第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子”； 第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子”； 第四个人说：“我是老实人”.

请判断一下，第四个人是老实人吗？ .（请用“是”或“否”作答）

215.已知AD,BE分别是ABC的中线，若ADBE1，且ABAC，则AD与BE3的夹角为 .

16.在四边形ABCD中，AB7,AC6,cosBAC最大值为 .

11，CD6sinDAC，则BD的14三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）设Sn是数列{an}的前n项和，已知a13，an12Sn3. （1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn(2n1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.

18. （本小题满分12分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值65，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值.

（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零点中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的频率）；

①P(X)0.6826；②P(2X2)0.9544；

③P(3X3)0.9974.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.

（2）将直径小于等于2或直径大于2的零件认为是次品

（ⅰ）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E(Y)； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E(Z).

19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的等比三角形，过AC平行于BC1，交AB于D点. 1作平面ACD1（1）求证：CDAB；

（2）若四边形BCC1B1是正方形，且A1B1的余弦值. 1D5，求二面角DAC

1x2y220. （本小题满分12分）已知椭圆C:221(ab0)的左焦点为F，离心率为，

2ab直线l与椭圆相交于A,B两点，当ABx轴时，ABF的周长最大值为8. （1）求椭圆的方程；

（2）若直线l过点M(4,0)，求当ABF面积最大时直线AB的方程. 21. （本小题满分12分）已知函数f(x)e1x(acosx),aR. （1）若函数f(x)存在单调增区间，求实数a的取值范围； （2）若a0，证明：x[1,1]，总有f(x1)2f'(x)cos(x1)0. 2请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BCCD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CFAE，垂足为点F. （1）证明：CF是圆O的切线； （2）若BC4,AE9，求CF的长.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

2txm

2已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为y2t2极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos232sin212，且曲线C的左焦点F在直线l上.

（1）若直线l与曲线C交于A,B两点，求|FA||FB|的值； （2）求曲线C的内接矩形的周长的最大值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)|xsin2|，g(x)2|xcos2|，[0,2]，且关于x的不等式

2f(x)ag(x)对xR恒成立.

（1）求实数a的最大值m；

（2）若正实数a,b,c满足a2b3c2m，求abc的最小值.

222

参考答案

CBDAC ACDCC BC

13.45 14.是 15.120 16.8

17.（1）当n2时，由an12Sn3，得：an2Sn13， 两式相减，得：an1an2Sn2Sn12an，∴an13aan1n，∴

a3. n当n1时，a13，a22S132a139，则

a2a3， 1∴数列{an}是以a13为首项，公比为3的等比数列，∴an33n13n. （2）由（1）得：bn(2n1)an(2n1)3n，

①-②得：2Tn1323223323n(2n1)3n1

32(32333n)(2n1)3n1

232(13n13)(2n1)3n113

6(2n2)3n1

∴Tn(n1)3n13.

18．（1）P(X)P(62.8X67.2)0.80.6826

P(2X2)P(60.6X69.4)0.940.9544 P(3X3)P(58.4X71.6)0.980.9974

因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；

（2）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06. （ⅰ）由题意可知Y～B(2,0.06)，于是E(Y)20.060.12， （ⅱ）由题意可知Z的分布列为

2112C94C6C94C63故E(Z)0212220.12.

C100C100C10025E， 19．（1）证：连结AC1，设AC1与AC1相交于点

连接DE，则E为AC1中点，

平面ABC1， ∵BC1//平面ACD，DE平面ACD11∴DE//BC1，∴D为AB的中点， 又∵ABC是等边三角形，∴CDAB，

（2）因为ADA1AAD， 1A5A1D，所以A又B1BBC，B1B//A1A，所以A1ABC，又ADBCB，所以A1A平面ABC， 设BC的中点为O，B1C1的中点为O1，以O为原点，OB所在的直线为x轴，OO1所在的直线为y轴，OA所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.

222

则C(1,0,0),A1(0,2,3),D(,0,123),B1(1,2,0)， 233即CD(,0,),CA1(1,2,3),CB1(2,2,0)，

22设平面DAC1的法向量为n1(x1,y1,z1)，

33nCD0xz1011由，得2，令x11，得n1(1,1,3)， 2x2y3z0n1CA10111设平面ACB11的法向量为n2(x2,y2,z2)，

3x22y23z20n2CA10由，得，令x21，得n2(1,1,)， 32x22y20n2CB10n1n2111105∴cosn1,n2， 35|n1||n2|753故所求二面角的余弦值是105. 35'20．（1）设椭圆的右焦点为F，由椭圆的定义，得|AF||AF||BF||BF|2a， 而ABF的周长为|AF||BF||AB||AF||BF||AF||BF|4a， 当且仅当AB过点F时，等号成立， 所以4a8，即a2，又离心率为

'''''1，所以c1,b3， 2x2y21. 所以椭圆的方程为43（2）设直线AB的方程为xmy4，与椭圆方程联立得(3m4)y24my360. 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则576m436(3m4)144(m4)0，

2222224m36118m24且y1y2，y1y2，所以SABF3|y1y2|② 2223m43m423m4令tm24(t0)，则②式可化为SABF18t181833. 2163t163t41623ttt当且仅当3t16221，即m时，等号成立. t3所以直线AB的方程为x221221y4或xy4. 3321．（1）由已知得f'(x)e1x(acosx)e1xsinxe1x(a(sinxcosx))， 因为函数f(x)存在单调增区间，所以方程f'(x)0有解. 而e1x0恒成立，即a(sinxcosx)0有解，所以a(sinxcosx)min，

2sin(x)[2,2]，所以a2. 4又sinxcosx（2）因为a0，所以f(x)e1xcosx，所以f(x1)e2xcos(x1)， 因为2f(x)cos(x1)2e''x1(sinxcosx)cos(x1)，

2x所以f(x1)2f(x)cos(x1)cos(x1)[e又对于任意x[2ex1(sinxcosx)]，

1,1]，cos(x1)cos(1x)0， 22x要证原不等式成立，只要证e只要证e12x2ex1(sinxcosx)0，

122sin(x)，对于任意x[,1]上恒成立，

421设函数g(x)2x222sin(x)，x[,1]，

42则g(x)222cos(x''4)22(2cos(x))， 24当x(0,1]时，g(x)0，即g(x)在(0,1]上是减函数，

'当x[,0)时，g(x)0，即g(x)[,0)上是增函数，

1212所以，在[1,1]上，g(x)maxg(0)0，所以g(x)0. 2所以，2x222sin(x4)，（当且仅当x0时上式取等号）①

1,1]，则h'(x)22e12x2(1e12x)， 21111当x[,)时，h'(x)0，即h(x)在[,)上是减函数，

222211当x(,1]时，h'(x)0，即h(x)在(,1]上是增函数，

221112x2x2， 所以在[,1]上，h(x)minh()0，所以h(x)0，即e22112x2x222sin(x)， （当且仅当x时上式取等号）②，综上所述，e24112x22sin(x)，在x[,1]上恒成立， 因为①②不能同时取等号，所以e421'所以x[,1]，总有f(x1)2f(x)cos(x1)0成立.

2设函数h(x)2x2e12x，x[22．（1）证明：连接OC,AC，

∵BCCD，∴CABCAD，∴AB是圆O的直径， ∴OCOA，∴CABACO，∴CADACO， ∴AE//OC，∵CFAE，∴CFOC，∴CF是圆O的切线.

0（2）∵AB是圆O的直径，∴ACB90，即ACBE.

∵CABCAD，∴点C为BE的中点，∴BCCECD4. 由割线定理：ECEBEDEA，且AE9，得ED32. 9在CDE中，CDCE，CFDE，则F为DE的中点. ∴DF16162465222，在RtCFD中，CFCDDF4(). 999∴CF的长为

465. 9x2y21. 23．（1）曲线C的直角坐标方程为

124左焦点F(22,0)，代入直线AB的参数方程，得m22，

2x22t2（为参数）

直线AB的参数方程是， t2yt2代入椭圆方程得t2t20，所以|FA||FB|2.

（2）设椭圆C的内接矩形的顶点为(23cos,2sin)，(23cos,2sin)，

2(23cos,2sin)，(23cos,2sin)，(02)，

所以椭圆C的内接矩形的周长为83cos8sin16sin(当3)，

32时，即6时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16.

24．（1）2f(x)ag(x)，即2f(x)g(x)a，a[2f(x)g(x)]min. 又

2f(x)g(x)2|xsin2|2|xcos2|2|(xsin2)(xcos2)|2|sin2cos2|2，

所以a2，a的最大值m2. （2）因为a2b3c4，

所以16(a2b3c)(123)(abc)(123)14(abc)， 所以abc

22222222222222228. 7